高中物理复习：第五章 机械能守恒定律 第3节 机械能守恒定律及其应用

第3讲机械能守恒定律及其应用

学习目标1.理解重力势能和弹性势能，知道机械能守恒的条件。2.会判断研究对象在某一过程

机械能是否守恒。3.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。

夯实必备知识

(1)重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟

重力做功物体运动的路径无关

的特点

1.-(2)重力做功不引起物体包越能的变化

表达式)-E—mgh

〔系统性：重力势能是物体和姬所共有的

重重力势

力能的特一—相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有叁,

势点但重力势能的变化量与参考平面的选取壁

能

定性币:力术物体做正功，币力势能减小;

△稣与关系也力宠物体做负功，重力势能增大

1-的一

关系定量—重力衣物体做的功等于物体重力势能的

关系减小量，即W=-(E-E)=-AE

2.Gp2plp

发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的

相互作用而具有的势能

摊力做正功.弹性势能减少;弹力做负功，弹性势

能增加。定量表达式为W*-AEp

3.

在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与

I-内容一

势能可以互相转叱,而总的机械能保持不变

机

械

—表达式：机％2=6#62+：

能

守

恒(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他

定一外力

律丽系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他

条件内力和外力,但这些力对系统不做功

_(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他

4,内力和外力做功，但这些力做功的代数和为空

1.思考判断

(1)重力势能的变化量与零势能参考面的选取无关。(J)

(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。(X)

(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。3)

(4)弹力做正功，弹性势能一定增加。(X)

（5）物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。（X）

（6）物体的速度增大时，其机械能可能减小。（J）

（7）物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。（J）

2.（人教版必修第二册P94T5改编）把小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至/位置，如图甲

所示。迅速松手后，小球升高至最高位置。（图丙），途中经过位置5时弹簧正好处于原长（图乙）。

忽略弹簧的质量和空气阻力。则小球从4位置运动到C位置的过程中，下列说法正确的是（）

A.经过位置B时小球的加速度为0

B.经过位置B时小球的速度最大

C.小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒

D.小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小

答案C

研透核心考点

考点一机械能守恒的理解与判断

例1（多选）如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定

的竖直墙壁（不与槽粘连）。现让一小球自左端槽口4点的正上方由静止开始下落，从4点与半圆

形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是（）

n0

A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功

B.小球从4点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒

C.小球从4点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒

D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，小球的机械能守恒

答案BC

解析小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半圆形槽

向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误;小球从/

点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B

正确;小球从4点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做

功，机械能守恒，C正确。

方法总结判断机械能守恒的三种方法

分析物体或系统的动能和势能之

H定义法和是否变化，若不变，则机械能

守恒

三尤物体或系统只右瑕力或系统内

种弹力做功，或有其他力做功、但

方做功法一

法其他力做功的代数和为零，则机

械能守恒

着物体或系统中只有动能和势能

q转化法一的相互转化而无机械能与其他形

式能的转化,则机械能守恒

跟踪训练

1.（2025•八省联考河南卷，8）2024年我国研制的“朱雀三号”可重复使用火箭垂直起降飞行试验取

得圆满成功。假设火箭在发动机的作用下，从空中某位置匀减速竖直下落，到达地面时速度刚好

为零。若在该过程中火箭质量视为不变，贝心）

A.火箭的机械能不变

B.火箭所受的合力不变

C.火箭所受的重力做正功

D.火箭的动能随时间均匀减少

答案BC

解析由于火箭匀减速竖直下落，速度减小，动能减少，且重力势能减少，故火箭的机械能减

少，故A错误;由于火箭匀减速竖直下落，加速度恒定，由牛顿第二定律可知，火箭所受的合力不

变，故B正确油于火箭下落，故火箭所受的重力做正功，故C正确;火箭的动能4=5屯2=少"（

孙一林）2,火箭的动能不随时间均匀减小，故D错误。

考点二单物体的机械能守恒问题

1.表达式

蕾卜鼻o肯算潸

种国土瓯正嘘躲藉

远国住三匕罂言

（用于多物体）

2.一般步骤

选取研

单个物体

究对象

分析研究对象在运动过程中的受力情况.

进行受

明确各力的做功情况,判断机械能是否

力分析

守恒

12•确定研究对象在初、末状态的机械能

列方程*根据机械能守恒定律列出方程

解方程求出结果，并对结果进行必要的

解方程J讨论和说明

例2（2024•全国甲卷，17）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为，〃的小环套在大圆环

上，小环从静止开始由大圆环顶端经。点自由下滑至其底部，。为竖直线与大圆环的切点。则小

环下滑过程中对大圆环的作用力大小（

A.在。点最大B.在。点最小

C.先减小后增大D.先增大后减小

答案C

解析设小环运动轨迹所对的圆心角为伏OWOWTO，大圆环的半径为火，大圆环对小环的作用力

为F,由机械能守恒定律有cos0）=；〃⑨2,又小环做圆周运动，则有尸+〃7gcos。=〃弓

联立得小环下滑过程中受到大圆环的作用力F=/wg（2-3cos。），小环开始下滑时受到大圆环的作

用力背离圆心，当cos9=g时尸=0,以后受到大圆环的作用力指向圆心，则尸的大小先减小后增

大，当cosO=-1,即小环在大圆环最低点时/最大，结合牛顿第三定律可知，C正确。

跟踪训练

2.（2025・陕西安康模拟）如图所示，内壁光滑的四分之三圆弧形槽放置在水平地面上，O点为其圆

心，A,〃为圆弧上两点，04连线水平，08连线竖直，槽的质量为5〃z,圆弧的半径为M一个

质量为机的小球从力点以初速度加未知）竖直向下沿槽运动，小球运动至最高点8时槽对地面的

压力刚好为零。不计空气阻力，重力加速度为g,槽始终未发生移动，则小球的初速度大小。。为

（）

A小欣B.y/2^R

C.2y/2^R0.372^

答案C

解析小球在最高点5时，槽对地面的压力刚好为零，则在5点小球对槽的弹力向上，大小为

5mg,由牛顿第三定律和向心力公式有5mg+mg=%,对小球由4到B,由机械能守恒定律有17

Vo2=/n^R+^mv2,可得%=2j2gR,C正确。

考点三多物体的机械能守恒问题

解决多物体系统机械能守恒的注意点

(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。

(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。

(3)列机械能守恒方程时，一般选用△瓦=一八与或AEA=-A&S的形式。

模型0轻绳连接的物体系统机械能守恒

①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。

三点②用好两物体的位移大小关系或!扬直方向高度变化的关系。

提醒③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒;但对于绳连接的

系统，机械能则可能守恒。

例3(多选)(2024•辽宁大连模拟)如图所示，质量为〃?的物体P套在固定的光滑水平杆上。轻绳跨

过光滑的滑轮。和。'，一端与物体P相连，另一端与质量为2〃?的物体Q相连。用手托住物体Q

使整个系统处于静止状态，此时轻绳刚好拉直，且4。=£,OB=h,AB<BO\重力加速度为g。

现释放物体Q,让二者开始运动，下列说法正确的是()

A.开始运动后，当物体P速度最大时，物体Q速度最小

B.在物体P从4滑到8的过程中，P的速度增加，Q的速度减小

C.在物体P从力滑到8的过程中，P的机械能减少，Q的机械能增加

D.物体P运动的最大速度为

答案AD

解析P从4点到4点的过程中，绳的拉力做正功，速度增加，P做加速运动;Q从静止开始先做

加速运动，当P运动到B点时Q的速度等于零，说明Q后来又做减速运动，所以Q先加速后减

速，B错误;由上述分析可知，当物体P运动到8点时速度最大，物体Q速度最小等于零，A正

确;在物体P从4滑到3的过程中，绳的拉力对P做正功，P做加速运动，P的机械能增加、因为

系统机械能守恒，则Q的机械能减少，C错误;当P运动到。点时Q的速度等于零，系统机械能

守恒，由机械能守恒定律得2〃喏（L—九）=力7702,解得u=2jg（L—八）,D正确。

模型国轻杆连接的物体系统机械能守恒

/彳。AB

常见q十•oA

，聊产工

①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单

模型

个物体机械能不守恒。

特点

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他

力对系统做功，则系统机械能守恒。

例4（2025•河北廊坊高三期末）如图所示，倾角为30。的光滑斜面固定在水平地面上，在斜面体左

侧的适当位置固定一光滑竖直硬杆，质量均为m的两小球（均视为质点）用长为遮L的轻质硬杆连

接，甲套在竖直硬杆上，乙放置在斜面上，甲、乙由静止释放时，轻质硬杆与竖直硬杆的夹角为

30°,当轻质硬杆与斜面刚好平行时，乙的动能为（）

甲

30°

A.与％gLB•需〃磔

C.得3D壶ngL

答案B

解析甲下降的高度为乙下降的高度为力乙=（遮L—启以5访30。=9产，

当轻质硬杆与斜面刚好平行时，把甲的速度。甲分别沿着轻质硬杆和垂直轻质硬杆分解，沿着轻质

硬杆方向的分速度。〃=。甲sin30。，小球乙的速度。乙沿着斜面，轻质硬杆与斜面平行，则。乙沿着

轻质硬杆，有。乙=。〃，甲、乙两球组成的系统由机械能守恒定律可得〃?四甲+mg〃乙=5〃〃甲2+3

机17乙2,乙的动能为瓦乙=/〃乙2,联立解得Ek乙="W〃7gL,故B正确。

模型©轻弹簧连接的物体系统机械能守恒

由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功乂有弹簧弹力做功，

模型

这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而

特点

总的机械能守恒。

①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹

两点簧伸长还是压缩。

提醒②弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体

具有相同的速度，弹性势能最大。

例5（多选）如图所示，轻弹簧一端固定于。点，另一端与质量为〃2的滑块连接，在外力作用下使

滑块静止在固定光滑斜面上的/点，此时弹簧恰好水平。将滑块从4点由静止释放，沿斜面经3

点运动到位于。点正下方的C点时，滑块的速度大小为。，且弹簧恰处于原长。已知弹簧原长为

L,斜面倾角夕=37。，OB工AC,弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g,不计空气阻力。sin

37°=0.6,cos37°=0.8o从4点运动到。点的过程中（）

A.滑块在B点的加速度等于零

B.滑块在3点的速度最大

C.滑块在A点时弹簧的弹性势能为5加一〃磔

D.滑块在4点时弹簧的弹性势能大于在B点时弹簧的弹性势能

答案CD

解析根据牛顿第二定律，可知滑块在8点的加速度为〃8=gsinO,故A错误;滑块从8到C的过

程中一直加速运动，5点速度不是最大，故B错误而机械能守恒定律有"〃=〃噜£+与，解得稣

=/求一〃磔，故C正确;滑块在力点时弹簧的形变量A以二4*—1）=/,滑块在A点时弹簧

的形变量Aw=L（l—cos，）=g,贝1）©户所必所以滑块在力点时弹簧的弹性势能大于在8点时弹

簧的弹性势能，故D正确。

跟踪训练

3.（2024•北京卷，7）如图所示，光滑水平轨道48与竖直面内的光滑半圆形轨道8C在8点平滑连

接。一小物体将轻弹簧压缩至4点后由静止释放，物体脱嗡弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到

达最高点C。下列说法正确的是（）

A.物体在。点所受合力为零

B.物体在C点的速度为零

C.物体在C点的向心加速度等于重力加速度

D.物体在4点时弹簧的弹性势能等于物体在。点的动能

答案C

解析设物体恰好到达C点的速度大小为。，则在。点重力完全提供向心力，有

向，解得。=西落向心加速度。向=g，A、B错误，C正确;物体从力点到C点的过程，由机械能

守恒定律可知，弹簧的弹性势能转化为物体在C点的重力势能和动能，D错误。

提升素养能力（限时：40分钟）

A级基础对点练

对点练1机械能守恒定律的理解与判断

1.（2024・重庆卷，2）2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器

的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程

中（）

A.减速阶段所受合外力为0

B.悬停阶段不受力

C.自由下落阶段机械能守恒

D.自由下落阶段加速度大小g=9.8m/s2

答案C

解析组合体在减速阶段有加速度，所受合外力不为零，故A错误;组合体在悬停阶段速度为零，

处于平衡状态，所受合力为零，仍受重力和升力，故B错误;组合体在自由下落阶段只受重力，机

械能守恒，故C正确;月球表面重力加速度不为9.8mW,故D错误。

2.不计阻力的情况下，关于下图所对应的描述正确的选项是（）

A.图甲中，运动员上升过程中其机械能守恒

B.图乙中，秋千从4点摆到8点的过程中，小朋友所受重力的功率先逐渐增大、后逐渐减小

C.图丙中，从力至最低点C过程中，只有重力和蹦床弹力做功，运动员机械能守恒

D.图丁中，物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中，物块的机械能守恒

答案B

解析图甲中，运动员上升过程中，人本身消耗生物能，则人的机械能增加，故A错误;图乙中，

秋千从4点摆到B点的过程中，根据。G=〃吟U，因开始在4点时竖直速度为零，到4点时竖直

速度又变为零，可知小朋友所受重力的功率先逐渐增大、后逐渐减小，故B正确;图丙中，从4至

最低点。过程中，只有重力和蹦床弹力做功，运动员和蹦床组成的系统机械能守恒，但是运动员

的机械能不守恒，故C错误;图丁中，物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力对物块

做负功，则物块的机械能减小，故D错误。

对点冻2单物体的机械能守恒问题

3.如图所示，游乐场内的扶梯48和水上滑梯轨道8。在8点相接，滑梯轨道8C是半径为火的四

分之一光滑圆弧，圆心。点和轨道上。点恰好在水面上，整个装置处在同一竖直平面内。小朋友

沿着扶梯力4运动到3点，在4点静止，当受到微小扰动时，小朋友将沿着圆弧轨道下滑。已知

重力加速度大小为g,不计空气阻力，小朋友可视为质点。则小朋友滑离圆弧轨道时的速度大小

为()

A廊B.5

C.商D.历

答案C

解析设滑离圆弧轨道时的位置为P,0P与竖直方向的夹角为仇则加gcos8=〃?捺，由机械能守

恒定律可知mgR(1—cos6)=jnv2＞解得0=gR,故C正确。

4.如图所示，在竖直面内固定三枚钉子a、b、c,三枚钉子构成边长d=10cm的等边三角形，其

中钉子a、b的连线沿着竖直方向。长为L=0.3m的细线一端固定在钉子a上，另一端系着质量

〃7=2OOg的小球，细线水平拉直，然后将小球以％=V5m/s的初速度竖直向下抛出，小球可视为

质点，不考虑钉子的粗细，重力加速度g=IOm/s2,细线碰到钉子c后，当小球到达最高点时细

线拉力大小为(g=10m/s2)()

oL

A.OB.lN

C.2ND.3N

答案C

解析设小球到达最高点时速度大小为o,以初始位置所在水平面为参考平面，根据机械能守恒

定律有2=/+"妙

h^L-d-d-^-L-d

代入数据联立解得。=«m/s,小球在最高点时根据牛顿第二定律有b+〃7g=覆，解得细线拉

力大小为尸=2N,故C正确。

对点练3多物体的机械能守恒问题

5.(2024•黑龙江、吉林模拟)如图所示，两个质量相等且可视为质点的小球a、b通过较链用长为近

£的刚性轻杆连接，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角

为45。。两根足够长的细杆M、N固定且不接触（a、b球均可无碰撞通过。点），且两杆间的距离

忽略不计，将两小球从图示位置由静止释放，不计一切摩深，重力加速度为g。下列说法中正确

的是（）

A.a、b两球组成的系统机械能不守恒

B.a球到达与b球等高位置时速度大小为房

C.a球运动到最低点时，b球速度最大，最大值为12（1+烟gL

D.a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力一直做负功

答案C

解析a球和b球所组成的系统只有重力做功，则机械能守恒，故A错误;a球到达与b球等高位

置时,b球速度为零，根据系统机械能守恒，则见驻=%%2,解得内=商"故B错误;当a球

运动到两杆的交点后再往下运动企乙此时b球到达两杆的交点处，a球的速度为0,b球的速度

达到最大，则〃噜（£+鱼£）=）?%2,所以%=大2（1+证）gL,故C正确;由于系统机械能守恒，a

球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力先做负功后做正功再做负功，故D错

误,

6.（多选）（2025・陕西延安高三开学考）如图所示，将质量为前的重物悬挂在足够长轻绳的一端，轻

绳的另一端系一质量为机的圆环，圆环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆间的距离

为心现将圆环从图中所示的4处由静止释放，此时连接圆环的细绳与水平方向的夹角为30。，整

个过程中重物都只在蜕直方向运动且未与定滑轮相碰。忽略定滑轮的质量和大小，重力加速度为

g,下列说法正确的是（）

A.圆环刚释放时，轻绳中的张力大小为|〃zg

B.圆环刚释放时，重物的加速度大小为名

C.圆环下落到最低点的过程中，圆环的机械能一直减小

D.圆环下落到与定滑轮等高的位置时，圆环的速度大小为J辿|士gd

答案AD

解析设圆环刚释放时，轻绳中的张力大小为国，重物加速度为则有2mg一户产2〃刈，FTsin

77

30。+加g=〃W,根据运动的分解可知o'sin30。=〃，解得。=留，％=铲吆，故A正确，B错误;圆

环下落到最低点的过程中，拉力先向下，后向上，则拉力先做正功，后做负功，圆环的机械能先

增加后减小，故C'错误;圆环下落到与定滑轮等高的位置时，速度竖直向下，根据运动的分解可

知，重物的速度为0,对系统根据机械能守恒定律有mgdtan30。+2mg（云3―d）="次,解得。

=J型|士故D正确。

7.（2025•黑龙江牡丹江高三期末）如图所示，水平光滑长杆上套有小物块A,细线跨过位于。点的

轻质光滑定滑轮，一端连接A,另一端悬挂小物块B,物块A、B质量相等。。为。点正下方杆

上的点，滑轮到杆的距离重力加速度为g。开始时A位于〃点，〃。与水平方向的夹角

为37。，现将A、B由静止释放，下列说法正确的是（）

A.物次A运动到。点过程中机械能变小

B.物块A经过C点时的速度大G为泥正

C.物块A在杆上长为面的范围内做往复运动

D.在物块A由P点出发第一次到达C点过程中，物块B克服细线拉力做的功等于B重力势能的

减少量

答案D

解析物块A运动到。点过程中，细线对A始终做正功，其他力不做功，则物块A的机械能增

大，故A错误;物块A经过C点时，细线与物块A的运动方向垂直，则物块B的速度为0,根据

系统机械能守恒，有加8岛方―九）=$〃/,此时物块A的速度为。=|商兀故B错误;由于系

统机械能守恒，物块A在水平光滑杆上往复运动，运动范围为x=2焉;=前，故C错误;在物块

A由。点出发第一次到达。点过程中，物块B的动能变化量为0,则物块B克服细线拉力做的功

等于B重力势能的减少量，故D正确。

B级综合提升练

8.如图所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端。点与管口力的距离为2的，一质量为

〃，的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点以压缩量为刈，已知弹簧弹性势能的表达式

为Ep=*x2,不计空气阻力，贝!（）

A.弹簧的最大弹性势能为3〃噜的

B,小球运动的最大速度等于2同

C.弹簧的劲度系数为^

D.小球运动中最人加速度为g

答案A

解析小球下落到最低点时重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹性势能最大，有与耐=

3Mg如故A正确;根据选项A和弹簧弹性势能的表达式有3mgxo=%%）2,解得％=等，故c错

误;当小球的重力与弹簧弹力大小相等时，小球有最大速度，则有加g=h,再根据弹簧和小球组

成的系统机械能守恒，有〃侬工+为尸前加2+张，解得最大速度为。max=2呼。,故B错误;

小球运动到最低点时加速度最大，有左％—〃7g=〃也，解得a=5g,故D错误。

9.（多选）如图所示，B是质量为2〃?、半径为R的光滑半圆弧槽，放在光滑的水平桌面上。A是质

量为的细长直杆，在光滑导孔的限制下，只能上下运动。物块C的质量为〃?，紧靠B放置。

初始时，A杆被夹住，使其下端正好与半圆弧槽内侧的上边缘接触，然后从静止释放。重力加速

度大小为g。则A杆由静止释放到再次上升到最高点过程中（）

A.A、B组成的系统机械能守恒

B.物块C与半圆弧槽B分离后的速度大小为2J证

C.A杆损失的机械能为2mgR

D.若A杆质量变为4〃?，再次上升到最高点的位置不变