初中数学-专项18-三角形的中位线-专项训练（30道）

三角形的中位线-专项训练（30道）

1.（淅川县期末）如图，四边形ABCO中，NA=90°,48=12,AO=5,点M、N分别为线段8C、AB

上的动点（含端点，但点M不与点8重合），点瓜产分别为DM、MN的中点，则长度的可能为

()

2.（渝中区校级期末）如图，在△48C中，AB=CB=6,8Q_LAC于点。，尸在8c上且6尸=2,连接

AF,E为4产的中点，连接。E,则DE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（龙岗区校级期末）如图，四边形ABC。中，E,尸分别是边A8,CD的中点，则AD,8c和E尸的关

A.AD+HO2EFB.AD+BC22EFC.AD+BCV2EFD.AD+BCW2EF

4.（荆门期末）如图，△人台。的周长为20,点。，E在边8c上，NA8C的平分线垂直于AE,垂足为N,

NAC8的平分线垂直于AO,垂足为若BC=8,则MN的长度为（）

3S

A.—B.2C.-D.3

22

5.（宛城区期中）如图，在AABC中，NA=90°,AC>AB>4,点D、E分别在边AB、AC上，80=4,

CE=3,取OE、8c的中点M、M线段MN的长为（）

A.2.5B.3C.4D.5

6.（丹东模拟）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，A/MCO交CO延长线于点RAC=7,

4c=4,则£尸的长为（）

7.（碑林区校级模拟）如图，为△A8C的角平分线，BE上AD于E,F为BC中点、,连接E”，若NBAC

=80°,ZEBD=20°,则/EFQ=（）

8.（广馀具期末）如图，AQ星AAA。的中线，E是AO的中点，〃是•4E延长线与AC的交点，若4C=4,

则4尸=（）

9.（平邑县期末）如图，在△A8C中，A8=8,AC=6,AD,AE分别是其角平分线和中线，过点C作

CG_LA。于F,交48于G,连接EF,则线段"的长为（）

，上

EDC

31

A.1B.2C.-D.

22

10.（宽城县期末）如图，E,尸是四边形A3CO两边A8,C。的中点，（G，〃是对角线AC，3。的中点,

若EH=6,则以下结论不正确的是（）

D

名

BC

A.4c=12B.GF=6C.AD=\2D.EH//GF

二,填空题（共10小题）

11.（莱阳市期末）如图，。、E分别为△ABC的边AB、AC的中点.连接。£过点8作8/平分N48C,

交DE于点F.若EF=4,AD=7,则BC的长为_______

B匕--------------------

12.（让胡路区校级期末）如图，△ABC的周长为64,E、八G分别为A/入AC.5c的中点，A'、）、

C分别为£/、EG、G/的中点，1及B1C的周长为_.如果△ABC、4EFG、&NB'C

分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形,那么第〃个三角形的周长是

A

13.（安徽月考）如图，在四边形ABC。中，AD=BC,ND4B=5O°,ZCBA=70°,尸、M、N分别是

AB.AC.的中点，若BC=6,则△PMN的周长是.

/\Q3

14.（长春期中）如图所示，在△ABC中，80AC,点。在8c上，DC=AC=\0,且一=作NAC8

BD2

的平分线CE交A。于点F,CF=8,E是AB的中点，连接EF,则E”的长为.

15.（商丘四模）如图，四边形A8CO中，点E、尸分别为4）、8C的中点，延长FE交。。延长线于点

G,交8A延长线于点儿若NBHF与NCGF互余,AB=4,CD=6,则£尸的长为.

16.（香坊区校级开学）如图，在△48C中，E是人B的中点，D是AC上一点，连接OE,BHLAC于H,

若2NAOE=900-NHBC,AD：8c=4：3,CD=2,则BC的长为.

17.（牡丹区期末）如图，△ABC中，A。是中线，AE是角平分线，C尸_LAE于/，A3—13,AC—8,则

。“的长为

18.（洛阳期末）如图，。是△ABC的边BC的中点，4E平分N84C,BEJ_4E于点E,且ABROcv",

DE=2cmf则AC的长为cm.

19.（盐湖区校级期末）如图，在四边形A8C。中，AB=CD,M、N、，分别是A£）、BC、8。的中点,

若NMPN=130°,则NNM尸的度数为.

20.（虹口区校级期末）如图，在△A3C中，BM、GV平分NA4C和NACB的外角，A例_L8M于M,AN

工CN于■N,人〃一10,13C-X3,八。一6,则A/N-.

三.解答题（共10小题）

21.（岐山县期末）△人BC的中线80,CE相交于O,F,G分别是80,CO的中点，求证：EF//DG,

且EF=DG.

22.（桓台县期末）如图，在四边形ABCZ）中，E,尸分别是4。，BC的中点.

(1)若A〃=6,CO=8,ZAI3D=3O<>,ZZ?DC=120°,求£尸的长;

(2)若/8DC-乙48。=90°,求证：AB2+CD2=4EF2.

23.（莱州市期末）已知：如图，在四边形/WC。中，对角线人C、町）相交于点O,且AC=8D,E、F

分别是A3、C。的中点，分别交8。、4c于点G、H.求证：OG=OH.

24.（抚州期末）如图，在RtZ\A8C中，NACB=90°,AC=6,BC=8,AE平分NC48,CE_LAE于点

E,延长CE交AN于点。.

（I）求证：CE=DE；

（2）若点〃为6C的中点，求石尸的长.

25.（秦都区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,点。、E分别是边A8、AC上的点，连接BE、DE,N

ADE=ZAED,点八G、”分别为BE、DE、BC的中点.求证：FG=FH.

26.（泰兴市月考）如图，在四边形A8CO中，AB=CD,E、F分别是8C、AO的中点，连接E尸并延长,

分别与B4,CD的延长线交于点M、N,证明：/BME=NCNE.

N

BEC

27.（沈北新区期末）如图，人。是△人8C的中线，E是人。的中点，尸是BE延长线与AC的交点，求证:

AF=|CF.

28.（莆田期末）如图，已知四边形ABC。的对角线AC与BD相交于点。，且AC=8。，M、N分别是

AB.C。的中点，MN分别交B。、AC于点石、R你能说出0E与。尸的大小关系并加以证明吗？

29.（城固县期末）如图，在四边形A8CZ）中，对角线AC=B£）,E,F为AB、CO的中点，连接E尸交

BD、AC于尸、Q,取8c中点G,连EG、FG,求证：OP=OQ.

30.（三水区期末）如图，在△43。中，AB=AC,点。，E分别是边A3,AC的中点，连接DE、BE,点

F,G,H分别为BE,DE,8。的中点.

（1）求证：FG=FHx

（2）若N4=90°,求证：FGLFHx

（3）若乙4一80°,求/G/力的度数.

三角形的中位线-专项训练（30道）解析版

1.（淅川县期末）如图，四边形ABCO中，NA=90°,48=12,AO=5,点M、N分别为线段8C、AB

上的动点（含端点，但点M不与点8重合），点瓜产分别为DM、MN的中点，则长度的可能为

()

【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=^DM从而可知最大时，EF最大,因为N与B重合时

ON最大，N与A重合时，DN最小,从而求得正产的最大值为6.5,最小值是2.5,可解答.

【解答】解：连接。M

•；ED=EM,MF=FN,

:・EF=">N,

・・・QN最大时，EF最大,QN最小时，石厂最小，

TN与8重合时QN最大，

此时DN=DB=>/AD2+BD2=V52+122=13,

•••EF的最大值为6.5.

VZ4=90°,AO=5,

:・DN?5,

：.EF^2.5,

••・E/长度的可能为5；

故选：B.

2.（渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB=CB=6,8D_LAC于点。，尸在BC上且8尸=2,连接

AF,E为4尸的中点，连接。E,则。月的长为（)

A

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据等腰三角形的性质得到A0=OC根据三角形中位线定理解答即可.

【解答】解：・・・C8=6,BF=2,

AFC=6-2=4,

,:BA=BC,8Q_LAC,

：,AD=DC,

•：AE=EF,

/.。七是△AfT的中位线，

:,DE=|FC=1x4=2,

故选:B.

3.（龙岗区校级期末）如图，四边形"CO中，E,〃分别是边A8,CQ的中点，则A。，8c和夕的关

A.AD+BO2EFB.AD+BC22EFC.AD+BC<2EFD.AD+BC^2EF

【分析】取AC的中点G,连接七凡EG,GF,根据三角形中位线定理求出EG=2〃C,GF=yD,再

利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出4。，BC和E/的关系.

【解答】解：如图，取AC的中点G,连接£/，EG,GF,

•：E,尸分别是边A8,CO的中点，

:,EG,G”分别是△ABC和△4CD的中位线，

：,EG=GF=yD,

在AEG尸中，由三角形三边关系得EG+Gf>ERU[J-BC+^AD>EF,

22

：.AD+BC>2EF,

当AO〃8c时，点£、F、G在同一条直线上，

：,AD+BC=2EF,

所以四边形ABC。中，E,尸分别是边A8,CO的中点，则A。，8C和即的关系是AD+BC22££

4.（荆门期末）如图，△人4c的周长为20,点。，E在边8C上，NABC的平分线垂直于人£垂足为M

N4C3的平分线垂直于AO,垂足为M,若BC=8,则MN的长度为（）

A.—B.2C.-D.3

22

【分析】证明△BM40Z\8N£得到8E=B4,AN=NE,同理得到CQ=CA,AM=MDf求出。七，根

据三角形中位线定理计算即可.

【解答】解：在△BM4和△4NE中，

/.NBA=乙NBE

BN=BN,

乙BNA=乙BNE

:.△BNA/ABNE(ASA)

：・BE=BA,AN=NE,

同理，CO=C4,AM=MD,

：.DE=BE+CD-BC=BA+CA-BC=20-8-8=4,

,:AN=NE,AM=MD,

:・MN=步E=2,

故选:B.

5.(宛城区期中)如图，在△ABC中，NA=90°,40AB>4,点。、E分别在边A8、AC±,80=4,

CE=3,取。E、8C的中点M、N,线段MN的长为（）

H

A.2.5B.3C.4D.5

【分析】如图，W-CH//AB,连接。N,延长DN交CH于H,连接E”，首先证明C"=8Z),ZECH=

90°,解直角三角形求出EH,利用三角形中位线定理即可解决问题.

【解答】解：作〃4连接DV并延长交于从连接E从

,:BD〃CH,

:.NB=NNCH,NECH+NA=180°,

•・・NA=90",

・・・NEC”=NA=90°,

在ADNB和AHNC中,

ZB=乙NCH

BN=CN,

/DNB=Z.HNC

:・/\DNB/4HNC(ASA),

:・CH=BD=4,DN=NH,

在Rt^CE“中，C”=4,CE=3,

:・EH=>JCH2+CE2=V424-32=5,

•：DM=ME,DN=NH,

:・MNyEH=25,

故选：A.

6.（丹东模拟）如图，在△48C中，CE是中线，CO是角平分线，A〃_LCO交C。延长线于点忆AC=7,

BC=4,则"的长为（)

【分析】延长AF、BC交于点、G,证明△ACFg/XGC/，根据全等三角形的性质得到CG=AC=7,AF

=FG,求出8G,根据三角形中位线定理解答即可.

【解答】解：延长AA8c交于点G,

CD是△ABC的角平分线，

・•・ZACF=ZBCF,

在△AC产和△GCF中，

(LACF=Z-GCF

\CF=CF,

LAFC=乙GFC=90°

：./\ACF^^GCF(ASA),

，CG=AC=7,AF=FG,

:・BG=CG-8=3,

'：AE=EB,AF=FG,

；・EF=；BG=1.5,

故选：A.

7.(碑林区校级模拟)如图，A。为△ABC的角平分线，8E_LAD于E,尸为8C中点，连接E凡若/BAC

=80°,ZEBD=20°,则NEFZ)=()

A

A.26°B.28°C.30°D.32°

【分析】延长BE交AC于G,证△ABEg/iAGE(ASA),f#BE=GE,再由三角形中位线定理得E/

〃GC,则/£7力=/。，然后求出/48。=乙4^£+/石8。=70°,即可解决问题.

【解答】解：延长8上交AC于G,如图所示：

•••AO平分N84C,N5AC=80°,

・•・ZBAE=ZGAE=聂BAC=40。，

^BEIAD,

••・NBE4=NGE4=90°,

'：AE=AE,

•••△ABEdAGE(ASA),

:・BE=GE,

IF为BC的中点,

:・EF足工BCG的中位线，

:.EF〃GC,

:"EFD=/C,

,：ZBEA=90°,

AZABE=90°-NB4E=9(T-40°=50°,

・・・NABC=NABE+NE8O=50°+20°=70°,

AZEFD=ZC=180°-ZBAC-Z4«C=180°-80°-70°=30°,

故选：C.

8.（广饶县期末）如图，A力是AABC的中线，E是AD的中点，尸是BE延长线与AC的交点，若AC=4,

则4尸=（)

A

F

B

842

B.-C.1D.一

A.533

【分析】取破的中点〃，连接。〃，根据三角形中位线定理得到QH=#C,DH//AC,证明丝

△。石〃，根据全等三角形的性质得至IJA尸=。"计算即可.

【解答】解：取EF的中点H,连接DH,

,:BD=DC,BH=HF,

：,DH=|FC,DH//AC,

；./HDE=/FAE,

在△AEF和△DE”中,

LAEF=乙DEH

AE=DE

V/-EAF=乙EDH

:./XAEFWXDEH(ASA),

:.AF=DH,

/.AF=|FC,

VAC=4,

故选：B.

9.（平邑县期末）如图，在△ABC中，A8=8,AC=6,A。、AE分别是其角平分线和中线，过点C作

CG_LAD于尸，交AB于G,连接E凡则线段后户的长为（）

G.

B

ED

31

A.1B.2C.-D.-

22

【分析】证明△AFGgAAR:，得至|JG/=R7,根据三角形中位线定理计算即可.

【解答】解：・・・A。是N/MC的角平分线，

：.ZGAF=ZCAF,

*：CG±AD,

/.ZAFG=ZAFC=90°,

在4A尸G和尸C中，

(LAFG=Z.AFC

\AF=AF,

(Z.FAG=乙FAC

.•.△MG部△AFC(ASA),

:・GF=FC,AG=AC=6,

：.GI3=AB-AG=2,

'：GF=FC,BE=EC,

；・EF=』GB=1,

故选：A.

10.（宽城县期末）如图，E,尸是四边形A8C。两边AB,C。的中点，G,"是对角线AC,8。的中点,

若EH=6,则以下结论不正确的是（）

A.BC=\2B.GF=6C.AD=\2D.EH//GF

【分析】先判定E"为△ABD的中位线，GE为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项

进行判断.

【解答】解：•・•点E为A3的中点，点”为8。的中点，

・•・£〃为△A8。的中位线，

[EH=*AD,EH//AD,

•・•点尸为C。的中点，点G为AC的中点，

・・・G/为△AOC的中位线，

AGF=|AD,GF//AD,

:.GF=EH=6,AD=2EH=12,EH//GF,所以A选项符合题意，3选项、C选项和。选项不符合题

AL•

故选：A.

二,填空题（共10小题）

II.（莱阳市期末）如图，。、E分别为AA6c的边A8、AC•的中点.连接OE,过点S作6厂平分/A8C,

交OE于点F.若E尸=4,4D=7,则8c的长为22.

【分析】根据三角形中位线定理得到DE//BC,DE=^BC,BD=AD=1,根据平行线的性质、角平分

线的定义得到NQ8F=NFBC，根据等腰三角形的判定定理得到OF=8O=7,计算即可.

【解答】解：:。、E分别为aABC的边48、AC的中点，

：.DE//BC,DE=^BC,BD=AD=1,

:・NDFR=NFBC,

/平分N48C,

:・/DFB=/DBF,

JNDBF=NFBC,

：.DF=BD=7,

：.DE=DF+EF=\\,

：,BC=2DE=22,

故答案为：22.

12.(让胡路区校级期末)如图，△A4C的周长为64,E、F、G分别为A。、AC.〃。的中点，A'、〃’、

C分别为£/、EG、G尸的中点，△4'B'C'的周长为16.如果△48C、2EFG、ZvVB,C'

分别为第I个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第〃个三角形的周长是，Z

【分析】根据E、F、G分别为A3、AC.8c的中点，可以判断E/、FG、EG为三角形中位线，利用

中位线定理求出EF、FG、EG与BC、48、CA的长度关系即可求得△EFG的周长是△A8C周长的一半,

△4'B'C的周长是aFFG的周长的一半，以此类推，可以求得第〃个三角形的周长.

【解答】解：•・•如图，△ABC的周长为64,E、F、G分别为4B、AC.8C的中点，

:,EF、FG、EG为三角形中位线，

:,EF=3BC,EG=^AC,尸G=34,

：,EF+FG+EG=^(BC+AC+AB),即△EFG的周长是△ABC周长的一半.

同理，B'C的周长是AEPG的周长的一半，即AA'B'C的周长为葭64=16.

4

1

以此类推，第〃个小三角形的周长是第一个三角形周长的64X(-)〃-

故答案是：27'\

13.(安徽月考)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,/D4B=50°,NCB4=70°,尸、M、N分别是

AB.AC.的中点，若BC=6,则△PMN的周长是9.

C

【分析】根据三角形中位线定理得到PM〃8C,PM=BC=3,PN//AD,PN=AD=3,根据等边三角

乙乙

形的判定和性质定理解答即可.

【解答】解：VP、M分别是AB、AC的中点，

:・PM〃BC,PM=gBC=3,

乙

AZAPM=ZCI3A=70°，

同理可得：PN//AD,PN=^AD=3,

:,NBPN=NDAB=50°,

:・PM=PN=3,NMPN=180°-50°-70°=60°,

•••△PMN为等边三角形，

••・△PMN的周长为9,

故答案为：9.

AD3

14.（长春期中）如图所示，在AABC中，8OAC,点。在BC上，DC=AC=IO,且一二一，作NACB

BD2

的平分线C尸交A。于点F,CF=8,£是从8的中点，连接ER则E产的长为4.

【分析】根据等腰三角形的性质得到尸为4。的中点,CRLA。,根据勾股定理得到。F=VCD2-CF2=6,

根据三角形的中位线定理即可得到结论.

【解答】解：・・・QC=AC=10,NACB的平分线C厂交A。于人

・•・？为A。的中点，CFVAD,

：.ZCFD=90°,

VDC=10,CF=8,

:・DF=y/CD2-CF2=6,

：.AD=2DF=\2,

•A•D_3

•-9

BD2

：.BD=S,

•・•点E是48的中点,

••・£卜为△A3。的中位线，

:,EF=3BD=4,

故答案为:4.

15.（商丘四模）如图，四边形ABC。中，点区尸分别为47）、8c的中点，延长正交C。延长线于点

G,交延长线于点从若/BHF与NCGF互余,AB=4,C7）=6,则EF的长为_旧_.

【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可.

【解答】解：连接BD,取BZ）的中点M,连接EM,FM,

・・・£M,分别为△AQ8、△8CO的中位线，

:.EM//AB,MF〃DC、EM=gAB=2,MF=^DC=3,

*：MF//DC,

，ZFGC=NEFM,

'：EM//AB,

:.NFEM=NFHB,

,:NBHF与NCGF互余,

JZCGF+ZBHF=NEFM+NFEM=90。,

/.ZEMF=180°・/EFM・/FEM=90°,

.二△EM/是直角三角形，

：.EF=>JEM2+FM2=V22+32=V13,

故答案为：V13.

16.（香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接。E,RHLAC于H,

若2NA3E=900-ZHBC,AD：8。=4：3,CD=2,则8C的长为6.

【分析】如图，延长AC至N,使CN=BC,连接BM由等腰三角形的性质可得NA£）E=NN,可证

DE//BN,由三角形中位线定理可得即可求解.

【解答】解；如图，延长AC至N,使CV=BC,连接8M

:./BCA=2/ADE,

，：CN=BC,

:"N=/CBN,

，ZBC4=NN+NCBN=2NM

・•・NADE=NN,

：.DE//BN,

又•・•£：是44的中点，

：.DE是△A8N的中位线，

；.AD-DN,

*：AD：8c=4：3,

工设4D=ON=4x,BC=CN=3x,

:・CD=DN-CN=x=2,

:・BC=6,

故答案为6.

17.（牡丹区期末）如图，△?1%?中，AO是中线，AE是角平分线，C7<LAE十凡AB=13,AC=8,则

。尸的长为2.5.

【分析】延长CE交AB于点G,判断出4尸垂直平分CG,得到AC=AG,根据三角形中位线定理解答.

【解答】解；延长。尸交A4于点G,

YAE平分N8AC,

：.ZGAF=ZCAF,

，AF垂直平分CG,

：.AC=AG,

GF=CF,

又•・•点。是BC中点，

产是△C8G的中位线，

：・DF="G=(AB-AG)=|(AB-AC)=2.5,

故答案为：2.5.

18.(洛阳期末)如图，D是△/18C的边8C的中点，AE平分NB/IC,8E_LAE于点£且AB=10c〃?,

DE=2cm,则AC的长为6cm.

【分析】延长AC、BE交于点F,证明凡根据全等三角形的性质得到4P=AB=10cw,

BE=EF,根据三角形中位线定理计算即可.

【解答】解：延长AC、BE交于一点、F,

•••人上平分NB4C,

：.ZBAE=ZCAEt

在△4E8和AAE/中，

乙BAE=LFAE

AE=AE,

LAEB=Z.AEF=90°

.,.△AEB^AAEF(ASA),

：,AF=AB=\0(cm),BE=EF,

VI3D=DC,DE=2cm,

；.CF=2DE=4(cm)，

：,AC=AF-CF=6(cm),

故答案为：6.

19.（盐湖区校级期末）如图，在四边形46CO中，AB=CD，M、N、。分别是A。、BC、6。的中点

若/MPN=130°,则NNMP的度数为25°.

【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角

和定理即可求出NPMN的度数.

【解答】解：在四边形A4CO中，例、N、P分别是AO、BC、4Q的中点，

/.PN,PM分别是△CDB与△D43的中位线，

：.PM=^AB,PN=if）C,PM//AB,PN//DC,

'：AB=CD,

:,PM=PN,

•••△PMN是等腰三角形,

：NMPN=130°,

180M-130u

JZPMN==25°.

2

故答案为：25

20.（虹口区校级期末）如图，在△A8C中，BM、CN平分/A8C和/AC3的外角，于M,AN

_LCN于N,AB=10,BC=13,AC=6,则MN=4.5

【分析】延长AM交8c于点G,根据BM为N48c的平分线，AM_LBM得出N8AM=NG,故△A8G

为等腰三角形，所以4M=GM.同理4N=OM根据三角形中位线定理即可求得MN.

【解答】解：延长AM交于点G,延长AN交BC延长线于点。，

•••8M为NABC的平分线，

/.NCBM=NABM,

•••3M_LAG,

AZABM+ZBAM=90°,/MGB+NCBM=90°,

:./BAM=/MGB,

•••△A8G为等腰三角形，

：,AM=GM.BG=AB=\O,

同理4N=OMCD=AC=6,

・・・MN为△4DG的中位线，

：,MN=1DG=i(BC・BG+CD)=1(BC-AB+AC)=1(13-10+6)=4.5.

故答案为；4.5.

三.解答题(共10小题)

21.(岐山县期末)△48c的中线80,CE相交于O,F,G分别是8。，CO的中点，求证：EF//DG,

且EF=DG.

【分析】连接及&FG,由8。与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，尸G与8c平行,

且都等于13C的一半，等量代次得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利

用平行四边形的性质即可得证.

【解答】证明：连接。£FG,

•:BD,CE是△ABC的中线，

，。，E是A8,AC的中点，

：.DE//BC,DE=^BC,

同理：FG//BC,FG=

:,DE〃FG,DE=FG,

・••四边形O£FG是平行四边形，

:.EF//DG,EF=DG.

22.（桓台县期末）如图，在四边形ABC。中，E,尸分别是人。，的中点.

（1）若44=6,CO=8,NA8Q=30°,Z^DC=120°,求律的长；

（2）若NA8O=90°,求证：AB2+CD2=4EF2.

【分析】（1）取的中点P,利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度,然后利用勾股定理

来求石尸的长度；

（2）如图，取4。的中点P,连接EP、FP.用三角形中位线定理可以求得EP、产P的长度，然后利用

勾股定理即可得到结论.

【解答】（1）解：如图，取8。的中点P,连接EP、FP.

VE,尸分别是A。、8C的中点，A8=6,CO=8,

：.PE//AB,且PE=枭8=3,PF//CD^.PF=^CD=4.

又•••/A6O-30°，ZBDC-120°,

/.ZEPD=ZAI3D=30°,ZDPF=\S()0NBDC=60",

，ZEPF=NEPD+/DPF=90°,

在直角尸中，由勾股定理得到：EF=y/EP2+PF2=V32+42=5,

即EF=5i

(2)证明：如图，取的中点P,连接EP、FP.

VE,尸分别是AD、BC的中点，

:.PE//AB,PE=^AB,PF〃CD且PF=*D.

：.NEPD=ZABD,NBPF=NBDC,

・・・NOP尸=180°-ZBPF=1800-ZBDC,

ZBDC-ZABD=90a,

AZBDC=90°+ZABD,

AZEPF=ZEPD+ZDPF=ZABD+\S0°-ZBDC=ZABD+\S0a-(900+NA8O)=90°,

：,PE1+PF1=(-AB)2+(icD)2=£产，

22

：,AB2+CD2=4EF2,

23.（莱州市期末）已知：如图，在四边形4BC。中，对角线4C、8。相交于点。，且AC=8D,E、F

分别是A8、CO的中点，EF分别交3D、AC于点G、H.求证：OG=OH.

【分析】取AC边的中点M,连接FM,则根据三角形的中位线定理，即可证得△口小是等腰三

角形，根据等边对等角，即可证得NME/=NMFE,然后根据平行线的性质证得NOG"=NO"G,根

据等角对等边即可证得.

【解答】解：取8c边的中点M,连接EM,FM,

•・•“、”分别是3C、C。的中点,

:.MF〃BD,MF=3BD,

同理：ME//AC,ME=^AC,

9：AC=BD

；・ME=MF

：./MEF=NMFE,

*：MF//RD,

:・NMFE=/OGH,

同理，ZMEF=ZOHG,

：,ZOGH=ZOHG

：.OG=OH.

24.（抚州期末）如图，在RtZ\A8C中，N4C3=90°,AC=6,8c=8,平分NC48,CE_LA£于点

E，延长CE交/W于点O.

（1）求证：CE-DE；

（2）若点F为BC的中点,求EF的长.

【分析】（1）根据AS4证明AAEC和△4££＞全等，进而利用全等三角形的性质解答即可Z

（2）根据勾股定理得出4从进而利用三角形中位线定理解答即可.

【解答】（1）证明：・・・AE平分NCA8,

：,ZCAE=ZBAE,

\-CE±AE,

/.ZAEC-ZAED-900,

在△AEC和△从£。中,

Z.CAE=Z.DAE

AE=AE,

LAEC=LAED

：.^AEC^AAED(ASA)，

；・CE=DE；

(2)在RtZXABC中,VAC=6,8C=8,

：.AB=V/1C24-BC2=V62+82=10,

'：XAEgXAED,

,\AD=AC=6,

：.BD=AB-AD=4,

•・•点E为CO中点，点尸为8c中点，

：・EF=；BD=2.

25.(秦都区期末)如图，在△4BC中，AB=AC,点。、E分别是边AB、AC上的点，连接BE、DE,N

AOE=NAEO,点/、G、，分别为BE、DE、BC的中点.求证：FG=FH.

【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AQ=4E，根据线段的和差得到BO=C£,根据三角形的中位

线定理即可得到结论.

【解答】证明：•・・/4OE=NAEQ,

：.AD=AE,

'：AB=AC.

：,AB-AD=AC-AE,

即BD=CE,

•:点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点,

•••/G是△ED8的中位线，"/是△8CE的中位线，

11

:・FG=3BD,FH=^CE,

:・FG=FH.

26.（泰兴市月考）如图，在四边形A4c。中，A13=CD,E、F分别是〃C、AQ的中点，连接£尸弁延长,

分别与朋，CO的延长线交于点M、N,证明：ZBME=ZCNE.

［分析］连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形的中位线的性质得到/汨〃6M,/,〃=^AB,

EH//CN,EH=^CD,根据平行线的性质得到N8ME=ZCNE=ZHEF,根据等腰三角形的性

质得到NHFE=NHEF,等量代换即可得到结论.

【解答】证明：连接BD,取8。的中点〃，连接”E,HF,

•・•£：、尸分别是BC、AQ的中点，

:.FH〃BM,FH=EH//CN,EH=|cD,

ZBME=ZHFE,