苏科版七年级数学下册第十二章《定义 命题 证明》每课时教学设计汇编（含六个教学设计）

12.1定义教学设计

【教学目标】

i.了解定义的含义，体会定义在数学和日常生活中的作用。

2.通过具体实例，理解定义的组成和表达方式，培养学生的分析和归纳能力。

3.经历给数学概念下定义的过程，感受数学的严谋性和逻辑性，渗透数学思想和数学模型的构建，培

养学生新的教育教学理念下自主探究、合作交流的学习习惯。

【教学重难点】

重点：理解定义的概念，能正确区分定义中的条件和结论。

难点：学会用准确、清啦的语言给数学概念下定义，体会定义在数学思维和解决问题中的作用。

【教学过程】

一、教学情境

师：同学们，前面我们通过学习，认识了很多的“数”，下面就请同学来看问题：

1.有理数8、17、0、-6、2.4中，哪几个数是偶数?

师：带领学生一个一个的认，找出其中的偶数.

生：8、0、-6.

师：（追问）为什么说上面的三个数是偶数呢？（板书：学会观察）

生：能够被2整除的数是偶数.（写下来）

2.上述有理数中，哪几个数是幸运数呢？（教师自己编想的一种数）

生：茫然，傻傻地坐着.

师：点名学生回答，生说不知道，师追问，是什么原因导致你说不上来呢.

生：没学过什么叫“幸运数”.

师：对了，要想知道幸运数，就要先知道这个名称的含义或对它做出规定.下面咱们来给这个名称（或

术语）进行规定：既能被2整除，又能被3整除的数称为幸运数.然后再请学生进行判断.（板书：学会创

新）

师：像这样的例子，你还能举出来吗？

教师以图启思，比如画一条数轴、画两条平行线、角，让学生说出“数轴及平行线、角”的定义等.

（板书：学会以图启思）

师：让学生观察上述语句前后的结构特点.问什么是定义呢？我们来幺合定义下个定义。请同学们自学课

本P146中间文字，将定义的概念填写在导学案一L。接着，板书课题：12.1定义

通过I:面问题的分析♦，让学生知道，我们在交流或说理时，常常使用一些名称或术语，因此，要弄清

这些名称或术语的定义.

师生共同交流，给出定义的意义，并板书出来.

［设计意图］

首先从学生已有认知出发，由同学们已知的、熟悉的“偶数”问起，然后再到学生未知的、陌生

的“幸运数”，引起认知冲突，从而说明说理时要用到“定义”，得出学习“定义”的必要性.同时遵循

学生的认知规律，符合最近发展区理论.教学时，从多个例子的回忆与感知，让学生观察定义句式的特

点，从而体会“名称或术语”、“描述或规定”的意义，并留有一定的思考与交流的时间，让学生充分

表达自己的想法.

二、探索活动

【活动1】说一说（定义的探究）

问题：请你判断：下列给出名称的定义正确吗？

（1）“能使方程两边的值相等的未知数的值”是“方程的解”的定义.

（2）”由3条线段首尾依次相接组成的图形”是“三角形”的定义.

（3）四条边都相等的四边形叫作正方形；

（4）有一个角是锐角的三角形叫作锐角三角形：

师：同学们，那看来我们除了要明确“名称或术语”的定义，以后我们再对概念下定义时也应该精确

严谨、清晰简洁的描述.前面我们学习了对顶角的定义，你能运用对顶角定义判断下面哪些图形中含有对顶

角吗？

【活动2】辨一辨

请同学们接着看下面的问题.

根据对顶角的定义判断下面哪些图形中含有对顶角.

><><,+

师：学生不确定时追问你能画出一对对顶角吗？让学生动手画出对顶角并根据图继续追问“那你来给

对顶角下个定义“这种不断辨析过程能帮助学生建立数学语言的精确表达习惯。

师：对顶角是两个角在位置上的关系，那上学期学习两个角在数量上（度数上）乂有怎样的关系呢？

生：两个角的度数之和等于180°或90°。

师：恩，那这两个角互为？尝试着写出余角、补角的概念。完成在导学案上。

［设计意图］

在明确“定义”概念基础上，分别从“数”与“形”方面，给出两组已学过的定义，一方面复习

已学过的定义，另一方面，深化理解什么是定义.出示的对顶角的题目让学生分析典型的错误案例（比

如将邻角误认为对顶角），通过对比讨论揭示错误根源。例如“若两个角有公共边，是否符合对顶角的

定义？“通过此类追问，深化对定义本质的把握。

【活动3】分一分（明确概念的内涵和外延）

师:概念与概念之间都是有关系的。例如七（4）班的男生、七（4）班的学生、七年级的学生、晓店初

中的学生。这几个概念之间存在的联系你能用这几个。来表示吗？

师：那看来概念之间具有着从属关系，类比上面的概念，那单项式、整式、代数式它们谁是大概念谁是

小概念呢？也用venn图表示它们三者关系

师:类比上两个例子，完成练习巩固第三题。画图标出三角形、等腰三角形、等边三角形之间的关系.

［设计意图］

通过Venn图展示单项式、多项式与代数式的从属关系，其可以建立概念层级关系，强化逻辑分类

意识。通过Venn图的直观呈现，帮助学生明确代数式、单项式、多项式之间的包含关系：

-代数式为最广泛概念，包含所有由数和字母通过运算符号组成的式子；

-单项式和多项式作为代数式的子集，且多项式由单项式组成。这种可视化工具能避免学生对

概念产生混淆，例如理解“单项式一定是代数式，但代数式不一定是单项式”的从属逻辑。Venn图将

抽象定义转化为具象困形，符合七年级学生从形象思维向抽象思维的过渡需求；通过对比图形边界，

学生能更清晰地理解定义中的“充分必要条件”，例如“多项式必须由单项式相加构成二

【活动4】议一议

小亮和几个好朋友玩游戏：每个人

轮流在空地上投七颗小石子，谁投的七

颗小石子的散度最小就算谁嬴.

你觉得游戏中的“散度”是什么意

思？你能给“散度”下定义吗？

师：你觉得游戏中的“散度”是什么意思？你能给“散度”下定义吗？

师生共同探究：游戏中的“散度”是一个未明确说明的模糊概念，学生需要通过讨论意识到：缺乏准

确定义会导致规则混乱。例如，如何量化“石子散开程度”？可能用石子间的平均距离、最大间距或覆盖

面积等指标。这让学生直观感受定义的现实意义一一消除歧义，建立统一标准。

［设计意图］

通过尝试为“散度”下定义，学生需要经历从生活语言到数学语言的转化过程。例如，若将''散

度”定义为“石子落点形成的多边形周长”，需思考是否涵盖所有可能的分布情况，是否符合游戏公平

性原则。这呼应教材中强调的“定义的逻辑严密性定义是后续命题、定理学习的基利。例如，若

后续讨论“若散度小于10厘米则获胜”，需先明确“散度”的数学定义才能判断命题真伪。这为第12

章后续“命题结构分析”(如改写为“如果…那么…”形式)提供铺垫。

但不同学生可能对“散度”有不同理解。教师可引导学生通过举反例(如两组石子分布不同但符合某

定义)暴露定义漏洞，进而优化定义。

三、尝试解决

【活动5］试一试

1.下面是小明给一些概念下的“定义”，你觉得这些“定义”合适吗?说说你的理由.

⑴像火车铁轨那样的两条线叫作平行线；

(2)三条边都相等的三角形叫作等边三角形；

(3)四条边都相等的四边形叫作正方形；

(4)有•个角是锐角的三角形叫作锐角三角形；

2.画示意图表示下列概念之间的关系；

有理数、正有理数、负有理数、零

［设计意图］

这组练习的设置一方面巩固内化定义及有理数、正有理教、负有理数、零的概念。另一方面，通

过从属关系回顾数与数概念之间的从属关系。

【活动6】做一做

3.在数学的奇妙世界里，有很多独特的数，比如费尔4数、相亲数等。今天介绍“水仙花数”，各个数

位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做‘水仙花数”，像153就是“水仙花数”，因为I3+53+T=153。

提问：同学们,那你们能从113、407、220这三个数中找出“水仙花数”吗？

四、小结思考

让学生与大家分享学习收获，能根据所学举出相应的例子加以小结与思考.

(―)知识层面

1、定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.

2、定义的从属关系

3、给概念下定义的要求

(二)方法层面

学会观察、学会以图启思、、学会转化、学会合作交流、学会分析、学会表达。

12.3证明

【学习目标】

】、能在观察、实验、操作的基础上，对所作的猜想加以证实；

2、了解证明的基本步骤和书写格式；

3、通过积极参与，获得正确的数学推理方法，理解数学的严谨、严密性，并培养与他人合作的意识.

【学习重点】了解证明的基本步骤和书写格式.

【学习难点】熟练掌握证明的基本步骤和书写格式.

【学习过程】

一、情境引入

1、同学们听说过或见过海市蜃楼吗？

夏天，平静无风的海面或沙漠上，有时能看到楼台、亭阁、集市、庙宇等虚幻景象出现在远方的空中

自然界中看到的景象是真实存在的吗？

2、数学中有各种各样的命题，判断命题的真假是数学的一个基本活动.

二、探究活动

1、探究活动一

(1)讨论：

①观察图12-3(1),线段AB与CD哪条较长？

②观察图12-3(2),位于中心位置的两个圆一样大吗？

⑴⑵⑶

(2)从以上三个探究活动中，你有什么感悟啊？

生活经验告诉我们，“眼见不一定为实”.数学中-•般不能仅仅凭借观察来判断一个命题的真假.

(3)数学命题一般都由“条件”和“结论”两部分组成，如果我们从命题的“条件”出发，根据一些已知的

事实，得出命题的“结论”成立，那么就可以说这个命题为真命题.

(4)举例:

①判断命题“如果a,b是偶数,那么a+b也是偶数”的真假性.

②判断命题“如果a<b,c〈d,那么a+c<b+d”的真假性.

(5)像上面这样，从命题的条件出发，根据一些已知的事实(如概念的定义，基本性质，真命题等)，用“因

为，所以.....”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明

(proof).

2、例题讲解

证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.

3、尝试练习

1.(书本第154页练习第1题)如图，点A,B,E在一条直线上，在空格上填写推理的依据.

(1)・・・N1=N3(已知),

AAB〃CD().

⑵:/DAE二NCBE(已知)，

:.AD〃BC().

(3)VZCDA+ZDAB=180°(己知)，

4、例题讲解

证明：三个连续自然数之和能被3整除.

5、讨论：证明一个命题的一般步骤有哪些？

⑴___________________________________________________________________

⑵___________________________________________________________________

⑶___________________________________________________________________

6、例题讲解

求证：对顶角相等.

7、尝试练习

1、求证：同旁内角互补，两直线平行.

2、如图：已知CB_LAB,CE平分/BCD,DE平分NADC,Zl+Z2=90°

求证：AD/7CB

1241三角形内角和定理

【教学目标】

1.会证明三角形内角和定理，并能运用定理解决简单的问题；

2.经历操作、探究与证明的过程，进一步发展推理能力及理性说理能力;

3.通过一题多解.，积累解决几何问题的经验，感悟逻辑推理的数学价值.

【教学重难点】

重点：理解并掌握三角形内角和定理及其简单应用

难点：三角形内角和定理的证明中辅助线的添加

【教学方法】

目标教学法、引导发现法、讲练结合法

【学法指导】

合作交流、动手操作

【教学过程】

（一）新课引入

问题1:小学时，我们学习过对任意的三角形，它们的内角和时多少度？

三角形内角和为180°（板书）

问题2：回忆一下，我们之前是如何验证这一结论的？

度量、折叠、撕纸等

借助课件展示两种常见的撕纸方法:

观察两种撕纸方法，有什么共同点？

①将三个角共顶点放置；②三个角拼凑成了平角.

问题3：思考一下，我们之前验证结论的方法一定可靠吗？

观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，必须

要进行有理有据的证明.

从上面的撕纸操作过程中，你能发现证明思路吗？

（二）新知探究

观察撕纸过程，引导学生得到通过添加辅助线，构造平行线，达到转移角的目的。

教师应指出辅助线通常画为虚线，并在证明前交代说明。添加辅助线不是盲目的，而是证明需要引用

某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证

明的目的。

探究1：根据图1的拼凑方法，得出以下证明方法.

已知；如图，△ABC.

求证：4A+4B+4c=180°.

证明：作BC的延长线CD,过点C作射线CEIIBA.

vCEHBA

.•.ZB=Z2（两直线平行，同位角相等）

△A=N1（两直线平行，内错角相等）

••ZBCA十乙ACE十乙ECD=180°（平角定义）

.ZA+4B+4ACB=180。（等量代换）

提问：若不将4B转化到42的位置，还可以证明结论吗？

除可以借助平行线构造平角外，还可以通过构造同旁内角证明结论成上

根据图2的拼凑方法，得出以下证明方法.

已知：如图,AABC.

求证：ZA+ZB+ZC=18O°.

证明：过点A作/〃3c.

•・2BN1（两直线平行，内错角相等）.

4>42（两直线平行，内错角相等）.

vz2+zl+zBAC=l80°,

.-.ZB+ZC+ZBAC=I80O,

探究2：观察以上两种证明方法，均将三个角“搬”到三角形的顶点处，思考能否将三角形的三个角的顶点“凑

到“三角形的边上？内部？外部？

证明：在BC边上任取一点D.过D作DEIIAC,作DFIIAB.

•••DEHAC,DFHAB

•••2C:乙EDB/B二4FDC（两直线平行，同位角相等）.

ZA+ZAED=18O°,ZAED+ZEDF=18O°（两直线平行,

角相补），

ZA=ZEDF（同角的补角相等）•

vzEDB+zEDF+zFDC=l80°（平角定义），

.•2A+4B+ZC=18O°（等量代换）.

其他证法按照课后第5题完成，下节课分享.

探究3：经过以上多种方法的严格证明，现在能否肯定“三角形内角和为180。”，直角三角形呢？钝角三角形

呢？

（利用构造“同旁内角”说理）（利原构造“平角”说理）

归纳总结:

三角形内角和定理：三角形内角和为180

几何语言：在AABC中，

ZA+ZB+ZC=180°

作辅助线（平行线）

证明思路：三角形三个内角）平角或同旁内角

转化

（三）新知应用

例.如图，在AABC中，4B=38。，4062。，AD平分乙BAC.求4ADB的度数.

想一想：

1.△ABC中可以有3个锐角吗？2个直角呢？2个钝角呢？

一个三角形中，至少有两个锐角

一个三角形中，最大角不能小于60。

2.若^ABC有1个直角，那么另外两角有什么特点？

直角三角形两个锐角互余

练一练：

1.填空题：

①在aABC中，4A=35。，NB=43。，则NC=.

②在aABC中，乙AzBzC=l:2:3,MAABC®三角形.

③在aABC中，4A=4B+10°/C=4A+1004ij4A=,zB=,ZC=.

2.在^ABC中，zA=2zB=3zACB,CD是^ABC的高，CE是NACB的平分线，求乙DCE的度数.

试一试:

A

如图，在AABC中，BP平分上ABC,CP平分4ACB,若zBAC=60°,求NBPC的度数.

【校书设计】

12.4.1三角形内角和定理

学习目标：

①会...

②能…

课堂小结：

三角形内角和定理:

符号语言：

证明思路：

【教学反思】

亮点：I.教学环节齐全，思路清晰，板书有设计感，通过三个探究较好的突破了重难点;

2.重视学生的动手操作，师生合作默契；

不足：I.证法(一)教师引入速度较快，给学生思考时间较少；

2.例题剖析出发点太靠后，应“由因索果''式进行.

12.4定理(2)

【学习FI标】

1、学会用多种方法证明多边形的内角和定理和外角和定理，并会能简单地运用；

2、进一步学会利用添置辅助线来解决问题，理解辅助线在几何证明、计算中的运用.

【学习重点】多边形的内角和定理和外角和定理.

【学习难点】学会利用添置辅助线来解决问题.

【学习过程】

一、创设情境

1、什么叫作三角形？

2、你能借助三角形的概念给出四边形、五边形、六边形......的定义吗？

三角形四边形五边形六边形

二、新课讲解

1、概念理解

(1)在同一平面内，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接而组成的图形叫作多边形.一个多边形有几条边,

我们就称它是几边形.

(2)三角形的内角和定理是?

(3)猜想：四边形的内角和是；五边形的内角和是；

2、探索活动

我们知道：三角形的内角和是180。，那么能不能借助三角形的内角和定理推出四边形、五边形.....的内角和

呢？

(1)探索活动一

①如图12-7是一个任意四边形ABCD,你能利用三角形的内角和定理来求四边形ABCD的内角和吗？

②同样，五边形的内角和是;六边形边形的内角和是;

③猜想：n边形的内角和是.D-

/-----------------

图12-7

⑵探索活动二

①探索n边形的内角和

多边形四边形五边形六边形

KD

(

D.—**

图形尸€

山-----।“1"

分成的三角形的个数

内角和

②讨论：对于n边形的内角和，你有什么猜想？

③一般地，可以得到多边形的内角和定理：n边形的内角和等于.

④作还有什么方法来求多边形的内角和吗？请与同学交流.

⑶尝试练习：

①在四边形ABCD中，ZA=ZB=UO°,4c=50。，则zD=°.

②已知n边形的内角和等于1800%则n=.③若n边形的每一个内角都是120°,则n=.

④在四边形ABCD中，ZA：ZB：乙C：zD=l：2：3：4,则匕A=°,zB=°.zC=°,zD='

⑤多边形每增加一条边，其内角和增加

⑥下列度数，能是某个多边形内角和的是()

A.800。B.900。C.1000。D.I1000

(4)探索活动三

①多边形有内角，也有外角，如图12-8,延长CD,得到射线CF,NEDF是五边形ABCDE的顶点D处的一

个外角.同样，延长DE至G,得4AEG是顶点E处的一个外角，延长EA至H,得NBAH是顶点A处的一个外

角，一个顶点处有两个外角，它们互为对顶角，我们在每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫作这个多边

形的外角和.H

②问题：多边形的内角和有一般规律，外角和也有一般规律