2026高考数学二轮复习-思维提升 培优点5 极点与极线

培优点5极点与极线

［考情分析］“极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的

♦种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，掌握了极点、

极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质.

考点一极点与极线

I.极点与极线的定义

过点。（沏，州）的动直线交圆锥曲线于A,B两点，过A,8的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极

线，点P叫做相应于此极线的极点，简称极.

一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.

2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系

如图（1）,若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线/与点P的切点弦重合，即相应的极线/是由点P向圆锥

曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线/与圆锥曲线有两个交点；

如图Q）,若极点P在圆锥曲线内，则极线/是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，

此时，极线/与圆锥曲线相离，它们无交点；

如图（3）,若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线/与在点P处的切线重合，即相应的极线/就是圆锥曲线

在点P处的切线，极线/与圆锥曲线有唯一交点.

例1（多选）已知点P是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是（）

A.已知点P（xo，州）和圆C：则关于点P的极线方程为梦二/

B.已知点尸（须，州）在椭圆外，则点尸相应的极线方程为簧+整二1

C.对于双曲线然、，与点P（xo,阿对应的极线方程为管翠=1

D.对于抛物线），2=2px,若点P©,0）,则对应的极线为抛物线的准线

答案ABD

解析对于A,点产与圆的位置关系有三种，不妨设点P（xo,为）在圆C的外部，

两切点分别为不但，y）,72（X2,以），

两条切线的方程分别为XiX+yiy=r（i=1,2）,

（即，州）在切线上，・・・工0乃+）梦户尸，

xoX2+jo>'2=r,

・二7］（11,yi）,72（工2,”）在直线入旅+泗尸产上，由两点确定一条直线知直线的方程为入0%+.2）=/，A正

确；

对于B,极线/与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为

A(xi,yi),6(x2,yi)f两条切线的方程分别为

如:置窄d弧:簧爷=1,

%6。,yiyo_

1&

•••尸(即，/)在切线上，.1

“2工。,y-zyo_1

"

{宝"十丁-L

即点4(X1,yi),8(12,>,2)均满足1»

故切点弦A8所在直线方程，即为点P相应的极线方程，为蓄隼=1,B正确;

对于C,证明方法同椭圆，可得极线方程为簧-瑞C错误；

对于D,由阿基米德三角形的性质可知D正确.

［规律方法］(1)一般地，若圆M：(x-a)2+(y3)2=/,p(xo,No)是圆外一点(极点)，则过点P(X(),和)的圆”的

切点弦(极线)的方程是(x()-a)(r〃)+(典-b)(y-Z?尸产.

⑵从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以XN替换f,以巴丝替换不，，以)梦替换JP,以竽替换羽以

竿替换)，即可得到点P(xo,yo)的披线方程.

(3)从几何角度看，如图，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,

F,G,H,连接E”，/G交于M连接EG,"/并延长，延长线,交于M,则直线MN为点尸对应的极线.

P

若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.

由图同理可知，PM为点N对应的板线，PN为点M对应的极线.因而将△MNP称为自极三角形.

跟踪演练1过椭圆。：白［=1内一点M(3,2),作直线A3与椭圆交于点A,8,作直线CO与椭圆

交于点C,D,过A,B分别作椭圆的切线交于点P,过C,。分别作椭圆的切线交于点Q,求夕。所

在的直线方程为.

答案三+空=1

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解析方法一由题意知直线PQ为点M关于椭圆C的极线，所以直线PQ的方程为苦+^=1.

方法二由题意设P(M,刃)，0(X2,力).

则直线48为点P关于椭圆C的极线，

其方程为景等“

又”(3,2)在直线AB上,

所以筌普=1,

Z59①

同理会拜务1，

由①②可得直线的方程是等g=l.

考点二极点与极线的性质及应用

例2设椭圆C*3,2=］的右焦点为凡如图所示，过点厂的直线/与椭圆C交于4,3两点，点M

的坐标为(2,0),O为坐标原点，证明：/OMA=NOMB.

证明当直线/的斜率为0时，易任NOMA=NOMB；

当直线/与x轴不重合时，设其方程为广〃?)，+1,

A(xi,yi),13(X2,)n).

x=my+1,

{》/+y22=ii,

消去x得(加+2))2+2号1=0.

易得1=8(〃/+］)〉0,所以》+)，2二二^与，yiy

Ttl+/2m2+2

则kAz+kl：M=-2

#1一/X2一/

二月(》2-2)+、2。1-2)

(Xi-2)(x2-2)

二%/2+工2'1-2(71+乃)

(盯-2)(0-2)-，

而汨)2+12)k2()，［+)，2)

二(孙+1»2+(〃》+1加

=2my\y2-(y\+y2)

:2处(一总)一(一晶

所以3m■总产0，从而N0MA=ZOMB.

综上所述，ZOMA=ZOMB.

［规律方法］极点、极线的性质

⑴如图1,设点尸关于圆锥曲线厂的极线为/,过点P任作一割线交厂于点A,B,交/于点。，则出二丝;

PBBQ

反之，若搭嗡成立，则点儿Q调和分割线段回，并呜去专，弥高

(2)如图2,设点P关于有心圆锥曲线八设其中心为。)的调和共辄点为点Q,PQ连线经过圆锥曲线的中

心，则有。炉=02.。。，反之若有此式成立，则点。为点P关于此圆锥曲线的调和共蛆点.

(3)如图3,A,8为圆锥曲线，的一条对称轴/上的两点(不在，上)，若4,"关于〃调和共轮，过点8任

作〃的一条割线，文「于P,Q两点、，则NPA8=/QA4.

(4)如团4,已知点。在圆锥曲线厂的对称轴上，直线/垂直于该对称轴，过点。作直线交〃于点M,N,P

为/上任意一点.若点Q与直线/是「的一对极点与极线，当对称轴是x轴时，kp/kpN=?kpQ.

(5)如困5,已知点4是椭圆，吟T(办〃X))上任一点，极点PQ,O)(|*S,|f|Wc,fWO),相应的极线,厂手，

桶圆在点A处的切线与极线交于点N,过点N作MN1AP干亲、M,则直线MN恒过x轴上的一个定点

Q,且点M的轨迹是以PQ为直径的圆(点。除外).

(6)如困6,设圆锥曲线厂的一个焦点为F,与户相应的准线为/.若过点E的直线与圆锥曲线，相交于M,

N两点，则〃在M,N两点处的切线的交点Q在准线/上，且尸Q_LMN;反之，若过准线/二一点Q作圆

锥曲线厂的两条切线，切点分别为M,N,则直线MN过焦点忆且FQ工MN.

跟踪演练2并与》轴交于点

P,A,8分别为椭圆的左、右顶点，直线AC与8。交于点Q.当点P异于A,B两点时，证明：OPOQ

为定值.

证明设直线/的方程为广质+1伏力0,kW±l),

y=kx+1,

设C(w,J1),。。2,J2),联立,先

+x2

2

消去y得(F+2)f+2履-1=0,

易得4:8(2+1)>0,

2k

匕+不=_亚，①

则《

②

易知A(-1,0),B(l,0),

则直线AC的斜率依c=t7,

+1

其方程为)=,，：i(x+i),③

“1+1

直线B。的斜率吐券,

其方程为尸。④

由③♦④得当

八"2-1)'

即％Q+lj2(M+l)=(依2+l)g+l)

XQ-lyi(x2-l)(kXi+l)(x2-l)

_kx1x2+kx2+x1+l

/CXiX2-fcX1+X2-l

二一念+F3F+1

一^-k(一X2)+X2T

竽竽+-1)M一

解得x（）=-k.易得P（-/0）,

故OPOQ=XFXQ=3（-Q=1,

K

即而•丽为定值1.

专题强化练

［分值：30分］

1.（13分）如图，已知椭圆C?+），2=1的左、右顶点分别为A,B,上顶点为O,点尸是椭圆。上异于顶点

的动点，直线A。与直线BP交于点M,直线。2与x轴交于点M证明：直线MN过定点，并求出该定点.

证明由题意可得。(0,1),8(2,0),A(-2,0),

设直线18P的方程为x=my+2(m^0,〃?W±2).

(X=my+2,

联立5+y2=i,

消去x得（“『+4））2+4"Ly=o,

解得尸0或尸■悬，

所以底W，

•m2+4

8-2m2

从而xp=myp+2=-

?n2+4

B-2m24m

故PI），

m2+47n2+4.

4m«

m+2

所以直线。户的斜率k=-

DP8-2m2.8-2m22(m-2),

mz+4

故直线。P的方程为产基产，

令产。，解得广黑手黑，

所以N篇，。)，

又直线AO的方程为三月二1,即片2)叶2=0,

-21

2tn+4

%-2y+2=0,X=

联立m-2

x=my4-2,4

y=m-2'

所以唆甯，-高)

所以直线MN的斜率

0+-----m+2

f<MN-4-2m/2m+4：

m+2+m-24m

所以直线MN的方程为广鬻x_4-2m

m+2

整理得/na-4v+2)+2v-4=0,

由&■之觉=O'解得x=2,

ly=L

所以直线MN过定点(2,1).

2.(17分)设抛物线C),=｛的焦点为凡动点P在直线/：x-)，-2=0上运动，过户作抛物线。的两条切线

PA,PB,且与抛物线C分别相切干4,B两点.

⑴求也”8的重心G的轨迹方程；(7分)

(2)证明：NPE4=NPFB.(1(^>)

(1)解设切点A,8坐标分别为3),诏)和(xi,瓷)(汨¥X0),

所以切线AP的方程为2VO.V->,-XQ=0,切线BP的方程为2x\x-y-xl=0,

由于P既在AP上，又在BP上,

(2XX一力一据=0,

所以QP

(2x1Xp_yp_*=0,

冷=吟(空，珀4

解得

2J

(yp=xoxlt'

所以AAPB的重心G的横坐标

X0>X1+Xp_

XG----3----―"，

丸+在