人教版高中数学必修第二册第7周单元检测【原卷+答案】

第7周单元检测

（第六一七章30%+第八章（8.1—8.4）70%）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分或40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

L设i是虚数单位，复数？一-,则5在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知复数其中i为虚数单位,则复数2的虚部为（）

1-1

A.-iB.--i

22

C.-D.--

22

3.在A4BC中，丽=2反，则而=（）

A.--AB--ACB.-AB--AC

3333

C.--AB+-ACD.-AB+-AC

3333

4.已知一圆锥的母线长为3,侧面积为3追7T,则该圆锥的高为（）

A.2B.V5C.4D.10

5.已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为（）

A.6兀B.4兀C.2nDm

6.已知〃?,〃是两条不同的直线,火夕是两个不同的平面则下列说法正确的个数为（）

〃zua,〃u/?,a〃夕，则〃?〃〃；

（2）^〃2J_Q,〃〃S，G〃伙则加J_〃；

（§喏m则m///?;

包诺aCl4=〃〃肛则n//p.

A.4B.3C.2D.l

7.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中48=4C=2,则

该平面图形的面积为（）

cy

Q4)Bx

A.V3

C.2V3

8.（2024吉林长春高一期末）棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四

面体可以在正方体内任意转动，则。的最大值为（）

B.独

C.V3

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

目要求，全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9已知向量ei,ez满足|ei|=2|e2|=2,且ei与ez的夹角为卓若ei-2e2与加i+e2的夹角为钝角,

则实数2的值可以是（）

10.已知正四棱台上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,则（）

A.正四棱台的高为2

B.正四棱台的斜高为V5

C.正四棱台的表面积为20+1275

D.正四棱台的体积为竽

11.如图所示，已知正方体ABCD-MB\C\D\棱长为1,过对角线BD\的一个平面交AA于

E、交CG于凡下列结论正确的是（）

A.四边形一定是平行四边形

B.四边形8方。石有可能是正方形

C.四边形3/力行周长的最小值为2+2迎

D.四棱锥Bi-BFDiE的体积为定值

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.等腰三角形A3c中,乙4=90°$8=2,点M在8c上，则福•丽的最大值

为.

13.在直角三角形A3C中,4?=8C=&,N3=9()°,将此三角形绕直线AC旋转一周，所得

几何体的体积为.

14.(2024北京怀柔高一期末)“堑堵”最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章.《九章

算术•商功》刘徽注:邪解立方得二堑堵，邪解堑堵,其一为阳马;其一为鳖其中“堑堵”是

一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的三棱柱，如图，长方体的长为3,宽为4,

高为5,若堑堵中装满水，当水用掉一半时，水面的高为.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(13分)已知向量a=(l,0),|b|=3,a±(a-b).

⑴求|a+b|;

⑵求a与a+b的夹角的余弦值.

16.(15分)如图，在正四棱锥P-ABCD中/B=P4=4.

(1)求此四棱锥的表面积；

(2)求此四棱锥外接球的体积.

17.(15分)在平面直角坐标系xO-v中，。为坐标原点,已知点A(3,4),B(-2,2),且四边形OABC

是平行四边形.

⑴求点C的坐标及I^11;

⑵若点P为直线。3上的动点，求方•玩的最小值.

18.（17分）如图，已知圆锥的顶点为P,。是底面圆心,AB是底面圆的直径.

⑴若箓=|,求圆锥侧面积与底面积的比和圆锥侧面展开图扇形圆心角的弧度数;

⑵经过圆锥的高P0的中点O作平行于圆锥底面的截面,记圆台0。的体积为丸以P0

为直径的球的体积为幺且1=7,求NAP8的余弦值.

19.（17分）（2024上海高二月考）如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积

为孚

（I）求该半球的体积;

（2）若从半球中把正四棱锥S-A3C。挖去，求所得几何体的表面积.

答案:

1.B•・•z=W=-6-5i,则5=-6+5i,因此/在复平面内对应的点在第二象限.故选B.

ZD二等=篙券=芋="I泗'=h?故彳的虚部为推故选D.

3.D而=荏+筋=标+：说=布+家前一前月布+部•故选D

4.A设该圆锥的底面半径为八高为九圆锥的侧面积为S=7rx3r=3而兀，解得厂二遥，因此,

该圆锥的高为力二行石=2.故选A.

5.C圆柱体积为兀x/x2=2兀故选C.

6.C如图，

在正方体ABCQ-ABGQi中,记平面ABCD为火平面48IGOI为成，直线AB为肛直线

A\D\为〃，可知&M误;因为/〃_La,a〃4所以/w_L£,又月〃人所以〃…〃,②正确;在正方体

ABCD-A\B\C\D\中,记平面A5C。为平面A\BiBA为pM\为私易知怎潴误;因为

所以〃，夕.又八〃所以〃〃人@正确.故选C.

7.D作出原图形如右图所示，

则A6'=24C'=4,所以该平面图形的面积为/〃AU=ix2x4=4,故选D.

22

8.B棱长为2的正方体内切球的半径为1.

因为正四面体可以在正方年内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，即棱

长为。的正四面体的外接球的半径为1,设正四面体为尸-48C,过点P作尸0J_平面ABC,

垂足为O,连接AOQ为底面正三角形ABC的中心，

则A0=-x些〃=渔〃,体高为P0=la2-（—a）2=—a,

32333

由于外接球半径为1,利用勾股定理得（出〃-1）2+（在＞2=1,解得4二2或4=0（舍）.

333

9.BC因为向量ei值满足旧|=20|=2,且ei与e2的夹角为*所以

eie2=|ei||e2|cos-=2xlx-=L

32

因为ei-2e2与2ei+e2的夹角为钝角，

所以隐2紫胆+3)<0,化简得；仇解得卜,胃对照四个选项，实数X的值

(1H-24,11。儿口工」，

可以是2和士

33

故选BC.

10.BCD对于选项A,：正四棱台上、下底面对角线长分别为2企,4注,・•.正四棱台的

高商卜乂穹5=V2,A错误;对于选项B,正四楂台的斜高h'=J22-(芳)2=V3,B

正确;对于选项C「・•正四棱台侧面积为4X1X(2+4)X>/3=12V3,±.下底面面积分别为

4,16,・・・正四棱台的表面积S=4+16+12V5=20+12V5,C正确;对于选项D,正四棱台的体

积V=1X(4+V4X16+16)xV2=—,D正确.故选BCD.

33

11.AD对于选项人,由面面平行的性质定理得七£)1〃3b,尸。|〃3£故人正确;对于选项

B,若四边形BFDiE为正方形，则七。|_1_8七,£7)|二3区且在正方体中有4。_1_8&4。与D\E

相交于一点，所以平面/UiDD,即点上与点A重令,而此时ED#BE,故B错误;对于

选项C,设AE=x,所以四边杉周长为2(砂+瓦)。=2(后中+J1+根据几何意

义可决口，1+%2+J1+(1«)2表示点到(0,_1),(1』)的距离之和,即可知五不宠+

J1+(1-x)*2>遍,四边形BFOiE周长的最小值为2遍，故C错误;对于选项

DMBI_8F0IE=VE-BB]D]+故D正确.故选AD.

12.-如图所示，点M在直线x+y=2上，

2X

\M(X,2-X)

A8(2,0)x

故设M(X,2-X)(0WXW2),4M=(JV,2-X),MB=(2-JV*2),4M•MB=x(2-x)+(2-x)(x-2)=-2^+6x-

4=-2(X--)2+-,

22

翁•丽的最大值为士

2

将三角形绕直线AC旋转一周得到的几何体是两个同底圆锥的组合体，在直角三

133.-

角形ABC中,4C=2,所以圆锥底面圆的半径为1,两个圆锥的高的和为AC=2,

所以几何体的体积为％乂1入2=空.

33

14.竺乎由题意，堑堵的体积y=lx5x4x3=30,

当水用掉一半时,由相似的性质可得充满水的直四棱柱底面梯形的上底长x满足土=*.

45

解得尸4%,

所以直四棱柱的体积v・生产x3=W^x3=15〃2庐-20〃+25=0,

解得狂竺乎或力二若马舍去).

15.解⑴因为a=(l,0),所以|a|二l,

由a_L(a-b)得a-(a-b)=a2-ab=0,

解得a•b=1.所以|a+b|=J|a+b|2=Va24-2ab4-b2=712+2x1+3?=2V3.

(2)因为a(a+b)=a2+ab=2,

所以cos<a,a+b>=Q(a+^=~^==—,

|a||a+b|263

所以a与a+b的夹角的余弦值为三.

16.解(1)在正四极锥P-ABCD中,A8=PA=4,则该正四棱锥的侧面都是等边三角形，

所以该四棱锥的表面积为S=4x^x42+42=16V3+16.

(2)连接AC,BD交于点O,连接OP,则。为AC,BD的中点,

因为四边形ABC。是边长为4的正方形，则AC=，O=&3=4或,由已知正四棱锥P-

ABC。的侧棱长为4,则%2+尸。2=4。2,所以PA±pc.

同理PBA,PDM。「二1。=。4=。。=。8=0。=2近,所以点。为正四棱锥P-ABCD外接

球球心，且球O的半径为2企，

因此，此四棱锥外接球的体积为V=如x(2加)3二竺在兀

33

17.解(1)如图所示.

设。点坐标为a,y),则泥=a，y),荏=(・5,・2),

因为四边形OABC是平行四边形，觉=荏，

则有所以C(-5,-2),

可得前二(-8,-6),|波|二10.

⑵由题意得直线OB的方程为y=-x,设P(a,-a),

贝IPA=(3-r/,4+〃),玩=(-5-«-2+〃)，

所以24♦2。=(3-〃)(-5-。)+(4+4)(-2+。)=2层+44-23=2(〃+1)二25,故当点P坐标为(-

1,1)时，西•无取得最小值25.

18.解⑴若圆锥侧面积、底