2026年高考数学总复习突破：数列的融合交汇问题

微专题12数列的融合交汇问题

[考情分析]近几年高考中，数列与其他知识的综合问题，特别是数列与不等式、导数结合考查数列的最

值、范围问题，数列与解析几何、三角结合等，既以解答题的形式出现，也以选择、填空题的形式出现，

题目难度较大.

微点一数列与不等式、导数结合解决最值、范围问题

1.(2025•江门模拟)已知数列｛凡｝的前〃项和为，，且S〃=2a“-2〃，设》=(〃-孙og2(o〃+2),AGR,若数列

｛九｝是递增数列，则实数2的取值范围是()

A.(・8,3)B.(・8,4)

C.(3,+°°)D.(4,+°0)

答案B

解析由题意Sn=2a„-2n,

所以$1=«1=2«1-2,解得at=2,

而an=Sn-Sn.]=2a„-2n-[2a„.r2(n-1)]

=2%-2%-2(〃22),

从而a„=2an.i+2(〃>2),

所以%+2=2(0“+2)(〃22),

所以｛an+2｝是以切+2=4为首项，2为公比的等比数列，

所以%+2=4〉2用1=2日,

2

所以hw=(w-2)log2(a„+2)=(w-2)(w+l)=w+(1-A)w-A,

若数列｛仇｝是递增数列，

则儿+|>",恒成立，

所以也=(〃+1>+(1-，)(〃+1)」-[〃斗(1-2)/7-/]

=2〃+1+1-A=2/?+2-A>0恒成立，

所以卜2〃+2恒成立，

所以k(2〃+2)min=4,

所以实数2的取值范围是(-8,4).

2.(2025・宁波模拟)已知数列｛%｝满足点(〃，凡)在直线洛7r-可I1上，数列｛。〃｝的前〃项和为S”，则〃S“的最

JO

小值为()

A.-47B.-48

C.-49D.-50

答案C

解析因为数列｛小｝满足点(〃，a”)在直线)•等4上，所以许等片.

因为<7„-«n-i=(5n—y)-[1(九—1)一引总心2),

所以数列｛册｝是首项为公差为；的等差数列，

所以S,尸3〃中义尹1，

则词/2(7°).

设/⑴小吗>0),

则/。)+(3420),

当x£(0,y)Bt,/(x)<0；

当xE管，+8)时，八刈>0,

所以/(X)在(0,?)上单调递减，在(g,+8)上单调递增.

又〃£N*,16)-6卷-4)—48,

火7)=号叉=-49,

所以/(〃)mm=«9,

即,5的最小值为-49.

3.已知。1=2,73=4，｛2｝是等差数列，且…。〃=乙

(1)求％,Tn；

(2)求证：吉WT■…V^n(〃+1).

al11a2z23an*n

⑴解由。1。2的…0»=北，得「=。1=2,等差数列｛北｝的公差"一丁；匚;'-1,则7；=〃+1,

当〃22时，已送2a3…

三〃1/叫，1。通2(13…Q”一1=%-1，

于是％”且色=2满足上式，

1n-1n

所以斯/^,〃£N,.

(2)证明令函数外)=Inx-x+l,0W1,求导得八外41>0,即J(x)在(0,1)上单调递增，

所以/)勺(1)=0,即Inx<x-\,

取7?〃WN:

则心土备1=・杰，

于是导M哈

由(1)知，a1r，…；W~=ln(〃+l)-ln

unInQn+1jQzi+ljn+1n

所以l)-lnl=ln(w+1).

。二1，1+〃。2；,2+a」3'3+***+a-n^r'<nh-\(n+

微点二数列与解析几何结合

4.(多选)(2025•赤峰模拟)已知抛物线C：F=4x的焦点为尸，点P”(〃£N")在。上，其横坐标为外，若

｛小｝是等差数列,且。2=3，%=9,则()

A.〃i=l

B.数列｛『,冏｝是等差数列

C.点尸的坐标为(2,0)

口.|尸]用+|02月+…+|050四=2550

答案ABD

解析因为抛物线C：产=4%的焦点为尸(1,0),故C错误；

因为｛为｝是等差数列，

设公差为“，且。2=3，。5=9,

则45s=34=6,d=2,所以/=生-"=1，故A正确；

[P*]=%+1=1+2(〃-1)+1=2n,『/-胤一囚=2〃-2(〃-1)=2,

所以数列｛|P/B是等差数列，故B正确；

|尸四十|尸2爪+…+岛0=2+4+…+100=5°“曰10°)—2550,故口正确.

5.已知函数y=/(x)的图象恰为椭圆C：自*1(03>0)在x轴上方的部分，若/(s“)，/(s),.心+。依次成等

比数列，则平面上点(s,。的轨迹是()

A.线段(不包含端点)

B.椭圆的一部分

C.双由线的一部分

D.抛物线的一部分

答案A

解析依题意，易得y=fix)=b-Jl-^(-a<x<a),

因为j(s),/(s+。依次成等比数列，

则[/(s)F=/(s〃)y(s+/),

且-a<s<a,-a<s-t<a,-a<s+t<a,

得-a<s<a,-a<t<a,

可得-喑心-噜,

化简得仁232+2s2f2,

即t2(i2-2a2-2s2)=0,

解得尸=0或心2得2s2=0,

当户=0,即片0时，

因为-a<s<a,

所以平面上点(s,。的轨迹是线段(不包含端点)；

222

当l-2a-2s=Ot

即1=2"+禽2时,

因为所以「<出，

即2a斗29<«2,不等式无解,

所以i2=2a2+2s2不成立.

综上可知，平面上点（s,。的轨迹是线段（不包含端点）.

6.已知一列椭圆C”：N书=1,0<5„<1,/?=1,2,….如图所示，若椭圆C〃上有一点?，使P〃到右准线

/“的距离乩是冏项与|P”G“I的等差中项，其中a，G”分别是C”的左、右焦点.

（1）证明：乳21）；

（2）取，尸W等，并用S〃表示的面积，证明：S〈S2且S”>Sm（〃23）.

注：栉圆篇嗒=1（心6>0）的右淮线方程是.V=y.

证明（I）由题意，4=1,C“=J•一欣=>/1一人,

右准线，”的方程为X=^=^==,

根据椭圆的定义，有|P/”|+|P〃G“|=2a=2,

则乩也智21=1,

设点P“a〃，%），则Xajd,产厂二-1,

CnJ1-必

又椭圆a左顶点的坐标为（“，0）,右顶点的坐标为（1,0）,且p“在c,上，

所以-1W/W1,

即-1<1^臼，

，1-晅

解得b“W条

故儿〈日.

（2）由题意，|£G〃|=2c〃，/=；1,需，

cn"I

则会1隹镭，

日口n+11

即OR，勺不7，

所以.E蜜后才得磊,

则，=杷。“帆|=金卜”|产等，

N5+2）2

^22n2+3n

3LQ+2）3，

构造函数7W嗡养，

则&)(4X+3)(X+2)3-3(2X2+3X)(X+2)2

_2(/_丫―3)

一(x+2)4'

所以当KW2时，/(x)>0,左)单调递增,

所以£<5，即SFSz；

当后3时，Z(x)<0,/(x)单调递减，

所以腕在3时单调递减，即S〃〉S“+G23).

微点三数列与三角结合

7.已知数列｛斯｝是等比数列,数列也｝是等差数列，若3=-3百，勿+、6+如=7兀,则ta虑整的值

工”4"8

是()

A.1B.¥

c-4D.-V3

答案D

解析数列｛%｝是等比数列,数列｛乩｝是等差数列,

且。「a6ali=-3百，bi+b6+bn=ln,

「・Q烂・3旧,3/76=771,

/.cf6=-V3»/>6=y»

63+^9

tan■=tan——2b67

i-流

tan

=tanr(-T)

l-<-V3)

=tan(—2n-j)=-tan^=-V3.

cosa,cos(。一，，cos(Q+々)成等比数列，贝Usin2a等于()

8.(2025•南通调研)若

A片B.-哼

6

吗D-z

答案B

解析由cosa,cos(a-cos(a+3)成等比数列,

得cos2(a—F)=cosQcos(a+1),

即31+cos(2a-2)]=coscosa—Ysina)

11+cos2aV3.c

弓/乂一2-~4--sin2a,

~+^cos2a-^sin2a=^+^cos2«+^sin2a,

解得sin2。=—.

o

9已知a,b,c分别为△N8C三个内角4,B,C的对边,asin4=bsinB+(c-b)sinC

⑴求出

(2)若等差数列｛恁｝的公差不为零,O|COS/=1,且。2,。4,成等比数列,求｛三一｝的前八项和

解(1)因为asin彳=6sin8+(c-b)sinC,

由正弦定理化简得a2=b2+c2-bc,

再由余弦定理得cos/=/+：：一。2金

LDC乙

所以

(2)因为aicosJ=1,

由⑴知"W，所以〃i=2,

又生，%,的成等比数列,且数列｛〃〃｝为等差数列，

设公差为d,

所以成=。2。8，

所以(2+3。=(2+团(2+7菊，

又公差dWO,解得d=2,所以数列｛的｝的通项公式为%=2〃,

4

设儿=

41

则b产

4n(n+l)n(n+l)n"+1'

所以也J的前八项和

&=(1-3+g-3+G-3+…+(卜岩)

=1--

n+ln+1'

［总结提升］

利用导数证明数列不等式问题的方法

⑴直接构造函数法：证明不等式/(A)>g(A)(或.危)Vg(x))转化为证明/(x)-g(x)>o(或/(x)-g(x)<0),进而构造辅

助函数h(x)=f(x］-g(x).

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变杉，根据相似结构构造辅助函数.

专题突破练

［分值：70分］

一、单项选择题(每小题5分，共20分)

1.己知等差数列®｝中，由是函数尸sin(2x—已)的一个极大值点，贝I」tan(W〃9)的值为()

A咛B.V3

C.±V3D.-V3

答案D

解析由正弦函数的性质知，当2丫令亨•ZE,Z£Z,

即尸""ATC,时，函数兀v尸sin(2x取得极大值，

则的《*兀，kGZ,

由等差数列的性质，得的+的=2。7号+2&兀，££Z,

所以ian(a5+〃9)=tan停4-2Zen)

2n4(n\

=tan丁tan(n--)

=-tan^=-V3.

2.(2025•驻马店模拟)在等比数列｛4｝中,Q1013=1，若函数,/W=X(X-41)(X/2)…(廿。2025)，则八。)等于()

A.2025!B.-2025!

C.lD.-1

答案D

解析设g(X尸(X・0)(*。2)…(XS025)，

则/(x)=xg(x),八x)=g(x)+xg。)，

所以f(0)=g(。)，

因为｛斯｝是等比数列,且由013=1，

则。1。2025=。2。2024="=。1012al0l4=a1013=l，

,0,2

于是。化…。2025=(。1。2025)(。2。2024>"3012al014)^1013=1X1=1,

故g(0)=(0-ai)(U-a2)…(0-。2025尸(・1)23。图2…。2025="，

所以『(0)=g9)=-L

3.(2025•重庆模拟)已知。为坐标原点,3是抛物线E："=4x的焦点,An(x„f%),&(%,-%)(口£N*)是抛物

线E上的点,直线区4㈤的斜率为1，若4(1，2),则小°的坐标为()

A.(361,38)B.(400,40)

C.(441,42)D.(484,44)

答案A

解析依题意，F(l,0),

直线B/”+】的斜率为

K_yn+l+yn

Xn+lf

为+1+为

44

=_-_=1,

yn+i-yn

则%+「%=4,又刃=2，

所以数列也,｝是以2为首项，4为公差的等差数歹L

贝ijyn=2+(n-1)X4=4〃-2,

所以为尸

则KO=38,XIO=361,

即小o的坐标为(361,38).

4.已知数列｛/｝满足〃1号2母3+~+。"=〃2+〃(〃£>0，设数列｛，｝满足6"=：：：：：,数列｛乩｝的前n项和为

T"，若北<士>.(〃£1>0恒成立，则实数A的取值范围为()

n+1

A.g,+8)B.[一,,+8)

M，+8)端，+8)

答案C

解析数列｛0J满足。|弓色斗3+,,•4/"=〃2+〃，①

当〃22时，41+|。2《。3+,,*Y74”-1=(〃-1)斗(〃-1)，②

①-②得，；斯=2〃，*=2〃2,

经检验，“1=2,满足为-2〃2.

所以b不管‘

an°n+l

2n+l

4n2(“+1)2

W占一(n+lj'

可得乙T/或+/一靠+…+卡一岛?]

由于晨・券1(〃£1^)恒成立，

叫I」能上号，

整理得见》黑，

因为产需W(1+4?)在〃£N*上单调递减,

故当片1时，U言)=|,

\4n+”max8

所以12右

故A的取值范围为k，+8).

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.(2025,日照模拟)若数列｛〃“｝的前〃项和为S”，由4，2s“=〃册+,/(x尸(x-l)3+2x+ln£,则卜列说法正确的

是()

A.t?3=|

B.数列｛4｝是等差数列

C.曲线了文刈关于点(1,2)中心对称

19

D..£尸38

I=1

答案BCD

解析令白40,解得0<%<2,

故,/(x)=(x-l)3+2(x-l)+ln-^-2的定义域为(0,2),

当x£(0,2)时，2-x£(0,2),

H2-x)=(l-x)3+2(l-x)+ln9+2,

所以J(x)+J(2-x)=(x-1)3+2(x-1)+ln32+(1-x)3+2(l-.r)+ln一+2

=4,

所以由线片/(x)关于点(I,2)中心对称，故C正确；

2Sn=na,n-\,

所以2s“J=(〃-1)〃“，”22,

故2凡=25“-2，.1=〃。/1-(〃-1)。”，2,

即(〃+1)。”=〃4+|,"22,

所以鬻章心2,

在2s户70rH中，令〃=1,得。2=2$,

又0$

所以“2=25=2〃[=^,

故*”

所咤鼻

故斯哈，的耳，故A错误；

当〃22时，年0“哈・詈三，

所以数列｛册｝是等差数列，故B正确；

由哈知，。10=1,

因为％+。20广2。10=2,lWiW9,曲线片/(x)关于点(1,2)中心对称，

所以儿业以2加尸4,1W1W9,zeN,又/0o)yi尸2,

19

所以.Z/(见尸[AaiH/(ai9)]+[/(42)t/(ai8)]+…+[/(。9)t/31)]t/(410)=4X9+2=38,故D正确.

6.已知数列｛6｝的前〃项和为S,产竺/<设儿V，数列｛4｝的前〃项和为〃，则()

A.a“+b„>2B.3a〃也22

C/Vn(〃+1)D.eTn>sin(/:+l)

答案BD

解析因为｛&｝的前〃项和为誓，

所以当n=\时，471=5]=1,

当〃22时，a”=S”-S17)

且0=1满足上式,故4”=〃，〃WN’，

则儿3,中1T…t

对于A,产〃322,当且仅当〃=1时，等号成立，故A错误；

对于B,因为斯=〃，・6“=-；均单调递增，

所以3a”也=3/，23-1=2,故B正确；

对于C,设/(x)=ln(.r+1)-x(x>0),

则/。)三”二一旨。，

所以八x)在(0,+8)上单调递减，

贝(/U)0/IO)=O,故ln(x+l)q,

故+l)=1n(〃+l)-ln〃，

故■…g>(ln2-ln1)+(In3-ln2)+*,<+[ln(n+l)-lnw]=ln(w+I),故C错误；

对于D,由C项分析可知7>ln(〃+l),

则,

设g(x)=x-sinx(.¥>0),

则g«)=1・cc&QO,

所以g(x)在(0,+8)上单调递增,

故gW>g(0)=0,即x>sinx(x>0),

故〃+l>sin(〃+l),

故eTn>n+l>sin(w+l),故D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.若双曲线沿|=1(>0,力>0)的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则该双曲线的离心率

为.

答案Ti

解析因为02=出+分，

又实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，

222

即a+c=4bt则a+c+2ac=16b,

化简得15c2-2ac-17a2=0,

等式丙边同除以信得15/-2e-17=0,

即(15e-17)(eH)=0,

17

解得。/或e=-l(舍去).

8.(2025・重庆模拟)记正项数列｛%｝的前〃项和为S”，若S产生等山，〃£N“，则踪琮的最小值

为.

155

3

解析当〃=1时，4|=SI=O*+D,

则0=1或。］=0(舍去)，

_七1（恤+1）

当心时,由S”

22

s。.-1（。吁1+1）

两式相萩得2%=a：+%-W_i・a〃.］，

得伍〃一册1)(a,Me-1尸。，

因为册>0,所以%-%产1，

所以数列｛许｝是首项和公差均为1的等差数列，

则〃”=〃，s"=”"；i).

］28

令,儿丫)=产七-,,。0,

则/V)=2x号组泮

当不£(0,4)时，/(x)<0,

当x£(4,+8)时，/(x)>0,

所以/(x)在(0,4)上单调递减，在(4,+8)上单调递增，

由S〃-也罗随〃的增大而增大，S2岑-3,S3-^t6,

则食年9号号，阿年36匹，

所以光磬的最小值为殍.

四、解答题(共28分)

9.(13分)已知｛四｝是各项都为正数的等比数列，数列出“｝满足：兀=21。&%+1,且仇=1,仇=7.

(1)求数列｛%｝,｛6｝的通项公式；(6分)

(2)若对任意的“BN，，都有2〃“2瓦/2,求实数％的取值范围.(7分)

解(1)因为因=21og2%+l,仇=1,/>4=7,

所以瓦=l=21og2〃i+l,则m=l,

b4=7=21og244+l，则。4=8,

因为数列｛6｝是各项都为正数的等比数列，设公比为小所以夕即9=2,

ai

所以斯=2",则210g2%+1=2(?i—1)+1=2/7-1.

(2)因为2久7.2