河北某中学2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三数学学科试题（解析版）

2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三

数学学科

考试时间：120分钟：试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（共58分）

一、单选题（共8个小题，每题5分，共40分）

M=fxx2-3x<olN=\xy=“CM

i.已知集合iJ,i』j,则"nN=（）

A.[0,3]B.[1,3]C.[0,3）D,（1,3]

【答案】B

【解析】

【详解】由3xW0,可得x（x-3）W0,解得0«x«3,所以M=[0,3],

由x-120,得xNl,所以N=[l,+s),

所以"nN=[l,3].

2.已知向量2=（1,-4）,5=（2,3），则向量I在向量5上的投影向量为（）

ho15)(1015、(2030)(2030、

[13\3)[1313jI1313)11313>

【答案】C

【解析】

【详解】因为2=(1,-4),力=(2,3)，.•ZB=1X2—4X3=—10，B=J4+9=屈,

则向量。在向量]上的投影向量为2・ab=当=%3）=-20-30

bK质13」1313)'

3.已知|z|=|z-2],z为虚数，则的值可能为（）

A.2B.1C.0D.-1

【笞案】A

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【解析】

【分析】设Z=Q+bi且根据复数的运算由|z|=|z-2|得。=1,进而得zN=l+/>],即可求

解.

【详解】设Z=4+bi且人工0,却2|=|z-2|得行方二府177,解得4=1，

所以z=1+历,彳=1一bi,所以z•彳=(l+/)i)(l-Z)i)=14-/?2>1,

故A正确，B错误，C错误，D错误.

故选:A.

4.一个圆台的母线长为JF，上、下底面的半径分别为2,5,则圆台的体积为()

A.26兀B.32兀C.78兀D.86兀

【答案】A

【解析】

【分析】先根据圆台的结构特征求出圆台的高，然后利用圆台的体积公式求出其体积即可.

【详解】取上下底面的圆心，则。O'即为圆台的高/?,如图所示，

在中，AB=®BC=5-2=3,

根据勾股定理可得AC=OO'=h=V13-32=2.

所以圆台的体积为尸=，兀〃(衣2+/6-+/)=_1兀乂2乂(25+4+10)=26兀.

5.已知0<。<兀，则“cosa二吏■”是"cos2a=』”的()

39

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】由cos2a=,，得2cos2。-1二」，解得cosa=±且，则"cosa二正”是“cos2a=!”

99339

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的充分不必要条件.

22

6.设双曲线C:与一1=1>0)的焦距为2c,若Q2、b\/成等差数列，则该双曲线的渐近线方

a2b2

程为()

A.y=±\[2xB.y=土与x

C.y=±xD.)?=±x

3

【答案】B

【解析】

【分析】利用双曲线中凡伉。的关系和等差数列可求答案.

【详解】因为a?、/、/成等差数列，所以2〃=/+/,又。2=/+〃2,所以南=/十⑷+⑹,

即/二2八所以巴二也.

b2

该双曲线的渐近线方程为y=±£x=±等

x

故选:B

7.已知歹=/(幻满足/(x+l)=/(l—x)J(x+2)=/(x)+2,且当xw[0,l]时,/(%)=1,则

/(等)的值为()

B-D

A・一+1011-”+1010C.e2+1011-ei+lOlO

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的对称性结合累加法可求函数值.

【详解】由/(工+1)=/(1-工)，可知函数图像关于x=l对称,

X/(x+2)=/(x)+2,由累加法可得:

’2023、f3{3]

=/l-+505x2I=/I-1+505x2,

U

又fC-,

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所以/(等)=1+1010,

故选:B

8.已知抛物线C：(，＞0)的焦点为尸，圆用：(x+l『+j，2=i6与C交于4,4两点，若

直线4"与直线8M的斜率之积为一3,则|4用=()

7

A.3B.-C.4D.5

2

【答案】C

【解析】

【分析】先由已知条件解出力，8两点坐标，再由焦半径公式求得|力可.

【详解】由圆M：(x+iy+/=]6可知，圆心加(一1,0),半径为4.

而圆A/和抛物线。都关于'轴对称，则可设4(x,y),2?(X,-JOCV＞0).

y-y-y)

由"时j&w=­r---7=7-77=-3,得/=3(工+1厂

x+1x+l(x+1)'7

因为点4在圆M上，又有(x+iy+y2=i6,即(1+11+3(1+1)2=16,

而工＞0,则解得x=l,所以V=3(l+l『=12.而点/又在抛物线C上，

则有12=2夕1,所以夕=6,则尸(3,0).

所以|力用=5+x[=3+l=4.

二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分)

9.下列说法正确的是()

A.样本相关系数「越大，则线性相关性越强

B.1,2,4,5,6,12,18,20的上四分位数是15

C.随机变量X的方差。(X)=20,期望七(X)=6,则E(X，=16

D.某班30个男生的数学平均分为90,方差为4,20个女生的数学平均分为85,方差为6,则全班50个学

生的数学成绩的方差为10.8

【答案】BD

【解析】

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【详解】A：样木相关系数〃的绝对值越大，则线性相关性越驰，则A错误：

B：该组数据共8个数据，又8x75%=6,

因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即立身二15,因此B正确；

2

C：因为。（用=七（月）一£2（矛），由方差。（X）=20,期望E（X）=6,可得网月）=56,即C错误.

32

D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为一x90+—x85=88,

55

因此方差为14+（90-88）?]+|6+（85-88）?]=y=10.8,即D止确.

10.已知。：1+今=1（。>6〉0）的左、右焦点分别为片,用，长轴长为6,点』）在椭圆。外，

点V在椭圆。上，则下列说法中正确的有（)

A.椭圆。的离心率的取值范围是

B.椭圆。上存在点。使得斯•瓯=0

C.已知后（0,—2）,椭圆。的离心率为半，则|N£|的最大值为半

D.l^l-Ri的最小值为1

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,根据条件得〃<3,再利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于R，转化为以

原点为圆心，。为半径的圆与椭恻C有交点，即可求解；对于C,根据条件求出椭圆方程，再利用椭圆的

参数方程，即可求解；对于D,根据椭圆的定义得|N制+打6|=6,再利用基本不等式求解即可.

【详解】对于A,由题怠可知2a=6,所以。=3,所以椭圆方程为三+与=1，

9b2

因为例（"』）在椭圆。外，所以g+解得/<3,

因为《2===1一匕>1一3=2,所以逅<e<i,故A正确；

a2a2933

对于B,由选项A知。=3,b，<3，所以（？=/一〃=9一82>6，所以Accc。，

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则以原点为圆心，。为半径的圆与椭圆C有四个交点，

7T_•・•・।।―

不妨设其中一个交点为。，由圆的性质可知，NFQFLQ,所以椭圆。上存在点。使得•。月二0,

故B正确；

对于C,由离心率《=£=£=迪,C=2JL所以b=l，所以椭圆方程为!+必=1,

〃339.

设点N(3cosasin8),则

|阳=79cos20+(sin0+2)2=J8cos,夕+4sin1+5=J-gsii?夕+4sin夕+13，

当如。=；时，|N可有最大值为乎，此时"（±斗5'）,故C正确;

对于D"阿+幽=2"6,^^=向+向=j向+赢）（|样|+"用）

，而+嬴|（网+四）=*2+耦+然［+2耦蔚｝f，

“用十加用2

当且仅当|明|二|%|=3,即点N位于上下顶点时,画所可有取小值屋故D错误.

11.定义:若函数/（x）在区间［4目的值域为［出何，则称区间［〃,可是函数/⑴的“完美区间”.另外,

定义区间的“复区间长度”为2S-。）.已知函数/（幻=k2-1］,则下列说法中正确的是：（）

A.［0,1］是/（x）的一个“完美区间”

B.是/（x）的一个“完美区间”

C./*）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+J5

D./⑴的所有“完美区间”的“更区间长度”的和为3+2石

【答案】AC

【解析】

【分析】按照0<6Wl和6>1两种情况讨论求解，当方>1时，按照。=0,0<«<1,。>1分类讨论求

解，利用“完美区间”的定义，结合函数的单调性求解.

【详解】•.•/（幻=k2-心0,.二/3的值域为［0,+8）,

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设的“完美区间”为［。,可，则方＞“之0,

当0＜641时，VXG/(x)=/-1］在［凡6］是单调递减函数,

f(a)为/*)的最大值，f(b)为八X)的最小值,

f(a)=^a2-1-b

。二0

,,,此时，2(6-4)=2(1-0)=2,

/(h)=|/)2-l|=«b=1

当方＞1时，①若。=0,/(〃)=忙一1卜"一1,

•：xe［a,b］=\Q9b］,b＞l,

/a)=,T在［05是单调递减函数，在口,可是单调递增函数,

.../(1)为/(X)的最小值，/*)的最大值为/(0)和/3)中最大的一个,

当/(0)</3)时，V/(O)=|O2-1|=1,则/(b)为/(x)的最大值,

/⑴=；—,»=子，满足…,

f(b)=b2-\=b>\2

此时，2(b-a)=2x-0=1+6

当/(0)N/、S)时，•.•/(0)=|02-i|=i,/(/,)<1,则/(0)为/*)的最大值,

/(l)=|l2-l|=O=a

,/.6=1>不满足b>l,舍去;

/(0)=02-l=Z)

②若0<〃Wl时，'.'xe[a,b]tb>l,

尸卜2在心内是单调递减函数，在口同是单调递增函数,

/'⑺为/(x)的最小值，而/⑴=1一1卜0=。，这与0＜。41矛盾，不符合题意;

③若时，••,xw[a,b],Z?>1,

/(x)=x2-i在团用是单调递增函数,

/.f(a)为/(x)的最小值，/(b)为/伯)的最大值,

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1十乖

j\a)=a2-l|=6r2-\=aa=--------

2

「,,；awb,..・不符合题意；

f(b)=\b2-\\=h2-\=h.1+V5

b=--------

2

综上可知，/（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+（1+退）=3+6,

故选项A和C正确.

故选：AC.

第H卷（共92分）

三、填空题（每题5分，共15分）

a

12.已知4a=夜，Mlog2=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据指数式与对数式的互化，求出。的值，再计算log?。的值.

【洋解】因为4"=&，所以。=log4血二;，所以log2a=bg2；=-2.

故答案为：—2

13.甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同

的排法有种.

【答案】8

【解析】

【分析】先安排特殊元素和特殊位置，再根据计数原理计算即或.

【详解】先安排甲、乙，有A；种方法，且甲、乙之间有一个空位，而丙与甲不相邻，所以安排空位有C；种

方法;

乂丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有C；种方法；

所以不同的排法共有A；C；C；=8（种）排法.

故答案为：8

14.已知正实数戈，歹满足（2x+j4-2+i）（Jy2+4-2）=y,则/e"的最小值为.

【答案】—

4

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【解析】

【分析】化简题目条件得2x+,(2"+1=1+2+2,构建函数/'«)=/+炉］，因为羽y是正

J,y

实数，故此函数单调递增，得到)，=，,代入-e、求导分析其最值.

x

(2x+J4x)+l)(J/+4-2)=>0,

【详解】由

整理得2x+"7石='>'

7/74-2y~V

2

化简得：2x+疝)H--，

y

设函数=/+可知函数/(/)在(0,+8)内单调递增,

f29A21

由〃2x)=/-可得2、=一，即卜=一，代入/e，'得x2e

\y•*jyx

令F(x)=x2er(x>0),尸'(%)=ev(2x-l),

令/'(x)=0,解得x=g,

当0cxv1时，F"(x)<0；当时，Ff(x)>0；

22

可知网x)在(0(内单调递减，在(3,+8)内单调递增,

2-)

故当x=；时，尸(x)取得最小值，此时y=2,最小值为尸=Ye-

e--

4

故答案为：£

4

四、解答题(共5题，满分77分)

15.已知数列｛qj满足q=2,4,=〃(%-%)(〃wN)

(1)求数列｛4｝的通项公式;

,1，、

(2)设"二一「，求数列｛4的前〃项和为s”.

an

【答案】(1)4=2〃

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n

(2)S=-----

n"2〃+1

【解析】

【分析】（1）根据题意整理可得4吐二旦，进而可得%=2,即可得结果;

〃+1〃n

1

（2）整理可得a二不.，6，,利用裂项相消法运算求解.

212〃-12/7+1J

【小问1详解】

因为%=〃（/+「%），且4=2,可得（〃+1"”=〃〃向，

即4匚=4■对任意〃eN*恒成立，可得&=a,,~}=•■■=—=2,

〃+1〃nn-\1

所以%=2/7.

【小问2详解】

由（1）可知：an=2n,

则。=

(2W)2-1(2H-1)(2/7+1)2⑵-12〃+17

可得一+一*2+…+卜六

33

所以S〃_

2//+1

16.4/手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发

展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买4/手机的情况，得到数据如下表.

购买无4/技术的手

购买4/手机总计

机

男件顾客4565110

女性顾客563490

总计10199200

（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买4/手机与顾客的性别有关？并说明理由：

（2）为促进力/手机的销量,该商场为购买力/手机的顾客设置了抽奖环节,其设一、二等奖两种奖项,分

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别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为‘和,，其余情况不中奖.每位顾客允许连

63

续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望.

参考公式及数据：①力2=_^---------------------------------,其中〃=Q+/)+c+d.

(a+Z?!(c・+c/)(a+c)优+c/)

②P(z2>6.635)«0.01,P(72>5.024)«0.025,P(72>3.841)a0.05,P(72>2,706)«0.1.

【答案】(1)有99%的把握认为购买4/手机与顾客的性别有关.

⑵E(X)号

【解析】

【分析】(1)由卡方公式计算出卡方值，利用临界值进行比较即可.

(2)先列出随机变量X的分布列，再由分布列求出期望值.

【小问1详解】

假设“°：购买AI手机与顾客性别无关.

母虫八t?200x（45x34-65x56）'

根据公式v2=------1---------------------La8995，

110x90x101x99

因为8.995>6.635,所以假设不成立,

即我们有99%的把握认为购买4/手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01.

【小问2详解】

X可能取的值为0,100,200,300,400,

每次抽奖不中的奖的概率为1-1-1=」，中10()元概率为1，中200元概率为

63236

P（X=0）=1,

p（y=ioo）=2x|x1=l,

P（y=200）=[-

13629618

P（X=300）=2x-x-=-

,73691

P（X=400）=（\1

~36

所以X的分布列为

第11页/共19页

X0100200300400

\_]_5J_1

P

4318936

所以期望为E（X）=0X；+100X；+200x—+300xl+400x—=—

189363

sin2^_cosB-cosC

17.在△NBC中，角4,B,。所对的边分别为〃，b.

l+cos24sinC-sinB

(1)求cos/的值:

(2)若。是边8c上一点，AD=DC=2BD,c=\,求的周长.

【答案】(1)cos4=—

2

⑵3+石

【解析】

【分析】（1）结合分式有意义得到根据二倍角公式、犍助角公式得到B+C=24,进而求出角力

及cos4

（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.

【小问1详解】

由题意知，sinC-sin8wO,即Z?wc,即

sin24cos5-cosC_,,2sinAcosAsinAcos5-cosC

因为---------=-------------,所以-----------=------=-------------,

I+cos2JsinC-sinB2cos'AcosJsinC-sinB

即sinAsinC—sinAsinB—cosAcosB—cosAcosC，

所以cos（/_B）=cos（J-C）,

又一7l<A-B<71,-71<A-C<7t,

所以力-=/—。或4-8=。一力，所以8=C（舍）或8+C=24,

兀1

因为力+8+。=兀，所以力=一,则cos/=—.

32

【小问2详解】

A

AB

第12页/共19页

方法一：设=则/Q=OC=2x,BC=3x,

AD+RD~-AR1Sr--I

在△48。中，由余弦定理可得cos//Q8==JJ.,

2ADBD4x2

在A4CQ中，由余弦定理可得cosN4Z)C='。+」。—'C-8r—”,

2ADDC8x2

由cos403=-cos/力。C,可得18/=〃+2，

在△ABC中，由余弦定理可得BC2=/1B2+AC2-2ABACcosABAC

即9x2=1+62—〃，

A

联立解得工=&，b=2,

3

所以△NBC的周长为/8+ZC+8C=3+JJ.

方法二：设BQ=x,则/。=。。=2工，BC=3x»即函=2丽,

故而一k=2（布_衍），故而=2方+，%，

33

所以而2=（：而+（祀），可得36/=4+〃+28，

在△力8c中，由余弦定理可得8c2=力台2+AC?一2・•/C.cosNBAC，

即9x2=1+〃—〃，

联立解得工二立，b=2,所以a48C的周长为48+力。+8。=3+后.

3

18.对于函数/（x）,若/（%）=%，则称实数/为函数/（x）的不动点，设函数

/3=噢2（4~・2川+2）,g（x）噜

（1）若0=1,求函数/（X）的不动点；

（2）若函数/（x）在区间［-1,1］上存在两个不动点，求实数。的取值范围；

（3）若对任意的［T，0］，不等式|/（$）—g（X2）归2恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】（1）0和1

第13页/共19页

(2)"_g』

(3)-|,1

【解析】

【分析】(1)根据题意，由/(x)=x，化简得到4'-32+2=0,即可求解；

2

(2)根据题意，将方程/(x)=x,化简得至1」2。+1=2'+瓦，利用换元法和对勾函数的性质，即可求解;

(3)根据题意，将不等式化为-2+g(x)maxW/'(x)W2+g(x)1n加，利用指数函数的单调性，得到

0</(x)<3,分类参数转化为2'-提工2。42、+：在XE［-1,0］上恒成立，结合函数的单调性，即可

求解.

【小问1详解】

解：当4=10寸，方程/(x)=x,即为log2(4*-2川+2)=%，

即4、一2川+2=2"，可得4、一3・2、+2=(2、-1)(2'-2)=0,

解得2*=1或2、=2，可得x=0或x=l，

所以函数/(X)的不动点为0和1.

【小问2详解】

解：由方程/(x)=x,可得log2(4'—〃-2M+2)=x,

4、+22

即4「心2川+2=2"可得(2。+1>2、=4、+2,即为2。+1==2、+£,

令》=2*，当工«-1,1］时，可得小；,2,

因为函数/")在区间［—1,1］上存在两个不动点，

2「1

可得关于，的方程2Q+1=Z+—在-,2上有两个不等的实数根，

/12」

G1

令"a)=f+：,可得力(。在-,V2单调递减，在［正,2］单调递增，

第14页/共19页

且"g=*〃(2)=26"2)=3<"|,

则满足2<26/+1<3»解得。2——<a<\,

/1~

所以实数。的取值范围为V2--J.

【小问3详解】

解：不等式|/(M)_g(X2)|42,可化为-2+g(X2)«/(xJ«2+g(X2)，

由函数g(x)=，在卜1,0]上西调递减函数，

可得g(x)g=g(T)=2,g(Am=g(°)=1，

因为对任意芭户2日一1，°卜不等式|/(xj-g(w)归2恒成立，

即对任意X£[—1,O],不等式1+8^入产/⑺交+8q心，即0V/(x)«3,

可得041082(4'-。-2川+2)<3,即为144'—2。2+2«8，

所以2、一卷M2。V2'+?在x8[-1,0]上恒成立，

令〃=2"当x«T,0]时，可得〃£,

由题意得，对任意〃£!』，不等式〃一9«2。4〃+"!•恒成立，

2uu

函数〃7(〃)=〃-9在!』上为单调递增函数，所以“("/ax=〃7⑴二一5,

u|_2

函数，7(〃)=〃+:在!，1上为单调递减函数，所以〃(“号访="1)=2,

u|_2_

所以—542a42,解得—WQWI,

2

综上可得，实数。的取值范围为一1,1.

2

19.如图(1),已知抛物线E:/=2y的焦点为/，准线为/,过点尸的动直线用与E交于4B两点(其

中点4在第一象限)，以力6为直径的圆与准线/相切于点C,。为弦力8上任意一点，现将△4C8沿CQ

第15页/共19页

折成直二面角力'一。一4，如医（2）.

图⑴

(1)证明：cosNA'CB=cosZAfCD-cos4BCD；

（2）当4C8最小时,

①求W,8两点间的最小距离;

②当W,A两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面8CZ）二，求圆柱体

积的最大值.

【答案】（1）证明见详解

⑵①日②喑n

【解析】

【分析】（1）做辅助线，根据垂直关系可得H0'_L8C,BC1A'E',结合直角三角形三角关系分析证明；

（2）①根据三角知识结合基本不等式可得“川=|力轩一忸利用弦长公式求得[48|,分左二0

和%H0两种情况，结合基本不等式分析求解；②设相应量，可得〃=1-（2十亚）广，可得圆柱的体积

r=7c[r2-（2+V2）r3],构建函数/⑺二/一旬/代尸<三也，利用导数求最值.

【小问1详解】

过4作4O'_LC。，垂足为。'，过。'作O'E_L8C,垂足为E,

因为平面WCQ_L平面48C,且平面0。。0平面/3。=。。，/。匚平面/’。，

可得4。'，平面/5C,

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由BCu平面49C,可得‘4'O'J_4C,

且。‘石口4'。'=。，。£,H。'u平面HO'E,可得8cd.平面HO'E,

由4Eu平面4'O'E,可得8cl4E,

CF（7CCF

则cosAA'CB=——，cosZArCD=——,cos/BCD=——，

ACACO'C

所以cos/ACB=cosZ/f'CD-cosZ.BCD

【小问2详解】

因为以为直径的圆与准线/相切于点C,可知力CJ.BC,

7T

则NA'CD=/ACD=一一/BCD,

2

由（1）可得：cosZ.ACB=cos/.A'CD-cos/.BCD=cos-Z.BCD^-cos/.BCD

=sin/BCDcosNBCD=-sin24BCD<-,

22

7T

当且仅当sin2/8CO=l,即/8。=一时，等号成立，

4

所以当N8CO=百时，/ACB最小,

4

①因为力'0'JL平面/8C,8O',CQu平面4BC,则HO'JL80',AO'1CD,

即,40'_LCD,

在RtAJCO"中，则卬|=“|=孝圈="0[,

在