2024-2025学年广东深圳某中学高一年级下册期中数学试题（附答案）

红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试

高一数学试卷

（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）

一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是

正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）

,-X_1_-2025

I.已知亚数Z满足U十“、一1一】,其中i为虚数单位，则Z的虚部为（）

A.iB.-1C.-iD.1

2.三个不互相重合的平面将空间分成〃个部分，则〃不可能是（）

A.4B.5C.6D.7

3.已知向量工=（一1,、鸟，^=（0,273）,则£在另一£上的投影向量为（）

4.已知0，5，E是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）

A.aIfb,bile»则a//c

B.若q.E=C•E且b工0,则Q二C

C.ab=a\b\,则1与B同向

D.若入B是非零向量，且7+坂=4+可，则值与B同向

5.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近

似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的容积约为（：

A.100cm3B.200cm3C.300cm3D.400cm3

6.已知。，夕表示两个不同的平面，a,b,c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A若6//。，Qua,则b//a

B.若“ua,bua,C_LQ,c±b,则c_La

高中

C.若〃ua,bua,a3。，b//〃，则a//p

D.若a_La,a1!b,则6_La

7.已知V45c的三个顶点在以。为球心的球面上，且cos/=述，BC=1,4C=3,三棱锥

3

O-48C的体积为巫，则球。的表面积为

6

164

A.36兀B.167rC.12乃D.——

3

8.如图，已知正方形48C。的边长为4,若动点2在以45为直径的半圆上（正方形Z8C。内部，含边

界），则正•历的取值范围为（）

A.[-2,20]B,[0,16]C.(0,18]D.[0,24]

二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在

答题卡上）

9.已知复数4*2,下列结论正僚的有（）

A.若4-z2>0,则4>z2

B.若z：=z；,则㈤二㈤

C.若系数z2满足%-2i|=3,则Z2在复平面内对应的点的轨迹为圆

D.若4=—4+3i是关于x的方程x2+px+q=o（p,qwR）的一个根，则〃=8

10.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度d=lkm.一艘游船从南岸码头4点出发航行到北岸.已

知游船在静水中的航行速度匕的大小为|匕|二20km/h,水流速度匕的大小为1匕1=4km/h.设匕和岭

的夹角为0（0°<^<180°）,则（）.

高中

A.当船的航行时间最短时，8=90。B.当船的航行距离最短时，cos6>=--

5

C.当6=30。时，船的航行时间为12分钟D.当8=120。时，船的航行距离为立km

2

11.如图，在直四棱柱力44GA中，底面力BCD为菱形,^BAD=60°,

AB=AD=A4,=2,Q为的中点，点°满足方0=%灰+〃西（4£[0』],〃£[0』]）,则下列结

A.若4+〃=5,则四面体""P。的体积为定值

B.若△力田。的外心为。，则4瓦葩为定值2

C.若A、Q=布,则点。的轨迹长度为叵

4

D.若4=1且〃=g,则存在点使得AE+EQ的最小值为J9+2所

三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）

12.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取43两点，从44两点分别测得树尖的仰角为

30,45°,且48两点间的距离为60m,则树的高度为m.

高中

13.在必方。中，。是5。边上靠近点3的五等分点，过点O的直线与射线4从XC分别交于不同两点

M,N,设43==〃4N,则4〃?+〃=.

14.在V48C中，。是48边上靠近〃的三等分点，若N/CQ=W，4。=JL①V48C面积的最大

值；②3c的最小值.

四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.设x,ywR,向量G=(x/)，E=(2,-4),且£j_加力/).

(I)求a+b；

(2)求向量5与垢+5式夹角的余弦值.

16.已知V/8C中，2(cos2J-cos2i?+sin2C)=sini?sinC.

(1)求cos/的值；

(2)D为边BC的中点,若4D=力B,求'工.

sinB

17.如图，在四棱台48CQ-44GA中，底面48CQ是正方形，OQ_L平面48CQ,DQ=2,

AB=6,44=3.

(I)求证：4///平面Cf。；

(2)求直线4/到平面。田。的距离.

18.己知平面四边形48OC中，对角线C8为钝角N4CQ的平分线，C8与力。相交于点。，AC=5,

(I)求sin4co的值;

(2)求。O的长；

(3)若BC=BD,求△力外。的面枳.

高中

19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体加的•个顶点，定义多面体M在点P处的离

散曲率为中「二1一，-（/。/。,+/02。0+―/*/3+/以2。），其中2（"1,2,…儿女23）为

2兀

多面体M的所有与点尸相邻的顶点，且平面平面。2尸。3,…，平面Q./4和平面&PQ为多

面体M的所有以P为公共点的面.

（I）求三棱锥dBC在各个顶点处的离散曲率的和：

（2）如图，已知在三棱锥产一/BC中，尸/平面/8C,AC1BC,AC=BC,三棱锥尸一4BC在

顶点。处的离散曲率为

3

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；

②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面48C所成的角的最大值.

高中

红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试

高一数学试卷

（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）

一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是

正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）

,-X_1_-2025

I.已知亚数Z满足U十“、一1一】,其中i为虚数单位，则Z的虚部为（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据i的周期性可得复数产”=1«4）5°6=匕即可由复数除法运算法则求解.

必4rl(「if—2i

【详解】由（1」ibZ=l12°”得2=

+i(l+i)(l-i)2

故z的虚部为为-1,

故选：B

2.三个不互相重合的平面将空间分成〃个部分，则〃不可能是（

【答案】B

【解析】

【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出〃的值.

【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：

（I）三个平面两两平行，如图1,可将空间分成4部分；

（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2,可将空间分成6部分；

（3）三个平面中没有平行的平面:

高中

(i)三个平面两两相交且交线互相平行，如图3,可将空间分成7部分;

(ii)三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4,可将空诃分成8部分.

(iii)三个平面两两相交且交线重合，如图5,可将空间分成6部分;

图5

综上，可以为4、6、7、8部分，不能为5部分,

故选：B.

3.已知向量。二(一1,0)，办二仅,20)，则Z在3一£上的投影向量为(

【答案】A

【解析】

【分析】利用投影向量的定义求解即可.

【详解】因为£=(一1,0)，否=(0,2百)，所以3-£=(1,及b

所以〃.(K—〃)=—1+3=2,h-n=Jl+3=2,

a'(b-a\

所以。在书一〃

上的投影向量为，一2.3)=；")=肾］

b-a

故选:A.

4.已知6，e是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是()

高中

A.a!lb>bile>则〃//c

B.若〃♦5=°.B旦6工0,则a=c

C.ci'b=abf则々与5同向

D.若G,5是非零向量，且口+©=问+W，则日与5同向

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的基本概念和相关运算法则对各选项进行判断即可.

【详解】对于A,若3=6，则Z//B，b//c^但不一定成立:、

对于B,因为75=35，所以Ficos«&=FH4W5响.cos（词=】•（丽,无法推出

£=）（即当£工工时原式也可以成立），故B错误；

对于C因为°石=。忸,所以4.B-cosG硼=a坂，即H仰卜OS1，研=a1,所以

cos（a,^=±l,由于两向量夹角范围为［0,句，所以M与5夹角为0或乃，即〃与B同向或异向，故C

错误；

对于D,由4+B=4+B平方得〃"+歹+2Q•B・cos卜,B）=a"+B~+2Q•B,化简得

cosG6=l,由于两向量夹角范围为［o,句，所以〃与在夹角为0,即值与日同向，故D正确.

故选:D

5.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近

似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的容积约为（：

A.100cm3B.200cm3C.300cm3D.400cm3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知圆台上底面半径为3,下底面半径为5,高为4,由圆台的结构可知该壶的容积为

高中

h-46

大圆锥的体枳减去小圆锥的体枳，设大圆锥的局为力，所以「一二一，求出力的值，最后利用圆锥的体

h10

积公式进行运算，即可求出结果.

【详解】根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，

圆台上底面半径为3,下底面半径为5,高为4,

可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，

_〃一46

设大圆锥的高为人所以一^=一,解得：力二10,

h10

则大圆锥的底面半径为5,高为10,小圆锥的底面半径为3,高为6,

所以该壶的容积/=』x7rx52xl0-1x7cx32x6=97ra200cm3.

333

故选：B.

6.已知。，〃表示两个不同的平面，a,b,c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A.若/?//〃，aua,则b//a

B.若。ua,bua,cJLQ,clb,则。_La

C.若aua,bua,alip,blIp,则a//〃

D.若a_La,a/lb,则6_La

【答案】D

【解析】

【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明.

【详解】A选项，若/）//〃,〃l〃，则力//a或bua.A错误：

B选项，若力//〃，不能推出c_La,B错误：

C选项，若blla,则不能推出。//〃，C错误；

D选项，因为。_La,4//b,所以力_La,D正确.

故选：D

高中

7.已知VNBC的三个顶点在以。为球心的球面上，且cos4="，BC=1,AC=3,三棱锥

O-48C的体积为巫，则球。的表面积为

6

164

A.364B.167rC.12乃

【答案】B

【解析】

【分析】根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形48。是直角三角形，根据棱锥的体积求出。

到平面/8C的距离，利用勾股定理计算球的半径。力，得出球的面积.

【详解】由余弦定理得cos力=48?+J-?Be2=力4+9-1,迪,解得45=20，

2A^AC6AB3"

AB2+BC2=AC2,即Z8_LBC.

.4。为平面ARC所在球截面的直件.

作ODJ,平面力BC,则。为4。的中点，

♦.♦%"MC・0"=$；X2应xlxOO=理,

:.0D=—.

2

:.OA=>]OD2+AD1=2-

5琼0=44•OA2=16^.

【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断A48C的形状

是关键.

8.如图，已知正方形的边长为4,若动点。在以力8为直径的半圆上（正方形48co内部，含边

界），则无.方的取值范围为（）

高中

DC

B.[0,16]C.(0,18]D.[0,24]

【答案】B

【解析】

【分析［取CO的中点E,连接PE,利用正•而=（而+而）•（而一方）即可求解.

【详解】取C。的中点E,连接PE,如图所示，

所以PE的取值范围是受,力£，即［2,2遥］,

又由无•比=（而+而）•（而+比）=（而+而）•（而—历）二万2—而2;而2_4,所以

PCPDG［0,16］.

故选：B.

二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得。分，请将你认为正确的答案的代号涂在

答题卡上）

9.已知更数马/2,下列结论正面的有（）

A.若4-z2〉0,则Z,>z2

B.若z：=z；,则|zj=，|

C.若复数z?满足忤-2"=3,则马在复平面内对应的点的轨迹为圆

D.若4=-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0（p,q£R）的一个根，则〃=8

【答案】BCD

高中

【解析】

【分析】由复数z=2+i*2=l+i,可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B正确；结合复数

的几何意义，可判定C正确；根据复数相等的条件，列出方程，求得P的值，可判定D正确

【详解】对于A中，若复数z=2+i*2=l+i,满足4-12〉。，但两个虚数不能比大小，所以A项错

误；

对于R中，若N：=z；,则z：-z；=O,即(4+9)(4-得)=0,

可得4=4或4=一22，所以囿="|,所以B项正确；

对于C中，由于忖-z2|表示两个复数Z],Z2在复平面上对应的两点之间的距离，

所以"-2"=3,表示复平面内到点(0,2)距离为3的点的集合，

所以z?对应的点的轨迹为圆心在(0,2),半径为3的圆，所以C项正确；

对于D中，由一4+3i是关于x的方程/+px+q=0(P应$R)的根,

故(-4+3i)2+p(_4+3i)+q=0(p,q£R),即7-4p+q+(3p_24)i=0,

1-4p+q=0

可得,所以P=S,所以D项正确.

3/7-24=0

故选：BCD.

10.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度d=lkm.一艘游船从南岸码头4点出发航行到北岸.已

知游船在静水中的航行速度匕的大小为|匕|二20km/h,水流速度岭的大小为I匕1=4km/h.设匕和匕

的夹角为夕(0°<<9<180°),则().

A.当船的航行时间最短时，6=90。B.当船的航行距离最短时，cos6>=--

D.当。二120。时，船的航行距离为立km

C.当0=30。时，船的航行时间为12分钟

2

【答案】AB

高中

【解析】

d1

【分析】对于A,首先/二|।.二二^八.A，从而要船的航行时间最短时，则只需sin。最大，由此即

M|sin。20sme

可判断；对于B，当船的航行距离最短时，E+E的方向与河岸垂直，由此即可验算；对于c,由公式

d_1

即可验算；对于D,由题意§=环+$2=匕，+1^=[1+】3）/，根据向量模的运算

|vjsin/?20sin〃

公式以及数量积的运算律即可验算.

d1

【详解】对于A,船的航行时间为.Q=•A（h），若要船的航行时间最短时，则sin。最

|vj।sin^20sin。

大，也就是说当且仅当6=90。时，船的航行时间最短时，故A正确；

对于B,当船的航行距离最短时，7+E的方向与河岸垂直，从而

|v2|41

COS。=—COS（兀一。）=一产j■=一二一二，故B正确；

Ml205

对于C,当。二30。时，船的航行时间为，=—!—=,小时，也就是6分钟，故C错误；

20sin3010

对于D,由题意设位移分量为1="三二可，位移为:；，

则6=S[+S2=匕/+心'=（匕+匕）'，其中，=----------=—（小时），

\720sin120°30

又因为|匕|=20km/h,|%|=4km/h,匕和%的夹角为120°,

从而冈=R+E,二而+寸t=^202+42+2-20-4.^1^1.兴=平km,故D错误.

故选：AB.

关键点点睛：判断B选项的关键是当船的航行距离最短时，X+E的方向与河岸垂直，由此即可顺利得

解.

11.如图，在直四棱柱—中，底面48c。为菱形，ABAD=60°,

AB=AD=多=2,尸为CG的中点，点0满足丽=%岚+〃西（4w[0』],〃w[0』]），则下列结

论中正确的是（）

高中

A.若4+〃=5,则四面体4&P。的体积为定值

B.若△4/。的外心为。，则彳瓦葩为定值2

c.若4。=石，则点。的轨迹长度为叵

4

D.若4=1且〃=g,则存在点石£力石，使得NE+EQ的最小值为非+2而

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,取QR,QC的三等分点分别为MM,由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断；

对于B,由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断；由条件确定轨迹，将原问题转化为平面上两

点旬的距离最小问题求解；对于C,由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断；

对于D,把△448沿着48进行翻折，使得4,A,B,。四点共面，再由勾股定理和余弦定理求出长

度.

此时AE+EQ有最小值AP.

【详解】对于A,取的三等分点分别为如图所示，

‘'-1''・・'''_1''・・・・・・・・・・・•

令DM=%DC,DN=-DD],则。°=34。例+3〃0N,所以。

JJ

高中

因为MN//CD「CD[//口MN//,

所以△48。的面积为定值，点P到平面480的距离也是定值，故A正确.

Q

若△48。的外心为0,过点。作。“148于点“，则〃是的中点.

因为|港|二V22+22=2VI,

所以福•丽=布•（福+而）=彳方•福=4港2=4,故B错误.

2

在平面4AGA中作4K±CR,

显然4KJ_平面CG。。，由长度和角度，可得4K=6.

在Rt^4K0中，A}Q=y/5,

所以K0=0,则点。在以K为圆心，血为半径的圆上运动.

设比圆与交于点4,因为K4=&且K。=1,

所以£）AK4二二，则点。的轨迹长度是四＞＜血=叵.故C正确.

444

对于D,若4=1且〃=g,则点。与点尸重合.

把△4/3沿着//进行翻折，使得q,4B,P四点共面,

高中

4

P（。）

L^Z

AB

此时4£+£1。有最小值/p（这里和后面的力均为翻折后的点）.

在刖心中，姬=屈,PB=M，9=2日满足勾股定理，

兀3

所以/。34=—，从而NPB4=—7t,

24

在△力尸4中，由余弦定理得cos史=+一力尸=（/）+2-一4片=”=也+2如,故

'42AB-PB2xV5x2

D正确.

故选：ACD

【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，冉结合锥体体枳公式，空

间空形与平面图形的转化解决问题.

三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）

12.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从48两点分别测得树尖的仰角为

30,45°,且43两点间的距离为60m,则树的高度为m.

【答案】30+306

【解析】

【分析】在△0/8中由正弦定理可求得抬，进而即可求解树的高度.

【详解】在△218中，NPAB=3d，N4PB=15"，AB=60m,

sinl5=sin（45-30）=sin45cos30-cos45sin30=—x—-^-x—=———

''22224

PRAR

在△尸48中，由正弦定理得「^7=—^，

sin30sin15

高中

-x60

孙in30

所以P8==—7=-=30(+V2),

sin15y/6-J2

4

所以树的高度为PBsin450=30(76+J5)x*=30+30V3(m).

故答案为：3O+3OJJ.

13.在A46C中，O是6c边上靠近点6的五等分点，过点O的直线与射线45,4C分别交于不同两点

M,N,设/8=mAM.AC=nAN,则4〃?+n=.

【答案】5

【解析】

【分析】根据向量的加减运算表示出场=努而+•而，利用三点共线可得^^=1即可求得答

案.

【详解】由题意知15=刀+!沅=通+!（配一而）=±而+!方=驷而+"万，

555555

4〃7〃

由于A/、O、N三点共线，可知7-+《=1，

所以4〃?+〃=5,

故答案为：5.

14.在V/8C中，。是力〃边上靠近4的三等分点，若/ACD=j4。=百@\//8。面积的最大

3

值;②6C的最小值.

【答案】①.竽②.警

【解析】

【分析】第一空：根据余弦定理和基本不等式可求的最大值，再利用三角形的面积公式求4CCQ最大值

即可；第二空：在△/4CZ）中，由正弦定理得CO=2sin44C=JJcos4+sin4,由NN。。+NBOC=兀，

高中

根据余弦定理表示方程cosN4OCIcosN〃力。=0,进而可将〃。表示成关于角A的三角函数，即可求

3c的最小值.

【详解】第一空:

在^ACD中，由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2ACCD-cos/ACD，

又=AD=6，所以3=/IC?+CD?-4C,CD>24C,CD—4CCD=4CCD，

当且仅当/C=CQ=JJ,即“CO为等边三角形时等号成立，所以4c•COM3,

又。是力3边上靠近4的三等分点，所以S=-S=-JC-C/)sin-<-x3x—=—,即

4A(Bfier2aACD43428

Y4BC的面积的最大值为2叵.

8

第二空：在A/C。中，ZJCD=y,AD=6，由正弦定理，得

CDAC力。、

sinAsin/.ADCsinZ.ACD邪，

V

又N4QC二至一4,所以C£>=2sin44C=2sinN4Z)C=2sin--A=6cos4+sin%,

3I3)

因为N/QC+N8OC=7i,所以(：05/4。。+(：05/80。=0,

AD2+DC2-AC2BD2+DC2-BC2八

由余弦定理，得—0,

2ADDC2BD-DC

Q31

将,4。=24。=代入上式，化简得BC2=^+^CD2--AC\

所以8c2=—+—x4sin2A--(yj3cosJ+sin=—+6sin27I--cos2-sin2X-V^cos力sinX

422、7422

=—+7sin2//-V3cosJsinA=­-—cos2J--sin2A=--V13sin(2J+ft))，

44224'，

其中tan°=等，当24+8=5，即sin(2/+9)=1时，BC取得最小值?一JIM,

高中

因比，4c取得最小值小二2.

2

故答案为：①2叵；②晅心.

82

四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.设x,y€R,向量0=(x,l),b=(l,y)»c=(2,-4),且小U3

(I)求a+b；

(2)求向量£+坂与2)+B-展夹角的余弦值.

【答案】(1)而

⑵回

10

【解析】

【分析】(1)利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解x，y的值，从而可得万+万的坐标，再利用模

的运算公式求解即可；

(2)由向量的坐标运算可得21+5-己，计算仅+万)・(2,+5-刃，然后结合向量夹角公式即可求得夹角

的余弦值.

【小问1详解】

向量。=(x,1),3=(l,y),c=(2,-4),且口工E，b{lc

可得AB=x+y=0且-4—2y=0,解得x=2,y=-2,

即1=(2,1),^=(1,-2),则6+B=(3,-1),

则B+*百+㈠y:

【小问2详解】

因为2a+b—c=2(2,1)+(1,—2)—(2,—4)=(3,4),a+b=(3,-1),

所以他+B).(21+B-1)=3x3-4=5,2d+b—c=>j32+42=5,

设句量万+5与2M+B—己夹角为。»

高中

（。+B）,（2万十3-亍）5_Vio

则cosa=

a+b-2a+b-c710x5-10

即向量1+刃与垢+3-）夹角的余弦值为巫.

10

16.已知VI4c中，2（cos2J-cos25+sin2C）=sin^sinC.

（I）求cos/的值;

（2）。为边4C的中点，若AD=AB,求生工.

sinB

【答案】（1）

4

⑵2

3

【解析】

【分析】（1）由同角的三角函数关系，正弦定理边化角，余弦定理求解即可：

（2）设8C=2f,由余弦定理求解即可；

【小问1详解】

2（cos2J-cos2B+sin2C）=2（1-sin2J-14-sin2B+sin?C）=sin8sinC,

Hp2（sin2^4-sin2C-sin2J）=sinBsinC,由正弦定理角化边可得2（〃+c?-力）二8c,

由余弦定理可得cosA='+：：=1:

2bc4

【小问2详解】

设3C=2f,由余弦定理结合（1）得4/=62+C2—2/%XL,即4/n/+ca—!■庆,

42

2+/2_2c1+4/2—b2

在△43。中，cos8=c―c―,在V力8C中，cosB=--―匕，

2卅4tc

所以2/=〃・/，即4/=2从・2/,所以8

2

1.2

所以〃+一左一女2=0,等式两边同时除以从可得1+L'£.3'二二0,

22bb2

c2ci（舍去），所以吗£_2

解得7=7或；=-7

b3b2sinB厂3

高中

A

17.如图，在四棱台—N禺G"中，底面44co是正方形，平面44c工＞,。。=2,

(2)求直线4/到平面。出。的距离.

【答案】(1)证明见解析；

17

【解析】

【分析】(I)由棱台的性质可证得44//OG，再根据线面平行的判定定理可得证；

(2)根据条件，利用几何关系求得及面积公式求得S&G^=3炳，再利用等体积法匕-QBD=Vq-ABD»

即可得出点到平面距高.

【小问1详解】

连接8。，交/C于o,连接£O,4G，

•.•四边形/ACQ是正方形，：.0A=-AC,

2

由棱台的性质可得/C//4G，

由43=6,44=3,

可得也=旭=,，则/C=24G，A0=A]C],A0//A]C]f

AC4B2

，四边形力。G4是平行四边形，则/4//OG，

高中

又「OCtu平面C[BD,AA}(Z平面C'BD,

AA}A//平面C/。；

【小问2详解】

因为44〃平面c#。，所以直线41到平面。啰。的距离等于A到平面。内。的距离,

取。。中点E,连C£,EB,因为AG//QC,且AG=〈DC=3,

所以，DEC是平行四边形，则。避//。。,。避=。。=2,而J■平面48CY),

故GE_L平面48C。，又BEu平面4BCD,故C】E人BE,

vBE=VcFTcF=V32+62=375»得C0=炉+而=J4+45=7,

/厂“13+72-493

又DC】=SD；+D1C；=岳，所以c°sgDB=2x屈、6百4'

所以sin/GQ8二

所以SaC8D=』OGxZ)4xsinNGOB=1xVi5x60x^=3V[7,

22y/26

设A到平面G。。的距离为力，又因为C£J■平面力BCQ,G到平面/8Q的距离为G£=2,

因为嗫力即二匕”皿，所以;2CMX〃=；S“必XC£,

所以x//=-x—x6x6x2

332

故直线A}A到平面C/O的距离为凶2.

17

18.已知平面四边形/8QC中，对角线C3为钝角N4CO的平分线，C8与力。相交于点O,AC=5,

AD=7,cosZ.ACD=.

5

高中

c

(I)求sinN4co的值;

(2)求CO的长；

⑴若BC=BD,求的面积.

【答案】(1)巫

5

⑵匹

9

⑶如

2

【解析】

【分析】(1)因为N4CQ=2N/1C。，利用二倍角公式cos//CQ=l—2sin2/ZC。直接求解即可；

(2)在△力CQ中，由余弦定理先求出CO,再求出sin/4CO,再把△力CO分成两个三角形，即△/CO和

△QC。，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出C。；

(3)方法一，在△力CO中，利用正弦定理先求出N/1OC,。的正弦及余弦值，利用差角的正弦公

式求出sinZADB=sin(ZBDC-ZADC),在△8CO中，由余弦定理求出BD,再利用

求面积即可；方法二，在等腰△BCD中，由CQ=4去求8C,80,C°，得到

8。与C。的比例关系，从而得到△80。与△8C。及△804与V8C4的比例关系，即可求出△力8。的

面积.

【小问1详解】

因为cos//。。=对角线CB为钝角AACD的平分线，

所以cosNNC。=1-2sin2ZJCO.

解得sinZJCO=—或sin/4。。=--(舍),

55

所以sin/4co=sinZDCO=—：

5

高中

【小问2详解】

由题意，在△力CQ中，由余弦定理可得

AD2=AC2CD2-2ACCDcosZACD，

即72=52+CQ2—2X5XCQX(」］,

整理可得。。2+26-24=0,解得CO=4或CO=-6（舍去）,

因为cos//CO=—L,所以sin/4CZ)=侦

55

又因为S△"=S&A8+S△Me，

所以LG4•CQ•Sin/ACQ=-CACO-sinZACO+-CDCOsinZDCO,

222

所以，x5x4x=—x5xCOx小+-x4xCOx—,

252525

解得8萼

【小问3详解】