2022年新高考全国ⅱ卷数学高考真题(解析版)

2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}2．（5分）（2+2i）（1﹣2i）＝（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i3．（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.94．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．65．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种6．（5分）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣17．（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100π B．128π C．144π D．192π8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（）A．f（x）在区间（0，）单调递减 B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴 D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线（多选）10．（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（）A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°（多选）11．（5分）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1+V2 D．2V3＝3V1（多选）12．（5分）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝．14．（5分）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．15．（5分）设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2＝1有公共点，则a的取值范围是．16．（5分）已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．（1）证明：a1＝b1；（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC＝，求b．19．（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）．20．（12分）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．21．（12分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．22．（12分）已知函数f（x）＝xeax﹣ex．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＜﹣1，求a的取值范围；（3）设n∈N*，证明：++…+＞ln（n+1）．

2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}【分析】解不等式求集合B，再根据集合的运算求解即可．【解答】解：|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，∴集合B＝{x|0≤x≤2}∴A∩B＝{1，2}．故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．2．（5分）（2+2i）（1﹣2i）＝（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i【分析】由已知结合复数的四则运算即可求解．【解答】解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．故选：D．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．3．（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【分析】由题意，结合等差数列的性质求解即可．【解答】解：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，且，解得k3＝0.9，故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质，结合阅读材料，考查学生的知识运用能力，是基础题．4．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6【分析】先利用向量坐标运算法则求出＝（3+t，4），再由＜，＞＝＜，＞，利用向量夹角余弦公式列方程，能求出实数t的值．【解答】解：∵向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，∴＝（3+t，4），∵＜，＞＝＜，＞，∴＝，∴＝，解得实数t＝5．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有＝48种情况，甲站在两端的情况有＝24种情况，∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48﹣24＝24种，故选：B．【点评】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．6．（5分）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1【分析】由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求α﹣β，进而可求．【解答】解：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，即sin（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，所以sin（）＝0，所＝kπ，k∈Z，所以α﹣β＝k，所以tan（α﹣β）＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．7．（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100π B．128π C．144π D．192π【分析】求出上底面及下底面所在平面截球所得圆的半径，作出轴截面图，根据几何知识可求得球的半径，进而得到其表面积．【解答】解：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为，下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图，设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得，解得R＝5，∴该球的表面积为4πR2＝4π×25＝100π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积求解，同时还涉及了正弦定理的运用，考查了运算求解能力，对空间想象能力要求较高，属于较难题目．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【分析】先根据题意求得函数f（x）的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．【解答】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6，令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，∴，∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（）A．f（x）在区间（0，）单调递减 B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴 D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、B、C、D的真假．【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，所以+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），令2x+，解得﹣＜x＜，故f（x）在（0，）单调递减，A正确；x∈（﹣，），2x+∈（，），根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；结合正弦函数的图象可知，直线y＝显然与y＝sin（2x+）相切，故直线y＝显然是曲线的切线，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．（多选）10．（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（）A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°【分析】由已知可得A的坐标，再由抛物线焦点弦的性质求得B点坐标，然后逐一分析四个选项得答案．【解答】解：如图，∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，），由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），∴，故A正确；，|OF|＝，|OB|≠|OF|，故B错误；|AB|＝＞2p＝4|OF|，故C正确；，，，，，∵|OA|2+|OB|2＜|AB|2，|AM|2+|BM|2＜|AB|2，∴∠AOB，∠AMB均为钝角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．（多选）11．（5分）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1+V2 D．2V3＝3V1【分析】利用等体积法，先求出几何体的体积V，再求出三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC的体积V1、V2，V3＝V﹣V1﹣V2，可得V1、V2、V3之间的关系．【解答】解：设AB＝ED＝2FB＝2，∵ED⊥平面ABCD，∴|ED|为四棱锥E﹣ABCD的高，∵FB∥ED，∴|FB|为三棱锥F﹣ABC的高，∵平面ADE∥平面FBC，∴点E到平面FBC的距离等于点D到平面FBC的距离，即三棱锥E﹣FBC的高＝|DC|＝2，几何体的体积V＝VE﹣ABCD+VE﹣FBC+VE﹣ABF＝×SABCD×|ED|+×S△FBC×|DC|+×S△ABF×|AB|＝4，V1＝×S△ACD×|ED|＝，V2＝×S△ABC×|FB|＝，V3＝V﹣V1﹣V2＝2．故C、D正确，A、B错误．故选：CD．【点评】本题主要考查组合体的体积，熟练掌握棱锥的体积公式是解决本题的关键．（多选）12．（5分）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1【分析】原等式可化为，（x﹣）2+＝1，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．【解答】解：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，令，则，∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，故C对，D错，故选：BC．【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝0.14．【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴P（2＜X≤2.5）+P（X＞2.5）＝0.5，∴P（X＞2.5）＝0.5﹣0.36＝0.14，故答案为：0.14．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．14．（5分）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为x﹣ey＝0，x+ey＝0．【分析】当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），利用导数的几何意义表达出切线的斜率，进而表达出切线方程，再把原点代入即可求出x0的值，从而得到切线方程，当x＜0时，根据对称性可求出另一条切线方程．【解答】解：当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），∵y'＝，∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣lnx0＝﹣1，∴x0＝e，∴切线方程为y﹣1＝，即x﹣ey＝0，当x＜0时，y＝ln（﹣x），与y＝lnx的图像关于y轴对称，∴切线方程也关于y轴对称，∴切线方程为x+ey＝0，综上所述，曲线y＝ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x﹣ey＝0，x+ey＝0，故答案为：x﹣ey＝0，x+ey＝0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．15．（5分）设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2＝1有公共点，则a的取值范围是[，]．【分析】求出AB的斜率，然后求解直线AB关于y＝a对称的直线方程，利用圆的圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解a的范围即可．【解答】解：点A（﹣2，3），B（0，a），kAB＝，所以直线AB关于y＝a对称的直线的向量为：，所以对称直线方程为：y﹣a＝，即：（3﹣a）x﹣2y+2a＝0，（x+3）2+（y+2）2＝1的圆心（﹣3，﹣2），半径为1，所以，得12a2﹣22a+6≤0，解得a∈[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16．（5分）已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为x+y﹣2＝0．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，可得kOE•kAB＝•＝﹣，设直线l的方程为：y＝kx+m，k＜0，m＞0，M（﹣，0），N（0，m），可得E（﹣，），kOE＝﹣k，进而得出k，再利用|MN|＝2，解得m，即可得出l的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣，则kOE•kAB＝•＝＝﹣，设直线l的方程为：y＝kx+m，k＜0，m＞0，M（﹣，0），N（0，m），∴E（﹣，），∴kOE＝﹣k，∴﹣k•k＝﹣，解得k＝﹣，∵|MN|＝2，∴＝2，化为：+m2＝12．∴3m2＝12，m＞0，解得m＝2．∴l的方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，故答案为：x+y﹣2＝0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．（1）证明：a1＝b1；（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），根据这两式即可证明a1＝b1；（2）由题设条件可知2k﹣1＝2m，由m的范围，求出k的范围，进而得出答案．【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，由a2﹣b2＝a3﹣b3，得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，则d＝2b1，由a2﹣b2＝b4﹣a4，得a1+d﹣2b1＝8b1﹣（a1+3d），即a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），∴a1＝b1．（2）由（1）知，d＝2b1＝2a1，由bk＝am+a1知，，∴，即2k﹣1＝2m，又1≤m≤500，故2≤2k﹣1≤1000，则2≤k≤10，故集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素个数为9个．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC＝，求b．【分析】（1）根据S1﹣S2+S3＝，求得a2﹣b2+c2＝2，由余弦定理求得ac的值，根据S＝acsinB，求△ABC面积．（2）由正弦定理得∴a＝，c＝，且ac＝，求解即可．【解答】解：（1）S1＝a2²sin60°＝a2²，S2＝b2²sin60°＝b2²，S3＝c2²sin60°＝c2²，∵S1﹣S2+S3＝a2²﹣b2²+c2²＝，解得：a2﹣b2+c2＝2，∵sinB＝，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，∴cosB＝，∴cosB＝＝，解得：ac＝，S△ABC＝acsinB＝．∴△ABC的面积为．（2）由正弦定理得：＝＝，∴a＝，c＝，由（1）得ac＝，∴ac＝•＝已知，sinB＝，sinAsinC＝，解得：b＝．【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式．19．（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）．【分析】（1）利用平均数公式求解即可．（2）利用频率分布直方图求出频率，进而得到概率．（3）利用条件概率公式计算即可．【解答】解：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：＝5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+35×0.017×10+45×0.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10＝47.9岁．（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的频率为：（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10＝0.89，∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率为0.89．（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50）为事件B，此人患这种疾病为事件C，则P（C|B）＝＝≈0.0014．【点评】本题考查频率分布直方图求平均数、频率，考查条件概率计算公式，属于基础题．20．（12分）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．【分析】（1）连接OA，OB，可证得OA＝OB，延长BO交AC于点F，可证得OE∥PF，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面ACE及平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式得解．【解答】解：（1）证明：连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，又OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，∴OA＝OB，延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF，∵OE⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，∴OE∥平面PAC；（2）过点A作AM∥OP，以AB，AC，AF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PO＝3，PA＝5，由（1）知OA＝OB＝4，又∠ABO＝∠CBO＝30°，则，∴，设AC＝t，则C（0，t，0），设平面AEB的一个法向量为，又，则，则可取，设平面AEC的一个法向量为，又，则，则可取，设锐二面角C﹣AE﹣B的平面角为θ，则，∴，即二面角C﹣AE﹣B正弦值为．【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．21．（12分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【分析】（1）根据渐近线方程和a2＝b2+c2即可求出；（2）首先求出点M的轨迹方程即为yM＝xM，其中k为直线PQ的斜率，若选择①②：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），求出点M的坐标，可得M为AB的中点，即可|MA|＝|MB|；若选择①③：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m（x﹣2）（m≠0），求出点M的坐标，即可PQ∥AB；若选择②③：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），设AB的中点C（xC，yC），求出点C的坐标，可得点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．【解答】解：（1）由题意可得＝，＝2，解得a＝1，b＝，因此C的方程为﹣y2＝1，（2）设直线PQ的方程为y＝kx+b，（k≠0），将直线PQ的方程代入﹣y2＝1可得（3﹣k2）x2﹣2kbx﹣b2﹣3＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，∴x1﹣x2＝＝，设点M的坐标为（xM.yM），则，两式相减可得y1﹣y2＝2xM﹣（x1+x2），∵y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴2xM＝（x1+x2）+k（x1﹣x2），解得XM＝，两式相减可得2yM﹣（y1+y2）＝（x1+x2），∵y1+y2＝k（x1+x2）+2b，∴2yM＝（x1﹣x2）+k（x1+x2）+2b，解得yM＝，∴yM＝xM，其中k为直线PQ的斜率；若选择①②：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝，∴x3+x4＝，y3+y4＝，此时点M的坐标满足，解得XM＝＝（x3+x4），yM＝＝（y3+y4），∴M为AB的中点，即|MA|＝|MB|；若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y＝x上，矛盾，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m（x﹣2）（m≠0），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3