2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第七节 余弦定理、正弦定理应用举例

第五章三角函数、解三角形第七节

余弦定理、正弦定理应用举例课标解读考向预测能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.预计2026年高考，以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，题型主要为选择题和填空题，难度中档.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线______的叫做仰角，目标视线在水平视线_______的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°测量中的几个有关术语上方下方解三角形应用问题的步骤：×√√√×题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第二册6.4.3练习T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B(

)A．北偏东10°方向 B．北偏西10°方向C．南偏东80°方向 D．南偏西80°方向解析：由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向．(4)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为______m.考点探究—提素养

测量距离问题

解决测量距离问题的基本步骤(1)确定解决问题所需要的三角形．(2)分析三角形中的已知量和未知量，将未知量放在另一个三角形中求解．(3)在确定的三角形中运用正弦定理或余弦定理求解．测量高度问题

(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．2.圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为33.65°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD的长)为7米，则表高(即AC的长)约为(

)

测量角度问题正北14

(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．3.(2024·广东六校高三第二次联考)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇A发现在北偏东45°方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇B正以每小时10公里的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，且要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为____小时，角α的正弦值为________．2课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点测量距离问题测量角度问题测量距离问题测量高度问题测量角度问题测量高度问题测量距离问题测量距离问题测量距离问题测量距离、角度问题测量距离问题测量距离问题测量高度问题测量距离、角度问题关联点两角差的正弦公式诱导公式两角和的正弦公式二倍角的余弦公式诱导公式2.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(

)A．30° B．45°

C．60° D．75°5.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得AC＝100cm，BC＝100cm，AB＝180cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(

)A．0.62 B．0.56C．－0.56 D．－0.62三、填空题11．海面上有相距10nmile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为_______nmile.12．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别