北师大版初中数学七年级上册有理数加减混合运算教案

北师大版初中数学七年级上册有理数加减混合运算教案

一、前端分析：基于深度学习的教学起点研判

（一）课标关联与核心素养解构

1.课程标准定位分析

本节课对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第三学段（7-9年级）的“数与运算”主题。具体内容要求为：“掌握有理数的加减运算，理解运算律，能进行简单的混合运算。”学业要求明确：“能在真实情境中理解运算的意义，形成运算能力；能选择合理的方法进行运算，并能说明运算过程的合理性。”

2.数学核心素养的落点映射

1.运算能力：从单纯的技能训练转向对算理、算法和运算律的深刻理解与灵活运用，培养选择优化策略的意识。

2.推理意识：通过归纳减法统一为加法的法则，发展学生的逻辑推理能力；在解决实际问题中形成模型意识。

3.应用意识：设计真实、跨学科的问题情境，引导学生发现数学与现实世界的广泛联系。

（二）教材纵向与横向解构

1.纵向知识脉络（单元内部）

本节课位于北师大版七年级上册第二章“有理数及其运算”的第六节，是本章的枢纽与高潮。此前，学生已依次学习：有理数的概念→数轴→绝对值→有理数加法→有理数减法。本节课的核心任务在于系统整合加减运算，并为后续的乘法、除法乃至乘方运算，以及最终的混合运算奠定逻辑基础和方法论基础。其本质是构建完整的“有理数加减运算系统”。

2.横向学科联系（跨学科视角）

1.物理学：温度变化、水位升降、位移与路程的计算，为运算提供具象的物理模型。

2.地理学：海拔高度的变化计算，涉及正负数的实际意义。

3.经济学：收入与支出、盈利与亏损的账目结算，是加减混合运算的绝佳应用场景。

4.计算机科学：补码运算的原理与本课“减法转化为加法”的思想同构，可进行初步的科普延伸。

（三）学情深度分析：认知节点与思维障碍预判

1.已有认知基础

1.掌握了有理数的概念，能在数轴上表示有理数。

2.初步理解了绝对值的几何与代数意义。

3.基本掌握了同号、异号两数相加的法则，以及减去一个数等于加上这个数的相反数的法则。

2.潜在认知冲突与学习障碍

1.符号处理的双重负荷：算式中同时出现“运算符号”（+，-）和“性质符号”（正负号），学生极易混淆。例如，面对“-3-（-5）”时，“-”的角色辨析是主要难点。

2.“统一为加法”的理解抽象性：虽然知道减法法则，但在连续运算中，将其自动化、系统化地应用于简化算式，需要一个从“知道”到“熟练理解”再到“自觉应用”的建构过程。

3.运算律应用的负迁移：小学阶段形成的“从左到右”依次运算的定势思维，可能阻碍他们主动寻求运用加法交换律、结合律进行简便计算的意识。

4.运算策略选择的盲目性：学生往往满足于得到正确答案，而缺乏对多种解法进行比较、优化策略的元认知意识。

二、教学目标：指向核心素养的三维表述

基于以上分析，制定如下可观测、可评价的教学目标：

1.知识与技能

1.能准确地将有理数的加减混合算式统一成代数和的形式，并正确读、写。

2.能熟练运用加法运算律（交换律、结合律）对代数和进行简化计算。

3.能综合运用数轴、生活实例等多种模型解释运算结果的合理性。

4.能解决涉及有理数加减混合运算的实际问题。

2.过程与方法

1.经历“具体情境抽象为算式→观察归纳统一法则→灵活运用简化运算→回归实际解释验证”的完整数学化过程，体会转化与化归、模型思想的运用。

2.通过对比不同解法，发展优化意识和批判性思维。

3.在小组合作探究中，学习清晰、有条理地表达自己的思考过程，并进行有效的数学交流。

3.情感、态度与价值观

1.在克服符号认知困难、获得简洁优美的算法过程中，增强学习数学的信心和成功体验。

2.通过感受数学在跨学科领域中的应用价值，激发对数学内在美和应用价值的认同。

3.养成严谨、规范的书写习惯和自觉检验的反思习惯。

三、教学重点与难点

1.教学重点：将有理数加减混合运算统一为加法运算（即代数和的形式），并熟练进行计算。

2.教学难点：在混合运算中，准确辨识运算符号与性质符号；灵活、合理地运用运算律进行简便计算。

四、教学准备与资源

1.教师准备

1.多媒体课件：包含动态数轴演示（如使用Geogebra软件）、阶梯式例题、变式训练、跨学科情境素材。

2.教具：温度计模型、标有正负刻度的数轴挂图、磁性数字与符号卡片。

3.“先学”任务单（导学案）：设计具有启发性和诊断性的预习问题。

4.差异化课堂练习卡（A组：基础巩固；B组：能力提升；C组：拓展探究）。

5.形成性评价工具：即时反馈系统（如希沃白板互动功能）、课堂观察记录表。

2.学生准备

1.完成“先学”任务单。

2.复习有理数加法、减法的法则。

3.准备笔记本、练习本，鼓励使用双色笔进行符号标注。

五、教学过程实施

第一阶段：先学诊断与情境导入（预计用时：8分钟）

【教师活动】

1.展示“先学”成果，聚焦困惑：通过实物投影或快问快答，快速展示学生对导学案中核心问题（如：“-2+3-5”可以如何理解？）的解答，聚焦普遍存在的符号混淆问题。不直接纠错，而是将其作为本节课要攻克的“堡垒”提出。

2.创设跨学科复合情境：

1.3.情境一（地理与体育）：“珠穆朗玛峰海拔约8848米，死海湖面海拔约-430米。一架直升机从死海上空起飞，先上升5000米进行观测，后下降3000米前往中转站，最后再上升2000米。问此时直升机相对于死海平面的高度是多少？你能用算式表示其变化过程吗？”

2.4.情境二（家庭经济学）：“小明家本周财务记录：父母工资收入共8500元，房贷支出-3200元，生活缴费-800元，投资理财收益+1200元，购物消费-1500元。本周家庭总收支结余如何？”

【学生活动】

1.回顾预习中的思考，明确自己的疑点。

2.分组讨论两个情境，尝试用含有正负数的算式表示变化过程。学生可能列出如(-430)+5000+(-3000)+2000

或8500+(-3200)+(-800)+1200+(-1500)

等算式。

【设计意图】

1.“先学后教”的起点不是零知识，而是学生的真实认知水平。快速诊断，使教学更具针对性。

2.复合情境打破单一学科壁垒，凸显数学的工具性，激发兴趣。同时，自然引出了本节课的核心研究对象——多个有理数的加减混合算式。

第二阶段：探究新知与算理建构（预计用时：22分钟）

【环节一：符号的澄明——从“混合”到“统一”】

【教师活动】

1.板书学生列出的典型算式：(-430)+5000+(-3000)+2000

。

2.关键提问：

1.3.“这个算式中，所有的运算都是什么运算？”（加法）

2.4.“加的数有哪些？它们各有怎样的符号？”（引出“加数”和“性质符号”的概念）

3.5.“如果我们把算式中的‘+’号都省略，写成-4305000-30002000

的形式，可以吗？该如何读？”引导学生感受其简洁性。

6.给出定义：像这样把加减混合运算统一成加法运算的式子，叫做这几个数的代数和。在代数和中，加号可以省略，每个数连同其前面的符号可以看作一个整体。例如：(-430)+5000+(-3000)+2000

可写成-430+5000-3000+2000

，读作“负430、正5000、负3000、正2000的和”，或按运算读作“负430加5000减3000加2000”。

7.动态演示：在数轴上，用动画点演示-3+5-2

的过程：从原点出发，向左3个单位，再向右5个单位，再向左2个单位。并与(-3)+5+(-2)

的数轴演示进行对比，直观显示其一致性。

【学生活动】

1.跟随教师提问进行思考，理解“代数和”概念产生的必要性——为了书写和思考的简洁。

2.进行符号辨析专项练习：给出如7-(+4)+(-5)-(-3)

，要求先将其写成省略加号的代数和形式。在此过程中，深刻理解“减正等于加负”、“减负等于加正”的转化。

3.两人一组，互相出题、转化并解释。

【设计意图】

1.这是突破难点的核心环节。通过层层追问和对比，帮助学生清晰地区分运算符号与性质符号，理解“统一为加法”不是机械记忆的步骤，而是追求数学表达简洁性与统一性的内在要求。

2.数轴模型的动态演示，将抽象的符号运算转化为直观的几何运动，实现数形结合，加深理解。

【环节二：算法的优化——运算律的再发现】

【教师活动】

1.承接上一环节的算式：-430+5000-3000+2000

。

1.2.提问1：“按顺序从左往右计算当然可以，但计算过程是否繁琐？有没有更快的算法？”

2.3.引导观察：引导学生发现，如果先把所有正数相加：5000+2000=7000，再把所有负数相加：(-430)+(-3000)=-3430，最后计算7000+(-3430)=3570。

3.4.追问：“这样做背后的数学依据是什么？”（加法交换律和结合律）

5.归纳策略：在有理数的代数和运算中，可以：

1.6.将正数与负数分别结合相加。

2.7.将互为相反数的数结合相加。

3.8.将同分母的分数或易于凑整的数结合相加。

9.板书规范化示例：

例1：计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7)

解：原式=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)（减法统一为加法）

=-20+3+5-7（写成省略加号的代数和）

=(-20-7)+(3+5)（正、负数分别结合）

=-27+8

=-19

强调书写格式的规范性和思维表达的条理性。

【学生活动】

1.模仿教师示例，尝试用不同的结合方法计算例题，并比较哪种方法更简便。

2.完成一组“策略选择”练习：给出多个算式，不要求计算最终结果，只要求说出打算采用哪种结合策略并说明理由。例如：2.5+(-3.2)+(-1.5)+4.2

（凑整结合）。

【设计意图】

1.超越“算对”的层面，导向“算巧”、“算好”。引导学生主动运用运算律优化计算过程，这是运算能力高级发展的标志。

2.规范化板书示范，培养学生严谨的数学表达习惯。策略选择练习，旨在提升学生的元认知能力，即对自我思维过程的监控与调节。

第三阶段：分层巩固与思维深化（预计用时：12分钟）

【练习设计】

1.A层（基础巩固）：直接进行省略加号、统一形式的练习及简单的按顺序计算。如：将5-7+4-3

写成代数和并计算。

2.B层（能力提升）：需要主动运用运算律进行简便计算的题目。如：计算1/2+(-2/3)+4/5+(-1/2)+(-1/3)

。

3.C层（拓展探究）：

1.4.实际建模：“某检修小组乘工程车沿东西向公路检修线路，约定向东为正。某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6。问：(1)收工时距A地多远？(2)若工程车每千米耗油0.1升，从出发到收工共耗油多少升？”（此题区分“位移”与“路程”，深化对绝对值意义的理解）。

2.5.思维挑战：“在数字1，2，3，…，2016前任意添加正号或负号，然后求它们的代数和。请问所得的结果可能是奇数吗？为什么？”

【教师活动】

1.巡视课堂，重点关注A层学生的符号掌握情况，对B、C层学生进行思路点拨。

2.利用即时反馈系统，收集B层某道典型题的答案，展示不同学生的解法，组织学生互评，比较优劣。

3.请C层完成思维挑战题的学生分享思路，引导全班思考“奇偶性”在有理数运算中的不变性。

【学生活动】

1.根据自身情况，选择至少完成A、B两层的练习。

2.积极参与解法展示与讨论，学习同伴的优秀思路。

3.C层学生合作探究挑战题，感受数学的逻辑魅力。

【设计意图】

1.差异化练习满足不同层次学生的发展需求，让每个学生都能获得成功的体验和思维的挑战。

2.通过实际问题（工程车问题）的解决，实现“数学化”与“化归”过程的逆运用，培养学生应用能力。耗油量问题特意设计“坑点”，促使学生深入理解算式中每个数字的“双重身份”。

3.思维挑战题将课堂从“运算技能”延伸到“数学思维”的层面，渗透奇偶分析的思想，为学有余力的学生打开一扇窗。

第四阶段：总结反思与评价延伸（预计用时：3分钟）

【教师活动】

1.引导学生以思维导图的形式进行课堂小结：

1.2.中心主题：有理数加减混合运算。

2.3.主要分支：①核心思想（转化：减法→加法）；②工具（代数和、数轴）；③策略（运算律的灵活运用）；④注意（符号辨析）。

4.布置分层作业（见第六部分）。

5.提出延伸思考问题：“我们已经知道减法可以转化为加法，那么，加减混合运算是否可以转化为单一的减法运算呢？这种转化有没有意义？”（为极少数有天赋的学生提供探究方向）。

【学生活动】

1.在教师引导下，口头或书面构建自己的知识网络图。

2.记录作业，明确要求。

3.思考延伸问题。

【设计意图】

1.思维导图式的小结，帮助学生将零散的知识点系统化、结构化，促进长时记忆的形成。

2.延伸思考问题打破思维定势，将学习从课内引向课外，培养批判性和创造性思维。

六、板书设计

主板（左侧）

副板（右侧）

课题：有理数的加减混合运算

学生典型列式展示区

一、核心：统一为加法——代数和

例：(-430)+5000+(-3000)+2000

定义：省略加号的几个有理数的和。

例：(-20)+3-(-5)-7

“先学”困惑聚焦区

=-20+3+5-7

(读作：……的和)

1.符号混淆？

二、利器：运算律——优化策略

2.……

1.正、负数分别结合：(-20-7)+(3+5)

课堂生成资源区

2.相反数结合

不同解法对比

3.凑整、同分母结合

学生精彩发言要点

三、步骤归纳

1.转化：减法→加法（变减为加，减数变相反数）。

2.省略：写成省略加号的代数和形式。

3.计算：灵活运用运算律，简化计算。

七、作业设计

【必做题】（巩固双基）

1.教科书对应章节的基础练习题。

2.将下列算式写成省略加号的代数和形式，并计算：

(1)(+12)-(-15)+(-7)-(+10)

(2)-4.2+5.7-8.4+10

3.用简便方法计算：(-2/3)+1.5+2/3+(-2.5)

。

【选做题】（应用提升）

1.（数学与生活）记录自己家庭连续三天的收支情况（收入为正，支出为负），制作一个简单的账本，并计算三天后的总结余。

2.（数学与科学）查阅资料，了解一天中不同时间点的气温变化。选择某地某日的气温数据（如每隔