北师大版小学数学六年级上册第六单元《比的认识》第5课时“比的应用（二）”教学设计

北师大版小学数学六年级上册第六单元《比的认识》第5课时“比的应用（二）”教学设计一、教学背景分析（一）课标分析【核心素养导向】本节课是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域的重要内容。它不仅仅是简单的计算技能训练，更是培养学生“量感”、“运算能力”和“应用意识”的核心载体。新课标强调，数学教学应引导学生从现实生活中发现和提出数学问题，经历解决问题的全过程。在“比的应用（二）”中，学生需要从“部分量”出发，逆向推导出“另一部分量”或“总量”，这对学生的逻辑推理、模型意识和逆向思维提出了更高要求，是小学数学从算术思维向代数思维过渡的关键阶梯。（二）教材分析本课是北师大版六年级上册第六单元“比的认识”中的第5课时，是在学生理解了比的意义、基本性质以及掌握了“已知总量和比求各部分量”（比的应用一）的基础上进行的深化学习。教材编排遵循由易到难、由正向思维到逆向思维的原则。本节课内容主要分为两个层次：一是已知一个部分量和它们的比，求另一个部分量；二是已知一个部分量和它们的比，求总量。这种编排旨在打破学生的思维定势，引导他们灵活运用比的意义，构建“按比例分配”问题的完整认知结构，为后续学习比例、百分数等知识奠定坚实基础。（三）学情分析【基础】六年级学生已经具备了一定的分数乘除法运算能力和简单的阅读理解能力。他们理解了比的意义，并且能够解决“已知总数和比，求各部分”的简单按比例分配问题。【难点】本节课的最大挑战在于思维方向的转变。在以往的认知中，学生习惯于先找“总量”再求“部分量”。而本课的问题情境中，总量往往是未知的，需要他们根据已知的“部分量”及其对应的“份数”作为突破口，先求出一份的量，进而解决问题。这对于部分学生而言，需要经历一个从“正向综合”到“逆向分析”的思维重构过程。【热点】学生对生活中的配比问题（如调制饮料、分配物资）有天然的亲切感，这为情境创设提供了良好的心理基础。将抽象的“比”与具体的“生活操作”联系起来，是点燃学生学习热情的最佳切入点。二、教学目标1.【基础】知识与技能：能够结合具体情境，理解“已知一个部分量和比，求另一个部分量或总量”的实际问题的结构特征。掌握用“归一法”（先求一份量）解决此类问题的基本策略，并能熟练、准确地列式解答。2.【重要】过程与方法：通过画图分析、小组讨论、对比辨析等数学活动，经历从正向思维向逆向思维过渡的过程，体会数形结合思想，培养分析问题、灵活选择解题策略的能力。3.【非常重要】情感态度与价值观：在解决“阿凡提分马”、“巧克力奶调制”等富有挑战性和趣味性的实际问题中，感受数学的智慧与魅力，增强数学应用意识，养成乐于思考、敢于质疑的理性精神。三、教学重难点（一）教学重点掌握“已知一个部分量及它与另一个部分量的比，求另一个部分量或总量”的解题方法，即归一法（份数思想）。（二）教学难点准确找到已知部分量所对应的份数，理解并构建“一份量=部分量÷对应份数”的数学模型，并能灵活迁移到不同类型的问题中。四、教学准备多媒体课件（PPT）、导学单（含不同层次的练习题）、实物投影仪。五、教学过程设计与实施（一）创设情境，逆向设疑——激发思维冲突【导入设计】1.故事引入，制造悬念：师：同学们，你们听过“智慧的化身”阿凡提的故事吗？今天，老师带来了一个关于他分马的故事。一位老人临终前立下遗嘱：“我有11匹马，把一半给大儿子，把四分之一给二儿子，把六分之一给小儿子。分马时，不能杀马，也不能卖马换钱。”老人的儿子们看着这份遗嘱，一筹莫展。按这个分法，难道要把马杀死分开吗？就在大家束手无策时，阿凡提牵着自己的一匹马路过，了解情况后，他笑着把自己的马也牵进了马群。同学们，阿凡提为什么要这么做？他最后真的把马分成了吗？（板书课题：比的应用（二））【设计意图】利用经典的数学故事创设认知冲突。“11”是一个无法被2、4、6整除的数，这直接挑战了学生原有的“平均分”和常规“按比例分配”的认知经验。阿凡提借马的举动，不仅激发了学生的好奇心，更为后续理解“总量变化”但“比例关系不变”埋下了伏笔，体现了转化的数学思想。此环节属于【热点】导入。（二）合作探究，建立模型——攻克“知部分求部分”【核心环节】1.信息呈现，分析题意：师：阿凡提的故事我们先留个悬念，先来解决我们生活中的实际问题。（课件出示教材情境图：淘气调巧克力奶。文字信息：淘气有巧克力440克，都用来调巧克力奶。调制巧克力奶，巧克力与奶的质量比是2：9。）师：请同学们仔细读题，找一找题中的数学信息和问题。生：已知条件是巧克力有440克，巧克力与奶的比是2：9。问题是“他要准备多少克奶？”【难点】师：这个问题和我们上节课学习的有什么不同？（引导学生对比）生：上节课我们是知道了总重量和比，求巧克力和奶各多少。这道题不知道总重量，只知道巧克力这一种材料的重量。师：你观察得真仔细！这就是我们今天要重点研究的类型——知道了一个部分量以及它与另一个部分量的比，求另一个部分量。2.数形结合，探索思路：师：请同学们拿出导学单，先尝试画图来表示这个数量关系。可以画线段图，也可以用自己喜欢的图形。（学生独立画图，教师巡视，选取有代表性的作品准备展示）（展示学生作品，并让学生讲解）生1：我用一条线段表示奶的质量，把它平均分成9份，那么巧克力对应的就是这样的2份。现在我们知道巧克力这2份是440克。师：你画得非常清晰！从图中你能看出，要求奶有多少克，关键要先求出什么吗？生：关键要先求出1份是多少克。师：太棒了！这就是我们解题的“金钥匙”——先求一份的量。那1份的量怎么求？生：440÷2=220（克）。师：为什么用除法？生：因为2份是440克，把440平均分成2份，就是一份的量。师：一份量求出来了，奶占9份，所以奶的质量就是——生：220×9=1980（克）。（教师根据学生回答，顺势板书，形成规范的解题步骤）3.方法内化，规范书写：师：我们把刚才的思考过程完整地写下来。首先要明确，440克对应的是2份。板书：（1）先求一份量：440÷2=220（克）（2）再求奶的质量（9份）：220×9=1980（克）答：他要准备1980克奶。【重要】师：同学们，解决这类问题的关键步骤是什么？我们一起总结一下。师生共同总结：已知一个部分量及其对应的份数，先求出每份的量（部分量÷对应份数），再求出所求部分的量（一份量×所求部分对应的份数）。4.回顾检验：师：我们算的对不对呢？可以怎样检验？生：可以算一算巧克力和奶的质量比是不是2:9。1980:440化简后是不是等于9:2？通过计算，1980÷220=9，440÷220=2，所以1980:440=9:2，符合题意。【设计意图】通过画图策略，将抽象的“比”转化为直观的“份数”，帮助学生跨越思维障碍。整个探究过程遵循“独立尝试—展示交流—归纳建模—回顾检验”的认知规律，突出了“数形结合”思想，有效突破了【难点】。（三）变式练习，深化模型——攻克“知部分求总量”【拓展提升】1.问题变式，引发新思：师：刚才我们帮淘气解决了问题。笑笑也遇到了同样的问题，不过她的问题稍微有点不一样。（课件出示：笑笑有巧克力280克，都用来调巧克力奶。她能调制出多少克巧克力奶？）师：仔细看，这道题的问题和刚才有什么不同？生：刚才问的是需要多少克奶，这道题问的是能调出多少克巧克力奶，也就是求巧克力和奶的总质量。师：你审题真仔细！虽然题目变了，但解决问题的核心思想变了吗？我们还能不能先求一份的量？请同学们在小组内讨论，并尝试列式计算。2.小组合作，思维碰撞：（学生小组讨论，教师参与其中一组，了解学生的不同思路）预设学生会有以下两种思路：思路一（份数法）：先求一份量：280÷2=140（克）巧克力奶的总份数：2+9=11（份）总质量：140×11=1540（克）思路二（分数法）：巧克力占巧克力奶的2/11，已知巧克力的量求总量，用除法。280÷2/11=280×11/2=1540（克）3.汇报交流，沟通联系：请小组代表上台板书并讲解。师：这两个小组分别用了两种不同的方法。第一种方法，就是我们刚才总结的份数法，先求一份，再乘总份数。第二种方法，把比转化成了分数，利用分数除法的意义来解决。这两种方法有什么联系吗？生：其实本质上是一样的，都是先找到280克对应的分率或份数。师：说得好！无论用哪种方法，我们都需要找准已知量（280克）所对应的份数（2份）或分率（2/11），这是解决问题的“牛鼻子”。（教师板书强调：对应思想）【非常重要】师：我们来对比一下这两个问题：（1）已知一个部分量（巧克力）和比，求另一个部分量（奶）。（2）已知一个部分量（巧克力）和比，求总量（巧克力奶）。师：它们的相同点是什么？（都需要先求一份量）不同点是什么？（最后一步，一个是乘另一个部分对应的份数，一个是乘总份数）4.回归故事，解密智慧：师：现在我们回过头看看阿凡提分马的故事。你能用今天学的知识解释阿凡提的智慧吗？（引导学生分析：原来遗嘱中，大儿子得1/2，二儿子得1/4，小儿子得1/6，这三个分数的比，通过通分可以转化为6/12:3/12:2/12=6:3:2。老人共有11匹马，但11并不能被（6+3+2）整除。阿凡提借来一匹，凑成12匹，此时按6:3:2来分，大儿子得6匹，二儿子得3匹，小儿子得2匹，正好11匹，剩下1匹就是阿凡提的。虽然总量变了，但三人分得的比例关系6:3:2没有变。）师：原来阿凡提是利用了“比”不变的性质，巧妙地借马凑数，化整为零。数学知识，真的可以让我们变得更聪明！【设计意图】从“知部分求部分”到“知部分求总量”，实现了知识的纵向延伸。通过对比分析，让学生深刻理解“对应份数”的重要性，构建起更为完善的认知结构。同时，回扣开头的故事，不仅首尾呼应，更让学生体会到数学知识的实际应用价值，将课堂气氛推向高潮。（四）分层练习，巩固内化——提升应用能力【练习设计】为了照顾不同层次的学生，练习设计分为三个梯度，全部呈现在导学单和PPT上。1.【基础练习】（模仿性练习）一种酒精消毒液，是由酒精和水按3:1的质量比配置而成的。（1）如果要用600克的酒精来配置这种消毒液，需要加入多少克的水？（2）如果要配置这种消毒液，用了300克的水，那么需要多少克酒精？【设计意图】第（1）题与例题类型一致，巩固“知部分求部分”；第（2）题虽是同一情境，但已知量和未知量互换，训练思维的灵活性。2.【高频考点】（综合性练习）学校图书馆新进了一批图书，按3:4:5的比例分给四、五、六年级。（1）已知四年级分到了120本，那么五、六年级各分到多少本？（2）已知六年级分到了150本，那么这批图书一共有多少本？【设计意图】引入三个量的比，将问题情境复杂化。但解题的底层逻辑不变，依然是“找准已知量对应的份数，先求一份量”。这是考试中的【高频考点】，旨在训练学生在复杂信息中提取核心数量关系的能力。3.【难点突破】（拓展性练习）一个长方形草坪的周长是160米，长与宽的比是5:3。这个长方形草坪的面积是多少平方米？【重要】师：请同学们思考，这道题和我们刚才做的有什么不同？关键陷阱在哪里？生：题目给的是“周长”，而不是“长+宽”的和。长方形的周长包括两个长和两个宽。所以要先求出一条长和一条宽的和：160÷2=80（米），然后再按5:3分配。【设计意图】这是“比的应用”中经典的“陷阱题”，旨在考查学生的审题能力和对几何公式的敏感度。通过这道题的辨析，进一步强化“对应思想”——已知量必须与份数对应。如果直接用160米去按5:3分配，那就错了。此环节针对【难点】进行精准突破。（五）课堂总结，构建体系——升华认知师：同学们，这节课快要结束了，请大家回顾一下，我们经历了怎样的学习过程？你有哪些收获？（学生畅所欲言）师：今天我们从“阿凡提分马”的悬念开始，通过解决“巧克力奶”问题，掌握了“已知一个部分量和比，求另一个部分量或总量”的解题秘诀——那就是先求出关键的一份量。我们通过画图理解了数量关系，通过对比找到了不同问题之间的内在联系。数学就是这样，万变不离其宗，只要我们抓住了“份数”和“对应”这两个核心，就能以不变应万变。（教师根据学生回答，完善板书，形成知识网络）六、板书设计北师大版六年级上册第六单元比的应用（二）——知部分，求其余【核心模型】对应思想→先求一份量一份量=已知部分量÷对应份数【类型一】已知部分量，求另一部分量例：巧克力440g，比2:9，求奶？（1）一份量：440÷2=220（克）（2）奶（9份）：220×9=1980（克）【类型二】已知部分量，求总量例：巧克力280g，比2:9，求巧克力奶？（1）一份量：280÷2=140（克）（2）总量（11份）：140×（2+9）=1540（克）【方法对比】份数法：直观，易懂。分数法：280÷2/11（沟通联系：核心都是找到已知量的“对应关系”）七、教学反思与作业设计（一）教学反思（课后预设）本节课的设计，我力图跳出单纯“教解题方法”的窠臼，转而立足于“培养学生思维能力”的高度。通过“阿凡提分马”的故事，成功激发了学生的探究欲望，将静态的数学知识动态化。在新知探究环节，充分给予学生画图、讨论、展示的空间，让学生在“做数学”的过程中自己“悟”出解题的通用模型——份数法。特别是对比环节的设计，让学生清晰地辨析了“知部分求部分”和“知部分求总量”的异同，强化了“对应”这一核心思想。最后的周长问题，再次敲响警钟，提醒学生数学学习需要严谨的审题习惯。整节课环环相扣，层层递进，基本达成了预设的教学目标。（二）作业设计