北师大版初中数学七年级上册《有理数的乘法》教学设计

北师大版初中数学七年级上册《有理数的乘法》教学设计

一、指导思想与理论依据

（一）指导思想

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深刻践行“以学生发展为本”的核心理念。我们将有理数的乘法教学视为学生数系扩张过程中的一次关键性飞跃，不仅关注运算技能的习得，更着眼于数学核心素养的培育。通过本课学习，引导学生从算术思维向代数思维过渡，理解运算的本质是对象的运算，而对象可以是更具一般性的“数”，从而为后续学习代数式、方程、函数等奠定坚实的逻辑与认知基础。

（二）理论依据

1.建构主义学习理论：强调学生不是被动接收知识的容器，而是主动建构意义的发现者。教学设计将创设丰富的问题情境，引导学生通过观察、类比、归纳、验证等一系列数学活动，自主“发现”和“建构”有理数的乘法法则，实现知识的个人化、意义化理解。

2.APOS理论：关注数学概念的抽象过程。本设计将引导学生在“操作（Action）”具体情境的基础上，形成“过程（Process）”性理解（即如何进行运算），进而将过程“对象（Object）”化（即将“乘法法则”本身作为一个可以操作和思考的对象），最终内化为认知“图式（Scheme）”，融入其关于数系运算的整体知识结构中。

3.深度学习理论：超越机械记忆与模仿，致力于引导学生进行批判性理解、知识迁移和问题解决。教学将设计富有挑战性的任务链，促使学生探究法则背后的数学原理（如运算律的保持、逆运算的相容性），并能在新情境（如含字母的式子、实际问题）中灵活应用，实现思维的深刻性。

二、教学背景分析

（一）教材分析

“有理数的乘法”位于北师大版七年级上册第二章“有理数及其运算”的第八节，是在学生学习了有理数的概念、数轴、绝对值、有理数的加法与减法之后，对数系运算学习的进一步深化。从数系扩张的逻辑看，有理数乘法法则的确定，是确保运算系统从非负有理数扩展到全体有理数后，仍能保持运算律（如交换律、结合律、分配律）一致性和运算和谐性的必然要求。教材通常采用“水位变化”、“温度变化”或“运动方向”等现实模型引入负因数的乘法，逐步归纳法则。本设计将在继承教材精髓的基础上，优化探究路径，强化理性思辨。

（二）学情分析

七年级学生的认知发展正处在从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。

1.已有基础：

1.2.熟练掌握了非负有理数（正数和零）的乘法运算。

2.3.理解了有理数的意义，能用数轴表示有理数，掌握了绝对值的概念。

3.4.学习了有理数的加法和减法，初步经历了从具体情境抽象运算规则的过程，对数系的扩张有初步体验。

5.潜在困难：

1.6.认知冲突：对“负数乘负数得正”这一规则感到抽象甚至反直觉，难以理解其合理性和必然性。

2.7.符号处理：在进行涉及多个负因数的乘法运算时，对符号的确定容易出错，可能与加减法中的符号规则混淆。

3.8.算理理解：可能停留在机械记忆“同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”的口诀层面，对法则的算理本质（如保持分配律）理解不深。

9.发展可能：通过精心设计的探究活动，学生能够超越直觉，从数学本身的内在逻辑（运算律的延续性）和数学模型的一致性两个角度，深刻理解法则的合理性，实现数学思维的一次重要升华。

三、教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数的乘法法则，能够熟练地进行有理数的乘法运算。

2.理解有理数乘法运算律（交换律、结合律、乘法对加法的分配律），并能够运用运算律简化运算。

3.能够运用有理数的乘法解决简单的实际问题。

（二）过程与方法

1.经历从现实情境和数学内部逻辑两个维度探究有理数乘法法则的全过程，发展观察、归纳、类比、抽象和推理能力。

2.通过对比、验证等活动，理解乘法运算律在有理数范围内的普适性，体会数学的严谨性和一致性。

3.在解决综合问题的过程中，学会分析数量关系、建立数学模型，并选择恰当的运算策略。

（三）情感、态度与价值观

1.在克服“负负得正”认知障碍的过程中，体验数学的理性之美和逻辑力量，增强学习数学的自信心。

2.通过探究活动，养成独立思考、合作交流、言之有据的科学态度。

3.感受数学与生活的密切联系，体会数学的工具价值和应用价值。

四、教学重点与难点

1.教学重点：有理数的乘法法则及其运用。

2.教学难点：理解“负数乘负数得正”的合理性；灵活运用乘法运算律简化计算。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件、GeoGebra动态演示文件（用于数轴上点的运动模型）、设计导学案、课堂探究任务卡片。

2.学生准备：复习有理数的相关概念及加法法则，准备笔记本、练习本。

六、教学过程设计与实施（核心环节）

第一课时：有理数乘法法则的探究与建构

环节一：创设情境，提出问题（时长：8分钟）

活动1：温故知新——从“连加”到“乘法”

教师提问：“我们知道，乘法是求几个相同加数和的简便运算。那么，对于有理数，这个定义是否依然适用？例如，(-3)+(-3)+(-3)+(-3)的和是多少？你能用乘法表示这个式子吗？”

学生回答：和为-12，可以用4×(-3)或(-3)×4表示。

引出课题：这就是我们今天要研究的有理数的乘法。4×(-3)=-12，这似乎很自然。那么，(-3)×4呢？根据乘法交换律，它们应该相等，所以(-3)×4=-12。这是“正数乘负数”的情况。那么，“负数乘负数”呢？比如(-3)×(-4)应该等于多少？这是我们需要解决的核心谜题。

活动2：模型引入——赋予运算现实意义

展示“温度变化”动态模型（GeoGebra）：

1.设定某时刻温度为0℃。

2.规定：时间以“小时”为单位，未来时间记为正，过去时间记为负；温度上升记为正，下降记为负。

3.情境A：如果水温每小时下降3℃（变化速度为-3℃/h），那么：

1.4.4小时后，温度比现在低多少度？列式：(-3)×4=-12。解释：速度（-3）乘以未来时间（+4），得到过去的变化量（-12），即下降了12℃。

2.5.4小时前，温度比现在高多少度？列式：(-3)×(-4)=？引导学生思考：4小时前是过去（-4），速度是下降（-3），4小时前温度应该比现在高12℃。那么(-3)×(-4)的结果应该是+12。

这个模型为“负负得正”提供了一个直观的现实解释。

设计意图：从乘法的本源定义出发，自然过渡到有理数乘法。利用“温度变化”这一具有方向性和累积性的模型，将抽象的数学运算与直观的现实世界连接起来，为难点突破搭建认知脚手架。同时，明确提出本课核心问题，激发探究欲望。

环节二：合作探究，归纳法则（时长：20分钟）

活动3：模式探究——寻找运算的规律

教师不再局限于单一模型，而是引导学生从多个角度和数学内部发现规律。

任务一：观察下列算式，你能发现积的符号与因数符号之间的关系吗？

(1)(+3)×(+4)=+12

(2)(-3)×(+4)=-12

(3)(+3)×(-4)=-12

(4)(-3)×(-4)=+12

(5)0×(-5)=0

(6)(-5)×0=0

学生小组讨论，归纳：①同号两数相乘，积为正；异号两数相乘，积为负。②任何数与0相乘，都得0。

任务二：深入思考——为什么“负负得正”？（数学内部逻辑推理）

这是突破难点的关键性思辨活动。

教师引导：“我们承认乘法交换律、结合律和分配律在有理数范围内仍然希望成立。让我们从‘保持分配律’这个数学的和谐性要求出发，来推导(-1)×(-1)应该等于多少。”

已知：1+(-1)=0

两边同时乘以(-1)，假设乘法对加法分配律成立：

(-1)×[1+(-1)]=(-1)×0

=>(-1)×1+(-1)×(-1)=0（应用分配律）

=>(-1)+(-1)×(-1)=0（因为(-1)×1=-1）

现在问：什么数加上(-1)等于0？显然是+1。

所以，(-1)×(-1)必须等于+1。

由此推广，对于任意负数相乘，“负负得正”是保持分配律这一基本运算结构的必然结果。

任务三：完整归纳法则

结合任务一的观察和任务二的推理，师生共同归纳有理数乘法法则：

1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2.任何数与0相乘，积仍为0。

强调：法则的核心是“先定符号，再算绝对值”。

设计意图：从特殊到一般的归纳是数学发现的重要方法。任务一完成初步归纳。任务二则是本设计的亮点，它将学生的思维从依赖外部模型提升到关注数学内在逻辑的高度，通过一个简洁有力的推导，让学生体会到“负负得正”不是凭空规定，而是数学体系保持自身逻辑一致性的“不得已”和“必然”选择，极大地增强了数学的理性说服力，培养了学生的逻辑推理素养。

环节三：初步应用，巩固理解（时长：10分钟）

活动4：法则的直接应用

1.口答练习（快速确定下列积的符号）：

(-7)×(+8)，(+1/2)×(-6)，(-0.5)×(-2)，(+10)×(+0.1)，0×(-100)

2.例题精讲与板演：

计算：(1)(-4)×5(2)(-5/6)×(-3/10)(3)(-8)×(-0.125)

教师示范解题规范，强调书写步骤：先判断符号，再计算绝对值。对于(3)启发学生观察数字特点，为后续运用运算律伏笔。

3.学生独立练习（教材例题变式）：

计算：(1)(-3)×(-9)(2)7×(-1)(3)(-2/3)×9/4(4)(-1)×(-1)×...×(-1)（共10个-1相乘）

教师巡视，关注符号确定和分数乘法的计算细节，对(4)引导学生发现“多个不为零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定”这一规律。

设计意图：通过分层练习，从符号判断到完整计算，从两个数到多个数，逐步巩固法则的应用。规范解题步骤，培养严谨的运算习惯。第(4)题为下节课学习多个有理数相乘的法则埋下伏笔。

环节四：课堂小结与反思（时长：5分钟）

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.今天我们学习了什么运算？它的法则是什么？（知识）

2.我们是怎样得到这个法则的？（通过现实模型和数学逻辑推理两种方法）（方法）

3.在探究过程中，你印象最深的是什么？（对“负负得正”的理解从直觉疑惑到逻辑认同）（思想、情感）

布置课后思考题：你能用“数轴上点的运动”模型（规定速度方向、时间方向）来解释有理数的乘法法则吗？

第二课时：运算律的验证与综合应用

环节一：复习导入，提出猜想（时长：5分钟）

快速复习乘法法则。提问：“在小学，我们学习过乘法的运算律，它们对于新学的有理数乘法还成立吗？请举例说明你的猜想。”

学生可能猜想：交换律、结合律、乘法对加法的分配律依然成立。

教师：猜想需要验证。让我们通过计算来检验。

环节二：验证运算律，发展理性精神（时长：15分钟）

活动1：小组合作验证

将学生分为三大组，每组负责验证一个运算律。

1.验证交换律：任选两个有理数a,b（可包含正数、负数、零、分数等不同类型），计算a×b和b×a，看结果是否相等。

2.验证结合律：任选三个有理数a,b,c，计算(a×b)×c和a×(b×c)，看结果是否相等。

3.验证分配律：任选三个有理数a,b,c，计算a×(b+c)和a×b+a×c，看结果是否相等。

各组汇报验证结果和所选例子，最终师生共同得出结论：在有理数范围内，乘法交换律、结合律以及乘法对加法的分配律依然成立。

活动2：理解运算律的价值

提问：我们费力气验证这些运算律，仅仅是为了知道它们成立吗？它们在计算中有什么实际用处？

引导学生回顾第一课时例题(-8)×(-0.125)，可以结合为[(-8)×(-0.125)]，因为(-8)×(-0.125)=1，从而简化计算。

得出结论：运算律是简化计算的重要工具。

设计意图：将验证过程交给学生，变被动接受为主动探究，深化对运算律的理解，培养严谨求实的科学态度。同时明确运算律的工具性价值，为后续应用做好铺垫。

环节三：灵活运用，优化计算（时长：18分钟）

活动3：运算律的应用策略探究

出示一组计算题，引导学生分析特点，选择最佳策略。

1.凑整结合策略：

(-8)×(-2.5)×(-0.125)×4

引导学生观察：-8与-0.125，-2.5与4分别相乘可得整数1和-10。

解：原式=[(-8)×(-0.125)]×[(-2.5)×4]=1×(-10)=-10

2.分配律逆用（提取公因数）策略：

(-5/6)×(+3.2)+(-5/6)×(+6.8)

引导学生观察：两项都有公因数(-5/6)。

解：原式=(-5/6)×(3.2+6.8)=(-5/6)×10=-25/3

3.分配律正用，化繁为简策略：

(1/4-1/6-1/12)×(-24)

解：原式=1/4×(-24)-1/6×(-24)-1/12×(-24)=(-6)-(-4)-(-2)=-6+4+2=0

4.符号规律与运算律综合策略：

计算：(-1)×2×(-3)×4×(-5)×...的规律探究（限于前几项）。

重点引导确定符号的策略。

活动4：挑战与辨析

1.陷阱辨析：下列计算对吗？如果不对，错在哪里？

a)(-36)÷(-4)×(1/9)=(-36)÷[(-4)×(1/9)]（混淆运算顺序，乘除同级运算应从左向右）

b)(-2)×(-3)²=6²=36（运算顺序错误，应先算乘方）

2.综合计算（分层要求，学有余力者完成）：

-3²+(-2)³×(-1/4)-(-1)^2024

设计意图：本环节是技能提升的关键。通过一组典型例题，系统归纳运用运算律简化有理数乘法的常用策略（凑整、提取公因数、化分数倍为整数等），并与其他运算（除法、乘方）结合，培养学生观察算式结构、灵活选择算法的高阶思维能力和数感。陷阱辨析旨在强化运算顺序和符号处理的准确性。

环节四：联系实际，建模应用（时长：7分钟）

活动5：解决实际问题

呈现问题：“某食品加工厂冷库的室温是-2℃，现有一批食品需要在-22℃下冷藏。如果冷冻机每小时可使室温下降5℃，那么开机多少小时后能达到所需温度？”

引导学生分析：

1.建立模型：设开机x小时。现有温度是-2℃，目标温度是-22℃，需要下降的温度是[-22-(-2)]=-20℃。冷冻机每小时下降5℃（变化-5℃/h）。关系式：(-5)×x=-20。

2.求解模型：这是一个有理数的乘法方程。由乘法法则逆用（即除法意义）可得x=(-20)÷(-5)=4。

3.解释答案：开机4小时后能达到所需温度。

拓展思考：如果问题改为“从-2℃开始，开机4小时后室温是多少？”，列式则为(-2)+(-5)×4，这又涉及有理数的混合运算。

设计意图：将数学知识还原于实际情境，培养学生从现实问题中抽象出数学关系（建模）、运用所学知识解决问题、并解释结果实际意义的能力，体现数学的应用价值。同时，此题为有理数除法（乘法的逆运算）的学习做了自然的铺垫。

第三课时：拓展深化与评价反馈（单元小结课）

环节一：知识结构梳理（时长：10分钟）

引导学生以思维导图或知识树的形式，自主梳理本单元（有理数乘法）的核心内容：

1.核心概念：有理数乘法的意义。

2.核心法则：乘法法则（符号法则、绝对值法则、与0相乘）。

3.运算性质：交换律、结合律、分配律。

4.运算策略：凑整、提取公因数、确定多个数相乘的符号等。

5.知识联系：与有理数加法的对比（符号处理不同），与小学乘法的承袭与扩展，与后续除法、乘方的联系。

教师展示优秀的结构图，并加以点评和补充，形成系统的认知网络。

环节二：综合问题解决（时长：20分钟）

设计一组综合性、层次性、开放性的问题，进行课堂练习或小组竞赛。

1.基础巩固题组：涵盖法则、运算律的基本应用。

2.能力提升题：

1.3.已知|a|=3，|b|=5，且ab<0，求a+b的值。

2.4.计算：1×(-2)×3×(-4)×...×19×(-20)的积的符号是正还是负？

5.探究开放题：

1.6.请设计两个有理数，使它们的积与它们的和相等。

2.7.在数轴上，点A表示的数是a。点B与点A相距3个单位长度。请问点B表示的数可能是多少？用含a的式子表示，并说明a可能的情况对结果的影响。（此题为数轴与乘法、绝对值的综合）

设计意图：通过综合练习，检测学生对本单元知识的掌握程度和灵活运用能力。开放探究题旨在培养学生的发散思维和探究能力，让不同层次的学生都能获得发展。

环节三：学习评价与反思（时长：10分钟）

活动：我的学习档案

发放自我评价表，引导学生从以下几个方面进行反思：

1.知识与技能：我能熟练进行有理数乘法运算了吗？在哪些情况下还容易出错？

2.过程与方法：我是否理解了法则的来龙去脉？我掌握了哪些简化计算的策略？

3.情感态度：我对“负负得正”还有疑惑吗？我在小组合作中贡献了什么？

教师收集评价表，作为了解学情、进行个性化辅导的依据。最后，教师进行单元总结性评价，肯定进步，指出共同存在的问题，并预告下一单元内容。

七、教学特色与创新

1.双路径突破认知难点：不仅通过“温度变化”等现实模型提供直观理解，更独创性地从“保持乘法分配律”这一数学内在逻辑出发，进行严谨的推理论证，使学生对“负负得正”的理解从“情境认同”上升到“逻辑认同”，思维层次更高。

2.突出运算律的“再发现”过程：改变直接告知运算律的做法，设计小组验证活动，让学生亲身经历从猜想到验证的完整过程，深刻体会数系扩张中运算律保持的重要性，培养理性精神。

3.结构化策略教学：在应用环节，不是进行题海战术，而是将计算题归类，引导学生总结“凑整结合”、“逆用分配律”等结构化策略，提升运算能力和思维品质。

4.贯穿数学建模思想：在法则引入和应用环节均设计实际问题，引导学生经历“情境-模型-求解-解释”的建模过程，体现数学的广泛应用性。

5.关注元认知