2026年高考数学上海卷仿真模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页交大附中高三三模数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知为正整数且，则的值为___________2．已知，若，则的最小值为___________3．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________4．已知均为正数，且，则的最小值为___________5．函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______6．在中，的面积为___________7．某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、、55、45、，已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是___________8．已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，离心率为过且斜率为的直线交的左支于两点，为线段的中点，，则____.9．已知函数，若存在实数，使得方程无解，则实数的取值范围是_____________.10．如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．

11．已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______．12．将数列中随机剔除两项（其中）然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为______.二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13．“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要14．已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．15．已知，则等比数列的公比为（

）A． B． C． D．16．定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（

）A． B．C． D．三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17．已知平面直角坐标系中，向量，.(1)求在上的投影向量；(2)若，且，求向量的坐标；(3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.18．人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到优秀”的概率分别为.每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora.(1)求员工经过培训能应用Sora的概率(2)已知开展Sora培训前员工每人每年平均为公司创造利润6万元：开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元：Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门?19．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)证明：//平面；(2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．20．已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标；(3)在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围.21．设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数．(1)判断函数是否为函数，说明理由；(2)已知是实数，函数是函数，求的最大值；(3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．10【分析】根据组合数的性质直接求解即可.【详解】因为为正整数且，所以,由组合数的性质可知，由于，故时，，所以的值为.2．【详解】由，则，所以时，取得最小值.3．【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点.4．2【详解】因为，所以.，当且仅当时等号成立.5．【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值．【详解】，振幅为，周期，设点，则，，，，解得，解得或（舍去），，解得．6．【详解】由余弦定理，代入得，整理得，解得（负根舍去）；故.7．54【分析】结合题意得到，再对取值范围进行分类讨论，最后结合总体百分位数的估计求解最大值即可.【详解】由题意得，则，不妨设，则，当时，，此时从小到大的排列顺序为，45，50，55，，而，故第40百分位数为，不满足题意；当时，，此时从小到大的排列顺序为45，，50，，55，而，故第40百分位数为，则，于是，而，可知第70百分位数是，即第70百分位数的最大值是54.8．3【分析】设直线斜率为，，由，求得坐标，再代入双曲线方程，进而可求解.【详解】双曲线离心率​​，平方得​，整理得，，左焦点，设，为中点，则，设直线斜率为，，故，代入​​，结合，则，联立解得：​又在双曲线上，满足，将​代入，即满足，代入​，消去后整理得：，解得或，在双曲线左支，，若，，符合要求；若​，，在右支，舍去，又，得.9．【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意可知函数的值域不为，分、两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可.【详解】因为函数在定义域上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，若存在实数，使得方程无解，可知函数的值域不为，当时，在上单调递增，在上单调递增，则，解得；当时，在上的最小值为，则，解得；综上所述：实数的取值范围是.故答案为：10．【分析】根据圆锥的几何性质，结合已知条件得出互相垂直关系，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用三角形的性质，求出面积最大值时点坐标，求出平面法向量和相关向量，进而利用点到平面距离公式计算求解．【详解】连接，由题意可知，，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

则，点在底面圆上，且点在直径同侧，设，母线长，为等腰三角形，，设边上的高为，则，，令，则，开口向下，对称轴为，当时，面积最大，此时，，，，设平面的法向量为，则，令，则，点到平面距离为．11．1【分析】根据题意，得到，结合和二次函数的性质，即可求解.【详解】因为，可得是一个图象开口向上的关于k的二次函数，所以函数在其图象的对称轴处取得最小值，即，所以．12．2026【分析】根据变换的特点，构造一个新的乘积式：，正好是新添加的项求解.【详解】题目中一次变换是：删除两项，添加，观察这个变换的特点，构造一个新的乘积式：，这正好是新添加的项，也就是说，整个数列所有项的的乘积在变换前后是不变的。原数列是共2026项，初始乘积为：，每一次变换会让数列的项数减少，初始有项，经过次变换后，数列只剩项，设为，根据不变量，有：，解得，故答案为：202613．A【详解】若“”，则“”，所以“”“”；若“”，则或，即或；所以“”推不出“”；所以“”是“”的充分非必要条件.14．B【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积.【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上，则球心到下底面圆距离为，因此，解得，所以球O的表面积为.15．B【分析】令，进而根据等比中项，结合对数的运算性质得，再代入计算公比即可.【详解】因为为等比数列，所以，因为，，令，则，整理得，所以，，，所以，该数列的公比为.16．D【分析】分析导数的符号变化，利用函数单调性与导数的关系逐项判断即可.【详解】因为定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，所以，令可得，结合四个选项可知，对任意的，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，对于A选项，如下图所示：由图可知，当时，，即函数在上单调递增，当时，，即函数在上单调递增，即是函数的极大值点，事实上，不是函数的极大值点，A选项不符合要求；对于B选项，如下图所示：设直线与函数图象交点的横坐标为，由图可知，当时，，，即函数在上单调递增，当时，，，即函数在上单调递减，事实上，函数在上单调递增，矛盾，B选项不符合要求；对于C选项，由图可知，对任意的，，则，即函数在上单调递增，由可知，当在上单调递增，在上单调递减，由图可知，函数在上单调递增，且函数的增长速度先越来越快，后越来越慢，则其导函数先递增再递减，矛盾，C选项不符合要求；对于D选项，由图可知，对任意的，，则，所以函数在上单调递增，且的增长速度越来越慢，由可知，当在上单调递增时，在上单调递减，D选项符合要求.17．(1)；(2)或；(3)且.【分析】（1）由题设及投影向量计算公式可得答案；（2）由向量坐标运算及向量平行坐标表示可得答案；（3）由题可得且与不平行，据此可得答案.【详解】（1）在上的投影向量为：，又，，则；（2）由题可得，设，因，则.因，则，从而，则或（3）由题可得，因与的夹角为锐角，则且与不平行，从而且.18．(1)(2)23【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算可得结果；（2）设视频部调人至其他部门，，由二项分布可知培训后视频部门能应用Sora的人数，求出期望值再根据利润大小解不等式可求得结果.【详解】（1）根据题意员工经过培训能应用Sora，即有两轮及以上获得“优秀”，其概率为；因此员工经过培训能应用Sora的概率为；（2）设视频部调人至其他部门，，为培训后视频部门能应用Sora的人数，则，则，调整后视频部门的年利润为；令，解得，因为，所以，因此视频部最多可以调23人到其他部门.19．(1)取的中点，连接，，因为分别是和的中点，所以，且.因为和都垂直于平面，且，所以，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以//平面．(2)【分析】（1）取的中点，连接，，由中位线定理及线面垂直的性质定理可得四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理证得//平面；（2）由四棱锥的体积为3，可求得点到平面的距离为.建立空间直角坐标系，设平面与平面所成的锐二面角大小为，根据面面角的向量求法将表示为的函数，结合二次函数的最值求法，可得的最大值.【详解】（1）略（2）设点到平面的距离为，则，为．由于平面，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内过且垂直于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，因为，所以，设，则，设平面的法向量为，由，得，令，得，因此平面的一个法向量．由于平面，因此是平面的一个法向量．设平面与平面所成的锐二面角大小为，则.因为，当且仅当时，等号成立；所以.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值为．20．(1)(2)证明见解析，(3).【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和点在椭圆上的条件，列出关于的方程组，求解得到椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两点坐标的关系，再根据直线的方程求出其与轴的交点坐标.（3）求出两直线交点，，分别表示与的面积，求范围即可.【详解】（1）依题意可知解得，，，所以椭圆的标准方程是.（2）设，，，当直线与轴不重合时，设直线的方程为，联立化简得，且，，①又，直线的方程为，令，解得，将①代入可得，所以定点为，当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点，所以直线过轴上的定点.（3）当直线的斜率为时，，比值无意义，故以下讨论直线斜率不为的情况.两直线交于，，因为，，所以，所以，.所以.又因为，所以.21．(1)不是函数，说明如下（举反例）：记，取，则即，所以不是函数；(2)1(3)先证充分性，若“存在实数，使得恒成立”，则有，则恒成立．充分性得证．再证必要性，若“存在非零实数，使得恒成立”，不妨设，记，则有，因为，，故对于任意整数，有，假设存在实数，使得，显然，则存在整数，使得，一方面，取，则，，