2026年湖南雅礼中学高考数学仿真模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026高三高考模拟卷（三）数学命题人：刘晖审题人：张鎏童继稀周芳芳张博注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（）A． B．C． D．2．已知，则的虚部为（）A． B． C． D．3．设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（

）A．7 B．7或5 C．10 D．10或24．某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．5．设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．6．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为A． B． C． D．7．当时，函数的零点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．88．记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（

）A．这组数据的众数是56B．这组数据的极差是4C．这组数据的60%分位数是55D．去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小10．已知函数，则（

）A． B．有4个极值点C．在上有零点 D．在上单调递增11．已知抛物线C:的焦点为F，点为抛物线C上任意不同的三点，则下列结论正确的有（

）A．焦点F为，且到准线的距离为B．点P到直线距离的最小值为C．不存在点P，使得为等边三角形（O为坐标原点）D．若为等边三角形，且直线的斜率为2，则的边长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知单位向量，，则的取值范围为______.13．已知函数的定义域为R，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则______.14．已知菱形，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，设点是的中点．记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且.(1)求的值；(2)若的外接圆半径为，求的面积.16．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，.（1）证明：平面；（2）求四面体体积的最大值.17．某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分．(1)从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率．(2)在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求．18．已知函数.(1)求的单调区间；(2)设，设对于每个正整数，方程的正数根为.①证明：②证明：.19．已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P.(1)求双曲线C的标准方程；(2)求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程；(3)在（2）的条件下，过点M，N分别作渐近线的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点（点在点上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】先求解集合B中的不等式，再利用交集的定义求解.【详解】由得，又，所以.故选：C.2．D【分析】根据复数的除法运算法则，将化成的形式，即可得到其虚部.【详解】因为，所以.所以的虚部为.3．B【分析】根据椭圆中，，的关系求解即可.【详解】因为焦距为2，所以.当焦点在轴上，此时，且，解得；当焦点在轴上，此时，且，解得.综上，的值为7或5.故选：B4．B【分析】根据导数的运算法则，求得，得到的值，即可求解.【详解】由运动路程与时间的关系为，可得，当时，，即质点在时的瞬时速度为.5．D【分析】分别判断每个数与0、1的大小关系，最后根据三个数的范围比较大小.【详解】，对数函数是增函数，且，因此：，即；，对数函数是减函数，且，因此：，即；，指数函数是增函数，因此：，即；综上，大小关系为.6．C【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0即（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），半径为2，设圆心到直线ax﹣by+2=0的距离等于d，则由弦长公式得，解得d=0，即直线ax﹣by+2=0经过圆心，∴﹣a﹣2b+2=0，∴a+b=1，∴（）（a+b）=+1++≥+2=+，当且仅当a=b时等号成立，故式子的最小值为+.故选C．7．C【分析】令，然后通过分析方程在给定区间内的解的个数来确定函数的零点个数.【详解】令，即，移项可得，对于，其周期；对于，其周期；当时，画出两个函数图象为：由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6，所以函数的零点个数为6.8．B【分析】利用递推思想,设为为奇数的概率,根据的取值对奇偶性的影响建立递推关系,再通过构造等比数列求出的通项,代入即可得概率.【详解】记事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为．当为奇数时，若，则仍然为奇数.当为偶数时，若或3，则为奇数，从而，即，即，整理可得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，则，所以，故是奇数的概率为.9．BC【分析】由题意将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，即可得众数与极差，对于C，由百分位数计算方法即可求解，对于D，先求出这组数据的平均数为54，且第5年的数据为54，由方差的计算公式可知，去掉第5年的数据后方差变大，故D错误.【详解】将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，众数是52和56，A错误；极差是，B正确；对于C，，所以60%分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，C正确；对于D，该组数据的平均数为，第5年的数据为54，设原始数据的方差为，去掉第5年的数据后的方差为，则，，即，故D错误.故选：BC.10．ACD【分析】对于A，代入计算即可；对于B，求原函数的极值点即求导函数的变号零点即可；对于C，求函数在某区间是否有零点，利用零点存在性定理判断即可；对于D，判断函数在某区间的单调性即求其导函数在该区间的正负情况即可.【详解】对于A选项，由，所以选项A正确；对于B选项，令函数，则，所以为偶函数，，令函数，则，令函数，则，当时，，所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，则在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，则在上单调递增，即在上单调递增，在上单调递减，因为，，，所以在上有1个极值点，在上有1个极值点，所以只有2个极值点，所以选项B错误；对于C选项，由，，由零点的存在性定理可知在上有零点，所以选项C正确；对于D选项，，当时，，，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以选项D正确.11．BCD【分析】由抛物线的性质得出焦点坐标及焦点到准线距离判断选项A；设抛物线上点，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质求距离最小值，判断选项B；利用等边三角形的性质，结合抛物线方程求出点坐标，结合两点间距离公式求出，判断边长情况进而判断选项C；设直线方程为：，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，结合等边三角形的性质求出的斜率，联立抛物线得出方程①，利用两点间距离公式得出方程②，联立①②求出，进而求出，判断选项D．【详解】抛物线方程，标准形式为，得，解得，焦点，准线，焦点而非，焦点到准线的距离，故A错误；设抛物线上点，点到直线的距离，二次函数对称轴为，最小值为，故，故B正确；而在轴上，长度为，若为等边三角形，则在中垂线上，代入抛物线得，记点，则，故边长不相等，不存在这样的点，故C正确；设直线方程为：，联立抛物线得，由韦达定理，中点，由弦长公式得，在等边三角形中，，直线斜率为，直线，联立抛物线得①，由等边三角形的性质知，设，则，由两点间距离公式得，，即②，联立①②得，展开整理得，解得（对应点，舍去）或，则，故，故D正确．12．【详解】，，所以.故答案为：.13．99【分析】先利用函数的对称性找到等式关系，再用赋值法得到，从而求出.【详解】因为关于点对称，所以,即，因为关于点对称，所以,因为，所以即，因为，所以，所以，所以，因为，所以，因此，在，令，得，因此.14．【分析】根据三棱锥的性质求出，建立空间直角坐标系，结合外接球的性质求出，再利用基本不等式求出的最小值．【详解】已知菱形，则均为边长为2的等边三角形，连接，则，且，设二面角的平面角为，则平面，为的中点，在等腰中，，由平面，得，，，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，则，是中点，，设三棱锥的外接球球心为，则，解得，，，设外接球半径为，则，，，令，则，当且仅当时取最小值，．15．(1)(2)【分析】（1）先根据等差数列的性质得到的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求值；（2）先根据正弦定理求出，再结合（1）中的的关系求出，最后根据三角形的面积公式求解.【详解】（1）由成等差数列知，又得，于是，设，则，所以；（2）由（1）知，由得，所以，所以的面积.16．（1）详见解析；（2）.【分析】（1）首先证明平面，利用得到平面，从而证得，又，可证得结论；（2）设，利用四面体体积公式将体积表示成关于的函数，利用均值不等式得到最值.【详解】（1）四边形是正方形，又，平面又

平面则有又，平面（2）设，则四面体的体积（当且仅当即时取等号）四面体的体积最大值为【点睛】本题考查线面垂直的证明、锥体体积最值问题，处理最值问题时，关键在于能够将体积表示为某变量的函数关系式，然后利用基本不等式或函数值域的求解方法求解出最值.17．(1)(2)【分析】（1）由互斥事件的和事件概率公式及条件概率计算公式即可求解；（2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解.【详解】（1）在（1）班、（2）班中随机抽取一人，设事件“该学生来自（1）班”，事件“该学生的数学成绩低于135分”，则由题意得．，该学生为（1）班学生的概率．（2）由题意，的所有可能取值为，则，，．18．(1)的单调递减区间，单调递增区间；(2)①因为，所以和的单调性一致，所以在上单调递增，构造函数，则，当时，，因为，所以单调递增，所以，故，则在上单调递增，故，即，，则,又因在上单调递增，故得，即得证；②由①知，对，，故，因此，先证明不等式，设，则当时，，在上单调递增，即当时，，即，即令，得，因此,而,所以，所以，故得证.【分析】(1)利用导数求解函数的单调性；(2)①构造得到，结合且在单调递增，得；②通过证明，，从而得证.【详解】（1）因为函数，所以当时，单调递减；时，单调递增，故的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）略.19．(1)(2)(3)设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中，联立方程，消去可得，该方程有两个正根，则，解得，直线的方程为，而，即，直线的方程为，而，即，联立方程，解得，即，，又，则，，所以，设，则直线方程为，即，则，，而，，所以，为定值.【分析】（1）根据题设求出，进而求解即可；（2）由（1）得渐近线为，设直线l的方程为，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得的中点即为的中点，进而得到，