二次函数与一元二次方程第2课时课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第5章二次函数4二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数图象求方程的近似根、解不等式(组)导入新课你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)?由图象知，抛物线与x轴有两个交点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间。yx12123-1-2-1-2-3-4O3-3-4-5-64这两个根分别是1.5和－3.5吗？探究新知

你能利用二次函数的图象(如图①②③)估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？(精确到0.1)探

究1【方法指导】由图象可知，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标，一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间。所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间。xy－4.1－1.39－4.2－0.76－4.3－0.11－4.40.56从表可知，当x取－4.4和－4.3时，对应y的值由正变负，可见在－4.4和－4.3之间一定有一个x值使得y＝0，即有方程x2＋2x－10＝0的一个根。由于当x＝－4.3时，y＝－0.11比y＝0.56(x＝－4.4)更接近0，所以选x＝－4.3。xy2.12.22.32.4－1.39－0.76－0.110.56方程x2＋2x－10＝0在－5和－4之间精确到0.1的根为x＝－4.3同理可得另一个根x＝2.3。归纳总结利用二次函数的图象求方程的近似根的步骤：观察图象，判断方程的根的大致范围；准确估算自变量多取一位小数的若干函数值并列表比较；借由表格判断方程的近似根。(1)利用二次函数的图象(如图)求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根。探

究2近似根：2.7x－4.5－4.6－4.7－4.8－4.9y－1.75－1.04－0.310.441.21x2.52.62.72.82.9y－1.75－1.04－0.310.441.21近似根：－4.7由图象可知方程有两根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间.(2)你还能利用二次函数y=x²+2x-10的图象求一元二次方程x²+2x-10=3的近似根吗？y=x²+2x-10和直线y=3交点和横坐标就是方程x²+2x-10=3的根.y=3y=x²+2x-10x1≈－4.7，x2≈2.7。

利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根，可以借助抛物线y＝x2＋2x－13与x轴的交点，也可以借助抛物线y＝x2＋2x－10与直线y＝3的交点等。归纳总结应用举例【例1】根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个根x的范围是(

)x6.176.186.196.20y＝ax2＋bx＋c－0.03－0.010.020.06CA．6<x<6.17B．6.17<x<6.18C．6.18<x<6.19D．6.19<x<6.20【方法指导】本题以图表的形式给出信息，探求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的范围，根据表格提供的信息。在6.18到6.19之间一定有一个x的值，使ax2＋bx＋c＝0。因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴交点的横坐标，所以方程的一个根x的范围是6.18＜x＜6.19。【例2】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)。【方法指导】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解。解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标。yx12123-1-2-1-2-3O3-34作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示。yx12123-1-2-1-2-3O3-34由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间。先求－1和0之间的根，当x＝－0.5时，y＝0.25。因此，x＝－0.4是方程的一个近似根。同理，x＝2.4是方程的另一个近似根。当x＝－0.4时，y＝－0.04；随堂练习1.利用如图所示的二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根.解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间.y=－2x2+4x+1（1）先求－1和0之间的根.

利用计算器进行探索:xy－0.10.58－0.20.12－0.3－0.38因此，x=－0.2是方程的一个近似根.y=－2x2+4x+1（2）再求2和3之间的根.

利用计算器进行探索:xy2.10.582.20.122.3－0.38因此，x=2.2是方程的另一个近似根.y=－2x2+4x+1

x/m

x/m3.利用二次函数y=2x2与一次函数

y=x＋2的图象，求一元二次方程2x2=x＋2的近似根.解：如图所示，由图象可知方程2x²=x+2，即2x²-x-2=0有两个根，一个根在-1和0之间，另一个根在1和2之间.（1）先求－1和0之间的根.

利用计算器进行探索:x－0.9-0.8-0.7-0.62x²-x-20.520.08-0.32-0.68因此，x=－0.8是方程2x²=x+2的一个近似根.（2）先求1和2之间的根.

利用计算器进行探索:x1.11.21.31.42x