第2课时菱形的判定2026-2027学年北师大版九年级数学上册

菱形的判定1北师版九年级上册复习导入动手操作，两人一组，将课前准备好的平行四边形剪成菱形。说一说，你这么操作的依据是什么？测量折叠重合平行四边形一组邻边相等菱形【单击文字播放视频】几何语言：菱形的判定方法∵四边形ABCD

是平行四边形，AB=BC∴四边形ABCD是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形。ABDC根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流。探究新知(1)由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流。猜想：四边相等的四边形是菱形思考·交流已知：如图，在四边形ABCD

中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD

是菱形。证明：∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD

是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD

是菱形。ABDC定理四边相等的四边形是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形。几何语言：逆命题：如果一个四边形是平行四边形，它的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形。(2)菱形的对角线具有怎样的性质？写出它的逆命题，这个逆命题成立吗？为什么？与同伴进行交流。思考·交流ABCD性质：菱形的对角线互相垂直猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD。求证：□ABCD是菱形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC。又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线。∴BA=BC。∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)。定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形。几何语言：(1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a。如图，利用尺规作出线段AC=a，分别以A，C

为圆心，以大于AC

为半径作弧，两弧交于B、D，依次连接A，B，C，D。尝试·交流a(2)满足(1)中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流。尝试·交流答：不唯一。因为在垂直平分线上取点B、D时，只要OB=OD，无论OB取多长，都能构成菱形，所以这样的菱形有无数个。给定另一条对角线的长度给定菱形的边长给定菱形的一个内角例2

已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD

相交于点O，AB=，OA=2，OB=1。求证：□ABCD是菱形。证明：在△AOB

中，∵AB=，OA=2，OB=1，∴AB2=AO2+OB2。∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角。∴AC⊥BD。∴□ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）。1.你能用折纸的方法得到一个菱形吗？动手试一试，并说明你的方法的正确性。[教材P8随堂练习第1题]达标检测2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD

是菱形吗？为什么？[教材P8随堂练习第2题]证明：∵等宽纸条对边平行，∴AD∥BC，

AB∥CD，∴□ABCD

是平行四边形，从A点作AM⊥DC交于点M，作AN⊥BC交于点N，∵是两张等宽的纸，∴AM=AN。∵□ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠ADM，∵AM⊥DC

，AN⊥BC，∴∠ANB=∠AMD=90°，∴△ABN≌△ADM，∴AB=AD，∴四边形ABCD

是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BD，AB∥DE。∵AD

是△ABC

的边BC

上的中线，∴BD=CD，∴AE=CD。又∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形。∵AB∥DE，∠BAC=90°，∴∠COD=∠BAC=90°，即AC⊥DE，∴□ADCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是边BC

上的中线，以AB，BD

为邻边作□ABDE，DE交AC

于点O，连接EC。求证：四边形ADCE

是菱形。证明：∵E是AD的中点，G是BD的中点，∴EG=AB。同理FH=AB，EH=CD，FG=CD。又∵AB=CD，∴EG=FG=FH=EH，∴四边形EDFH是菱形(四边相等的四边形是菱形)。4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，