第1课时二次函数与一元二次方程的联系2026-2027学年人教版数学九年级上册

二次函数与一元二次方程的联系R·九年级上册复习回顾思考：你如何看待等式2x-1=0?你能求出x的值吗?等式2x-1=0方程角度一元一次方程2x-1=0的解函数观点一次函数y=2x-1，当y=0时对应的自变量x的值数2x=1一次函数y=2x与常数函数y=1，当函数值相等时，对应的自变量x的值直线y=2x与直线y=1交点的横坐标直线y=2x-1与x轴交点的横坐标形方程角度一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标形函数观点一次函数y=ax+b(a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值数那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-8x+16；（3）y=x2-x+1.探索新知由此，你能说说相应的一元二次方程的根的情况吗？先画出函数图象：（1）y=x2+x-2；

（2）y=x2-8x+16；

（3）y=x2-x+1.无公共点公共点的函数值为

.00=x2-x+1.0=x2+x-20=x2-8x+16x1=-2，x2=1.二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？x1=x2=4.对应一元二次方程的根是多少？有两个不等的实根有两个相等的实根方程无实数根由上述问题，你可以得到什么结论呢？方程角度一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解抛物线y=ax2+b+c(a≠0)与x轴交点的横坐标形函数观点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值数一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象，可得如下结论：(1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根.(2)二次函数у=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0例1

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h=20t-5t2.小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？Ohth=20t-5t2解：当h=20时，则20=20t-5t2.解方程，得t1=t2=2.当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.202即

t2-4t+4=0.你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=15，则15=20t-5t2.解得t1=1，t2=3.当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？1513练习关于例1，回答下列问题：【教材P48练习】（2）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=20.5，则20.5=20t-5t2.即t2-4t+4.1=0.∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根.即小球的飞行高度不能达到20.5m.你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗？20.5（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=0，则0=20t-5t2.解得t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.所以小球从飞出到落地要4s.二次函数与一元二次方程的关系：y=ax2+bx+c一元二次方程y取定值且a≠0已知二次函数中因变量的值，求自变量的值求相应的一元二次方程的根例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）．反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值．练一练(1)证明：∵m≠0，∴Δ=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0，∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点.已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．练一练已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．(2)解：令y=0，则(x-1)(mx-2)=0，即x-1=0或mx-2=0，解得x1=1，x2=.当m为正整数1或2时，x2的值为整数.又∵当m为2时，Δ=0，抛物线与x轴只有一个交点，∴正整数m的值为1.随堂练习1.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是(

).A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0D.x1=1,x2=32.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(

).A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0BD3.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数．∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，∴k=3.当k≠3时，y=(k-3)x2+2x+1是二次函数．∵二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴Δ=b2-4ac≥0.∵b2-4ac=22-4(k-3)