第1课时数字问题与几何图形问题2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.3实际问题与一元二次方程第1课时数字问题与几何图形问题第二十五章一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤.2.掌握数字、图形面积等问题的常见应用题解法.3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．复习回顾以前，我们列方程（一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程）解决实际问题的一般步骤是什么？1.审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系；2.设：设未知数；3.列：根据等量关系列出方程；4.解：解方程；5.验：检验解在实际问题中是否有意义；6.答：写出实际问题的答案.探索新知例1是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数.由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2.解方程，得x1=3，x2=–1（不符合题意，舍去）.因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.解决数字问题的关键是用代数式表示出其他数，设未知数时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程.知识要点牛刀小试1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.分析：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为5–x.十位数字个位数字这个两位数原两位数5–xx10(5–x)+x新两位数x5–x10x+(5–x)等量关系：所得的新数与原来的两位数乘积为736.解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为5–x.依题意，得[10x+(5–x)][10(5–x)+x]=736.解得x1=2，x2=3.当x=2时，5–x=3；当x=3时，5–x=2.所以原来的两位数是23或32.牛刀小试1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.分析：假设细绳能围成面积为96m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为xm，由周长为40m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.例2用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？例2用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？解：设矩形的一边长为xm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20–x)m；再由矩形的面积为96m2，得x(20–x)=96.解方程，得x1=12，x2=8.方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2

的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.

解：设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10–x)m.由矩形的周长为40m，得

解方程，得x1=12，x2=8.由矩形的面积为96m2，得(10+x)(10–x)=40.解方程，得x1=2，x2=–2.当x=2时，边长为10+2=12m，10–2=8m；当x=–2时，边长为10–2=8m，10+2=12m.比较这些设法，说说它们各自的特点.

由矩形的周长为40m，得

解方程，得x1=12，x2=8.解：设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10–x)m.由矩形的面积为96m2，得(10+x)(10–x)=40.解方程，得x1=2，x2=–2.当x=2时，边长为10+2=12m，10–2=8m；当x=–2时，边长为10–2=8m，10+2=12m.直接利用面积关系表示邻边，方程会出现分式，需要去分母化为整式方程，步骤稍多.利用“和为定值”设未知数，直接用平方差公式，方程非常简洁，计算量小，能快速得到结果.知识要点1.利用一元二次方程解决规则图形问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；2.根据条件灵活选择设元方式，优先用能简化运算的技巧，同时保证解的合理性验证.牛刀小试2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300m2时，求AB的长．解：设AB长为xm，则BC长为(50–2x)m.根据题意，得x(50–2x)=300.解方程，得x1=10，x2=15.当x=10时，AD=BC=50–2x=30>25，不合题意，所以x=10应该舍去．当x=15时，AD=BC=50–2x=20<25，所以x=15满足条件．答：AB的长为15m.随堂练习1.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区域？能围成一个面积为101m2

的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.解：设矩形的长为xm，宽为(20–x)m.当矩形面积为75m2时，x(20–x)=75，解方程，得x1=15，x2=5（不合题意，舍去）.所以，矩形的长为15m，宽为5m时，面积为75m2.当矩形面积为101m2时，x(20–x)=101，因为此方程无实数根，所以，不能围成面积为101m2的矩形区域.【选自教材第21页练习第1题】

2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB

上是否存在点E，使得∠DEC为直角.【选自教材第21页练习第2题】3.广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章.现需将长为3m、宽为2m的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示.设边饰的宽度为xm.（1）请用含x

的式子分别表示挂画的长和宽；解：由图可知挂画的长为(3+2x)m，宽为(2+2x)m.3.广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章.现需将长为3m、宽为2m的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示.设边饰的宽度为xm.（2）若整幅挂画的面积是12m2，求锦缎边饰的宽度.解：由题意，得(3+2x)(2+2x)=12.解得x1=0.5，x2=–3（不符合题意，舍去）.答：锦缎边饰的宽度为0.5m.4.如图，在宽为20m、长为32m

的矩形地面上修筑等宽的道路（图中黄色部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽.解：设道路的宽为xm.平移转化由题意得(20–x)(32–x)=540，解得x1=50（不符合题意，舍去），x2=2.答：道路的宽为2m.5.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点