第25章一元二次方程数学活动2026-2027学年人教版九年级数学上册

数学活动第二十五章一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.理解并推导含公共系数的三个一元二次方程恰有一个公共解的条件，掌握公共解的通用求解方法.2.能利用一元二次方程解决线段分割的代数+几何综合问题，掌握对应尺规作图的规范步骤.3.提升一元二次方程的综合应用能力，体会方程思想、数形结合思想在代数与几何问题中的应用．活动1探究方程有公共解的条件探索新知已知abc≠0，方程ax2+bx+c=0，①bx2+cx+a=0，②cx2+ax+b=0.③恰有一个公共解.给出a，b，c满足的条件，并求出方程①②③的解.am2+bm+c=0，①bm2+cm+a=0，②cm2+am+b=0.③解：设三个方程的公共解为m，根据方程解的定义，将m代入三个方程，等式均成立：由①+②+③，合并同类项可得：(a+b+c)m2+(a+b+c)m+(a+b+c)=0.提取公因式(a+b+c)，化简得：(a+b+c)(m2+m+1)=0.(a+b+c)(m2+m+1)=0对于二次式m2+m+1，其根的判别式Δ=12–4×1×1=–3<0，因此m2+m+1>0.要使等式成立，只能满足a+b+c=0，这就是a，b，c

需要满足的核心条件.ax2+bx+c=0，①bx2+cx+a=0，②cx2+ax+b=0.③由a+b+c=0，得c=–(a+b)，代入①，②，③得ax2+bx–(a+b)=0，①bx2–(a+b)x+a=0，②–(a+b)x2+ax+b=0.③(x–1)[ax+(a+b)]=0，①(x–1)(bx–a)=0，②(x–1)[(a+b)x+b]=0.③因式分解(x–1)[ax+(a+b)]=0，①(x–1)(bx–a)=0，②(x–1)[(a+b)x+b]=0.③

因此，三个方程的公共解为x=1.知识要点公共解问题通用方法：设公共解，代入所有方程联立，通过加减消元、因式分解简化推导.活动2神奇的线段分割问题1：王芳：你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗?解：设线段全长为l，分成的三条线段为a，b，c，且a>b>c>0，两两不等.

这条线段如图所示.abc

解：设线段全长为l，分成的三条线段为a，b，c，且a>b>c>0，两两不等.

所以bc+ac=ab，(a+b)c=ab.①(a+b)c=ab.①因为a=b+c，代入①，得(b+c+b)c=(b+c)b，移项，合并同类项得b2–bc–c2=0.②将②看作关于b

的一元二次方程，c

为常数，用求根公式求解：

黄金分割数请你用直尺和圆规作出这条线段中的两个分点.1.作中点（找到第一个分点）：

②过交点作AB的垂线，这条垂线与AB的交点即为中点M.③此时AM=BM=a.作图步骤：2.在MB上找第二个分点：①用上述同样的方法作出MB的中点P；②过点B作MB的垂线，在垂线上截取点C，使BC=PB，连接MC.③以点C为圆心，CB长为半径画弧，交线段MC于点D.④以点M为圆心，MD长为半径画弧，交线段MB于点N.⑤此时MN=b，NB=c.生活中的黄金分割ABCDENM正五角星

生活中的黄金分割鹦鹉螺外壳的截面生活中的黄金分割优选法