频率的稳定性 随机模拟课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章概率10.3.1频率的稳定性

10.3.2随机模拟【课标要求】1.理解有限样本空间、样本空间、样本点的概念.2.理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件的含义及其关系.3.理解事件A与事件B之间的关系,及并事件、交事件、互斥事件、互为对立事件等相关概念.基础落实•必备知识全过关基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升目录索引

课标要求1.能借助具体掷硬币的试验来理解频率fn(A)与概率P(A)的关系.2.会利用fn(A)近似地求解一些事件的概率P(A).3.了解随机数的含义及用于随机模拟的蒙特卡洛方法.基础落实•必备知识全过关知识点一

随机事件的频率与概率的关系大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有_______.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会_____,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的

.因此可以用频率fn(A)估计概率P(A).

P(A)≈fn(A),n越大,估计效果越好

随机性

缩小

稳定性

名师点睛对于频率与概率的区别和联系的剖析(1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的.(2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是0.5,与做多少次试验无关.(3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)频率是客观存在的,与试验次数无关.(

)(2)概率是随机的,在试验前不能确定.(

)(3)随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率.(

)××√2.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系?提示

随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生.知识点二

随机模拟1.随机数与伪随机数(1)例如我们要产生0~9之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.(2)计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.2.蒙特卡洛方法利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这种利用

解决问题的方法为蒙特卡洛方法.

随机模拟

过关自诊用频率估计概率,需要做大量的重复试验,有没有其他方法可以替代试验呢?提示

因为利用计算器或计算机软件可以产生随机数,所以我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了.重难探究•能力素养全提升探究点一对概率的正确理解

B

规律方法

对频率与概率的理解(1)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定.(3)概率是一个确定的常数,是客观存在的,在试验前已经确定,与试验次数无关.变式训练1下列说法合理的是(

)A.抛掷一枚硬币,试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率B.由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女C.某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的区域下雨D.随机事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大

A解析

在A中,抛掷一枚硬币,由概率的定义得,试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率,故A正确;在B中,一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),故B错误;在C中,某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的可能性会下雨,故C错误;在D中,事件A,B中至少有一个发生的概率包括事件A发生B不发生;A不发生B发生;A,B都发生,3种情况.A,B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生;A不发生B发生,2种情况.当事件A,B为对立事件时,事件A,B都发生的概率为0,则事件A,B中至少有一个发生的概率与A,B中恰有一个发生的概率相等,故D错误.探究点二随机事件的频率与概率【例2】

近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):类别“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率

变式训练2(1)在一次抛硬币的试验中,同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了45次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(

)A.0.45

0.45 B.0.5

0.5C.0.5

0.45

D.0.45

0.5D解析(1)出现正面的频率是45÷100=0.45,出现正面的概率是0.5.(2)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检,发现其中有5件不合格,则估计该厂这20万件产品中合格产品约有(

)A.1万件 B.18万件C.19万件

D.2万件C

探究点三游戏公平性的判断【例3】

某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负责表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么?解

该方案是公平的,理由如下:各种情况如下表所示:和45671567826789378910

规律方法

变式训练3有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,猜数方案从以下两种方案中选一种:A.猜“是奇数”或“是偶数”;B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”.请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案?为什么?解

(1)A方案中,“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5;B方案中,“是4的整数倍数”的概率为0.2,“不是4的整数倍数”的概率为0.8,为了尽可能获胜,应选择B方案,猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大.(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.探究点四利用随机数求事件的概率【例4】

在一次男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.羽毛球的比赛规则是3局2胜制,假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用计算机模拟试验,估计甲获得冠军的概率.为此,用计算机产生1~5之间的随机数,当出现随机数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜,其概率为0.6.因为要比赛三局,所以每3个随机数为一组.如下,产生了20组随机数:423

231

423

344

114

453

525323

152

342

345

443

512

541125

342

334

252

324

254相当于做了20次重复试验,用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为

.

0.65

规律方法

用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时,首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.可以从以下几个方面考虑:(1)试验的样本点的发生是等可能的,样本点总数就是产生随机数的范围,每组随机数字代表一个样本点;(2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数;(3)产生的整数随机数的组数n越大,估计的概率准确性越高;(4)这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的.

变式训练4袋子中有四张卡片,分别写有“学、习、强、国”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A,用随机模拟的方法估计事件A发生的概率,利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“学、习、强