随机事件与概率课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章概率人教A版2019必修第二册10.1.1有限样本空间与随机事件第十章概率一、有限样本空间章前导入（书228）

概率是对随机事件发生可能性大小的度量.在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率，本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质.

新知导入（书228）研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.（1）将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；（2）从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数；（3）在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；（4）从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数；（5）记录某地区七月份的降水量.研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.例如：随机现象随机试验新知讲授1.随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能

确定出现哪一个结果.可重复性可预知性随机性新知探究(书228）思考：

体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同分别标号0、1、2、…、9的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码.这个随机试验共有多少种可能结果？如何表示这些结果？集合

样本空间Ω有限样本空间共有十种结果，可以用集合表示：每个结果有限集新知讲授2.有限样本空间随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示.若一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.

有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了典例分析（书229）例1

投掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为：Ω＝{正面朝上，反面朝上}.令h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则

Ω={h，t}，令1表示“正面朝上”，0表示“反面朝上”，则

Ω={1，0}.或者：样本空间的表达形式不唯一，样本点可用数字、字母、文字或者坐标表示，但是运用其他形式时要做说明.例2

投掷一枚骰(tóu)子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.解：因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6

共6个可能的基本结果，将实际情境数学化用数字i表示朝上的面的“点数为

i

”所以试验的样本空间可以表示为Ω＝{1,2,3,4,5,6}.典例分析例3

抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的

样本空间.

Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.解法1：第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x,y)表示.样本空间则可表示为典例分析学以致用教材P231写出下列各随机试验的样本空间：

(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；

(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；

(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；

(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；

(5)射击靶3次，观察中靶的次数.解：

(1)样本空间Ω＝{男,女}.

(2)样本空间Ω＝{A,B,O,AB}.

(3)样本空间Ω＝{(男,男),(男,女),

(女,男),

(女,女)}.课堂练习学以致用教材P231(4)分别用x，y，z依次表示3次射击的结果，则可用(x,y,z)表示样本点，

用1表示“中靶”，用0表示“脱靶”，

则样本空间为Ω＝{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}.(5)样本空间Ω＝{0,1,2,3}.第一次第二次第三次写出下列各随机试验的样本空间：

(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；

(5)射击靶3次，观察中靶的次数.题型一随机试验与有限样本空间复杂问题中的样本点个数可借助树状图列出(大本112）跟踪训练1写出下列试验的样本空间：(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和．(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果．

解析：(1)该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}．(2)该试验所有可能的结果如图所示，因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}．典例分析（书230）例4

如右图10.1-2，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：

M＝“恰好两个元件正常”；

N＝“电路是通路”；

T＝“电路是断路”.ACB(1)写出试验的样本空间；解：(1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态.01元件A0101元件B01010101元件C可能结果可借助树状图列出试验的所有可能结果，如下图.000001010011100101110111典例分析ACBΩ＝{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),

(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),

(0,1,1),(1,1,1)}.则样本空间为(2)用集合表示下列事件：

M＝“恰好两个元件正常”；

N＝“电路是通路”；T＝“电路是断路”.Ω＝{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.解：“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω，且x1,x2,x3中恰有两个为1，∴

M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}；“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=1，且x2,x3中至少有一个是1，∴

N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)}“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=0，或x1=1,

x2=x3=0．∴

T={(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,0,0)}．典例分析ACB教材P2312.如图，由A,B两个元件分别组成串联电路(图(1))和并联电路(图(2))，

观察两个元件正常或失效的情况.

(1)写出试验的样本空间;AB(1)BA(2)解：(1)分别用x1,

x2表示元件A,B的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，

用0表示“失效”状态，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.学以致用题型三

随机事件的表示教材P231

(2)对串联电路，

写出事件M=“电路是通路”包含的样本点;

(3)对并联电路，

写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.(2)事件M=“电路是通路”包含的样本点为(1,1).(3)事件N=“电路是断路”包含的样本点为(0,0).学以致用题型三

随机事件的表示Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.AB(1)BA(2)第十章概率一、

随机事件，必然事件，不可能事件问题2体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”也是吗？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？

新知探究（书229）

跟踪训练2

(多选)在10件同款式衣服中，有8件红色，2件白色，从中任意抽取3件，则下列事件是随机事件的是(

)A．3件都是红色B．3件都是白色C．至少有1件红色D．有1件白色答案：AD

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.

随机事件(事件)：样本空间Ω的子集.基本事件：只包含一个样本点的事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.3.随机事件的相关概念新知讲授必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.Ω为必然事件.不可能事件：在每次试验中都不会发生.

为不可能事件.3.随机事件的相关概念

必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.新知讲授必然事件：“抛一个骰子点数大于0”；“太阳每天从东边升起”.不可能事件：“一个月有32天”；“三角形内角和大于180°”.导思·拓展教材——关键能力

突出应用性学习目标三随机事件的含义

例3柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚．指出下列随机事件的含义．(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．解析：(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．(2)事件N的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．(3)事件P的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”．题后师说随机事件含义的求解策略要先理解事件中样本点的意义，观察它们的规律，进而确定随机事件的含义．跟踪训练3在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：(1)事件A＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}；(2)事件B＝{(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}；(3)事件C＝{(1，3)，(3，1)，(4，2)，(2，4)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)}．解析：(1)事件A所含的样本点中的第二个数均为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.(2)事件B所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.(3)事件C所含的样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之差的绝对值为2.导练·随堂检测——举一反三

强化实战性1．(2025·安徽六安期末)给出下列四个命题，其中正确命题的序号是(

)①“从两个白球一个红球中取两个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件；③“明天上海要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④答案：C解析：对于①，“从两个白球一个红球中取两个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确；对于②，“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件，所以②正确；对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误；对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确．故选C.2．将一枚质地均匀的正方体骰子投掷两次，得到的点数依次记为a，b.记事件N为“方程ax2＋bx＋1＝0无实数解”，则事件N中含有样本点的个数为(

)A．6

B．17C．19

D．21答案：B解析：因为方程ax2＋bx＋1＝0无实数解，所以Δ＝b2－4a<0，则N＝{(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)}，共含17个样本点．故选B.3．抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是(

)A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点答案：D解析：X＝4包括：“甲是3点，乙是1点”，“甲是1点，乙是3点”，“两颗都是2点”3个基本事件．故选D.4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是_________________________________________．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8第十章概率人教A版2019必修第二册10.1.2事件的关系和运算引入从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件．这些事件有的简单，有的复杂．我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算。探究

在掷骰子的试验中,观察骰子朝上面的点数,我们可以定义许多事件,例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6；D1

=“点数不大于3”,D2

=“点数大于3”；E1

=“点数为1或2”,E2

=“点数为2或3”；F=“点数为偶数”,G=“点数为奇数”；……

你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些事件之间的联系吗？C1={1}；C2={2}；C3={3}；C4={4}；C5={5}；C6={6}；D1={1,2,3}；D2={4,5,6}；E1={1,2}；E2={2,3};F={2,4,6};G={1,3,5};新知探究（书231）

事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件。

从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法．下面我们按照这一思路展开研究．一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）.1.包含关系记作:B

A（或A

B）G={出现的点数为奇数}={1，3，5}.例1:C1={出现1点}={1};新知讲授——一、事件的关系（书232）

如果事件C1发生，那么事件G一定发生.

集合表示：{1}

{1，3，5}，即C1

G.读：事件C1包含于事件G.图形表示：ABΩ特别的:（1）不可能事件记作：

，不可能事件包含于任何事件.

如:

C1.新知讲授——一、

事件的关系1.包含关系（2）若B

A，且A

B

，那么称事件A与事件B相等.图形表示：记作:A=BB(A)Ω若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件).1.并事件（和事件）记作:A∪B（或A+B）E2={出现的点数为2或3}={2，3};例2:E1={出现的点数为1或2}={1，2}；新知讲授——二、事件的运算（书232）图形表示：

D1={出现的点数不大于3}={1，2，3}.可以发现事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生.集合表示：{1，2}∪{2，3}={1，2，3}，即E1

∪E2=D1.称：事件D1为事件E1和事件E2的并事件.ΩAB若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在

事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件).2.交事件（积事件）记作:A∩B（或AB）E2={出现的点数为2或3}={2，3}.例3:C2={出现2点}={2};新知讲授——二、事件的运算图形表示：

E1={出现的点数为1或2}={1，2};事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生.集合表示：{1，2}∩{2，3}={2}，即E1

∩E2=C2.

称：事件C2为事件E1和事件E2的交事件.Ω例2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？解析：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.若事件A与事件B不能同时发生，也就是A∩B是一个不可能事件，即A∩B=

，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）.3.互斥事件记作:A∩B=

C4={出现4点}={4}.例4:C3={出现3点}={3};新知讲授——二、事件的运算图形表示：事件C3与事件C4不可能同时发生.集合表示：{3}∩{4}=

，即C3∩C4=

.称：事件C3与事件C4互斥.ΩAB

4.对立事件G={出现奇数点}={1,3,5}.例5:F={出现偶数点}={2,4,6};新知讲授——二、事件的运算图形表示：在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.集合表示：F∩G=

，且F∪G=

Ω.称事件F与事件G互为对立事件.ΩA

思考

“对立事件”、“互斥事件”都是指不会同时发生的事件，那么这两种事件之间的关系有什么异同呢？①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，而对立事件只针对两个事件而言.②从定义上看，

两个互斥事件就是不可能同时发生的事件；对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生.

因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件.新知讲授——二、事件的运算

答案：A解析：“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一人成功破译密码，而事件A∪B指的就是至少有一人成功破译密码．故选A.事件的关系或运算事件的关系或运算含义符合表示韦恩图包含发生导致发生或并事件(和事件)与至少一个发生或交事件(积事件)A与同时发生或互斥(互不相容)与不能同时发生互为对立与有且只有一个发生知识总结

例3某小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．解析：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1名男生与1名女生．(1)“恰有1名男生”指1名男生与1名女生，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，这两个事件都不发生，所以它们不是对立事件．(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1名男生与1名女生两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)易知“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)“至少有1名女生”包括1名男生和1名女生与2名女生两种结果，当选出的是1名男生和1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

乙甲解：

(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1,

x2)表示这个并联电路的状态.用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω

={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.典例分析（书233）

乙甲Ω

={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.典例分析(书233）(2)依题可得A={(1,0),(1,1)},

B={(0,1),(1,1)}，

A∪B表示电路工作正常，

例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；典例分析（书235）解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1,x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，Ω

={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.则试验的样本空间为例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；典例分析R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3)},R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)},R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}，N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}.例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？典例分析R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3)},R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)},R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}，N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}.R={(1,2),(2,1)},R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3)},(2)∵R⊆R1,∴事件R1包含R；∵R∩G=

,∴事件R与G互斥；∵M∪N=Ω,M∩N=

，∴事件M与N互为对立事件.例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.

(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？

事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？典例分析R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3)},R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)},R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}，(3)R∪G={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}=MR1∩R2={(1,2),(2,1)}=R.教材P2351.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至