高中数学第六章　§6.3　习题课　平面向量数量积的综合应用

习题课平面向量数量积的综合应用学习目标1.掌握平面向量数量积的计算、向量垂直的条件与数量积的性质.(难点)2.重视数形结合与转化化归思想的考查.导语平面向量的数量积运算是高考考查的热点.其中，平面向量数量积的计算与性质应用，向量垂直的充要条件等内容，常以客观题形式考查.解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、逻辑推理和直观想象等核心素养.一、平面向量数量积的计算及应用例1如图，在△ABC中，∠ABC=90°，F为AB的中点，CE=3，CB=8，AB=12，则EA·EB等于()A.-15 B.-13 C.13 D.15答案C解析方法一(基底法)∵∠ABC=90°，F为AB的中点，CB=8，AB=12，∴FA=FB=6，∴CF=FB2又CE=3，∴EF=CF-CE=7，∴EA·EB=(EF+FA)·(EF+FB)=(EF+FA)·(EF-FA)=EF2-=49-36=13.方法二(坐标法)建立如图所示的平面直角坐标系，则A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(6，0).在Rt△CBF中，CF=CB2又CE=3，所以CE=310CF，即FE=710则BE=BF+FE=BF+7=(6，0)+710(-6，8)=9同理AE=-51所以EA=515，-285则EA·EB=515×-95反思感悟平面向量数量积的运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b=|a||b|cosθ(θ为非零向量a，b的夹角).(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.(3)如果向量的模和夹角以及坐标都未知时，可以选择合适的基底或建立坐标系，转化为上述两类问题去解决.提醒：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.跟踪训练1(1)已知向量a，b满足|a|=2，b=(3，-3).①若a与b同向，求a的坐标；②若|a-2b|=27，求a与b的夹角.解①因为a与b同向，设a=kb(k>0)，因为b=(3，-3)，所以|b|=(3)2所以k=|a||则a=33(3，-3)=(1，-②因为|a-2b|=27，所以(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=28.又|a|=2，|b|=23，所以|a|2-4a·b+4|b|2=4-4a·b+4×12=28，所以a·b=6.设a与b的夹角为θ，则cosθ=a·b|a||又θ∈[0，π]，则θ=π6所以a与b的夹角为π6(2)在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，若点M，N分别是CD，BC的中点，则ND·MN等于()A.-12 B.-94 C.-3答案B解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，1)，M(1，1)，N2，所以ND=-2，12，MN=1，-12，故ND·MN=(-2)×二、平面向量的数量积与三角函数的综合问题例2已知向量a=(sinx，cosx)，b=(3，-1)，x∈[0，π].(1)若a⊥b，求x的值；(2)记f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)因为a⊥b，所以a·b=3sinx-cosx=0，于是tanx=sinxcosx又x∈[0，π]，所以x=π6(2)f(x)=a·b=(sinx，cosx)·(3，-1)=3sinx-cosx=2sinx-因为x∈[0，π]，所以x-π6∈-从而-1≤2sinx-π6于是，当x-π6=π2，即x=f(x)取到最大值2；当x-π6=-π6，即xf(x)取到最小值-1.反思感悟平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解.跟踪训练2已知a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a-b|=2，求证：a⊥b；(2)设c=(0，1)，若a+b=c，求cos(α-β)的值.(1)证明由题意得|a-b|2=2，即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2，又因为a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，所以2-2a·b=2，即a·b=0，故a⊥b.(2)解因为a+b=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)=(0，1)，所以cos由①得cosα=cos(π-β)，由0<β<α<π，得0<π-β<π，又0<α<π，故α=π-β，代入②可得sinα=sinβ=12，而α>β所以α=5π6，β=π所以cos(α-β)=cos5π6-π6=cos三、利用向量的数量积证明例3用向量法证明公式：sin2α=2sinαcosα.证明如图，在平面直角坐标系Oxy中，作单位圆O，令单位圆与x轴正半轴交点为A，以x轴的非负半轴为始边作角α，2α，使它们的终边与单位圆分别交于点C和点B，连接AB交OC于点M，则OC=(cosα，sinα)，OB=(cos2α，sin2α)，∵OA=OB=1，∠AOC=∠BOC=α，∴OM⊥AB，AM=BM，∴AB=2AM=2sinα，取与y轴平行的单位向量为j，∴j·OB=sin2α，∵OB=OA+AB，∴j·OB=j·(OA+AB)=j·OA+j·AB=j·AB=|j||AB|cosπ=|AB|cosα=2sinαcosα，∴sin2α=2sinαcosα.反思感悟(1)运用向量工具进行探索证明可使证明过程简洁明了.(2)一般地，若角α的终边与单位圆的交点为P，则P点坐标为(cosα，sinα)，从而OP=(cosα，sinα).跟踪训练3在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(2，0)，B(10，0)，C(11，3)，D(10，6).(1)①证明：cos∠ABC+cos∠ADC=0；②证明：存在点P，使得PA=PB=PC=PD，并求出P点的坐标；(2)若点E在四边形ABCD的四条边上运动，且CE将四边形ABCD分成周长相等的两部分，求点E的坐标.(1)①证明因为A(2，0)，B(10，0)，C(11，3)，D(10，6)，所以BA=(-8，0)，BC=(1，3)，DA=(-8，-6)，DC=(1，-3)，得cos∠ABC=BA·BC|BA||cos∠ADC=DA·DC|DA||所以cos∠ABC+cos∠ADC=0.②证明由PA=PB=PC=PD知，点P为四边形ABCD外接圆的圆心.因为AB=(8，0)，BD=(0，6)，AC=(9，3)，CD=(-1，3)，所以AB·BD=0，AC·CD=0，所以AB⊥BD，AC⊥CD，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，所以点P的坐标为(6，3)，即存在点P，使得PA=PB=PC=PD，得证.(2)解易得AB=8，BC=CD=10，AD=10.因为CE将四边形ABCD分成周长相等的两部分，则点E在AD上，且ED=9AE.设点E的坐标为(x，y)，则ED=(10-x，6-y)，AE=(x-2，y)，所以10-x=9(故点E的坐标为1451.知识清单：(1)平面向量数量积的计算及应用.(2)平面向量的数量积与三角函数的综合问题.(3)利用平面向量数量积证明.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：向量的夹角大小.1.已知a=(m，1)，b=(2，6+m)，a⊥b，则|a-b|等于()A.7 B.10 C.25 D.5答案D解析∵a⊥b，∴a·b=2m+6+m=0，∴m=-2，∴a-b=(-4，-3)，∴|a-b|=5.2.在△ABC中，AB=4，AC=2，点M是边BC的中点，则BC·AM的值为()A.-6 B.6 C.-8 D.8答案A解析因为在△ABC中，点M是边BC的中点，所以AM=12(AB+因为BC=AC-AB，AB=4，AC=2，所以BC·AM=(AC-AB)·12(AB=12(AC2-AB2)=12×3.如果平面向量a=(2，1)，b=(1，3).那么下列结论中正确的是()A.|b|=3|a|B.a∥bC.a与b的夹角为πD.a在b上的投影向量的模为10答案D解析对于A，|a|=4+1=5，|b|=1+9=10，则|b|≠3|a|，A错误；对于B，2×3≠1×1，则a，b不平行，B错误；对于C，cos〈a，b〉=a·b|a||b|=2×1+1×35×10=22，又〈a，b〉∈对于D，a在b上的投影向量的模为a·b|b|=2×1+1×3104.已知向量a=(cosx，sinx)，b=(3，-3)，x∈[0，π]，若f(x)=a·b，则f(x)的取值范围为.答案[-23，3]解析f(x)=a·b=(cosx，sinx)·(3，-3)=3cosx-3sinx=23cosx+因为x∈[0，π]，所以x+π6∈π从而-1≤cosx+π6则当x+π6=π6，即x=0时，f(x)取得最大值当x+π6=π，即x=5π6时，f(x)取得最小值-2则f(x)的取值范围为[-23，3].课时对点练[分值：80分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知向量a=(1，3)，|b|=5，且a与b的夹角θ=π4，则|a-2b|等于(A.5 B.25 C.10 D.210答案C解析因为a=(1，3)，则|a|=1+9=10，所以(a-2b)2=|a|2+4|b|2-4a·b=10+4×5-4×10×5×22=10所以|a-2b|=10.2.向量a=(1，3)，b=(3，1)，则向量a+b与a-b的夹角为()A.π12 B.π6 C.π答案D解析设a+b与a-b的夹角为θ，∵a=(1，3)，b=(3，1)，∴a+b=(1+3，1+3)，a-b=(1-3，3-1)，则|a+b|=6+2，|a-b|=6-2，∴cosθ=(a+b)∵0≤θ≤π，∴θ=π23.在直角梯形ABCD中，AB=8，CD=4，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则AB·(AC+AE)等于()A.32 B.48 C.80 D.64答案C解析过点C作CF⊥AB于点F(图略)，则AF=12AB=4所以ACcos∠CAB=AF，则AB·AC=|AB||AC|cos∠CAB=|AB||AF|=8×4=32.同理可得AB·AE=8×6=48，所以AB·(AC+AE)=AB·AC+AB·AE=32+48=80.4.设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量OA与OC的夹角为()A.π3 B.π4 C.π答案B解析∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=CB，即(4-0，2-0)=(a-2，8-a)，∴a=6，∴OA=(4，2)，OC=(2，6)，设向量OA与OC的夹角为θ，则cosθ=OA·OC|OA||又θ∈(0，π)，∴OA与OC的夹角为π45.已知向量AB=12，32，|AC|=5，且AB·BC=3，则|BC|A.3 B.32 C.4 D.42答案B解析设A(0，0)，C(x，y)，则AC=(x，y)，则BC=AC-AB=(x，y)-1=x-∵AB·BC=3，∴12x-1即x+3y=8. ①又∵|AC|=5，∴x2+y2=25. ②|BC|=x=x2将①②代入上式解得|BC|=25-8+1=32.6.设P(x1，y1)和Qx2，y2是以原点O为圆心的单位圆上的两个点，∠POQ=θ，且π2<θ<π，sinθ+π4=210，则x1x2A.-45 B.-35 C.3答案B解析∵π2<θ<π，sinθ+π∴θ+π4∴cosθ+π4∵OP=x1，y1，OQ=x2，y2，∴OP·OQ=x1∵Px1，y1和Q∴|OP|=|OQ|=1，∴OP·OQ=|OP||OQ|cosθ=cosθ，∴x1x2+y1y2=cosθ，又cosθ=cosθ=cosθ+π4cosπ4+sin=-7210×22+=-35，∴x1x2+y1y2=cosθ=-3二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列四个命题为真命题的是()A.若向量a=1，2，b=-2，-4，则B.向量a=3，4在b=1C.与向量(1，1)共线的单位向量为2D.若向量a=cosα，sinα，b=2，答案ABD解析对于A，因为b=-2，-4=-21，2=-2a，所以a与对于B，向量a=3，4在b=1，0上的投影向量为a·bb2·对于C，与向量1，1共线的单位向量为22，2对于D，若向量a=cosα，sinα，则a-b=cosα-22+sinα-12其中cosφ=255，sinφ=当且仅当α-φ=π+2kπ，k∈Z时，a-b取得最大值5+1，故D8.如图，正方形ABCD的边长为2，动点P在正方形内部及边上运动，AP=λAB+μAD，则下列结论正确的是()A.点P在线段BC上时，AB·AP为定值B.点P在线段CD上时，AB·AP为定值C.λ+μ的最大值为2D.使λ+2μ=12的点P的轨迹的长度为答案AC解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，设点P(x，y)(0≤x≤2，0≤y≤2)，则AB=(2，0)，AD=(0，2)，AP=(x，y)，AB·AP=2x，当点P在线段BC上时，x=2，则AB·AP=2x=2×2=4为定值，故A正确；当点P在线段CD上时，x不是定值，AB·AP=2x不是定值，故B错误；由AP=λAB+μAD得，(x，y)=λ(2，0)+μ(0，2)=(2λ，2μ)，则λ=x2，μ=y2，所以λ+μ=12(x+y)，故当x=y=2，即点P与点C重合时，λ+μ取得最大值2，故C正确；由λ+2μ=12得，x2+y=12，而y=-x2+12的图象交x轴于点E(1，所以使λ+2μ=12的点P的轨迹为线段EF，且EF=12+122三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知sin(α+β)=13，向量a=(sinα，sinβ)，b=(cosβ，cosα)，则a·b=答案1解析a·b=sinαcosβ+sinβcosα=sin(α+β)=1310.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且对一切实数x，|a+xb|≥|a+b|恒成立，则a，b的夹角为.答案2π解析∵∀x∈R，|a+xb|≥|a+b|恒成立，∴∀x∈R，(a+xb)2≥(a+b)2恒成立.又|a|=2，|b|=1，设a与b的夹角为θ，∴a2+x2b2+2xa·b≥a2+b2+2a·b对x∈R恒成立