高中数学第七章　§7.2　7.2.2　复数的乘、除运算

7.2.2复数的乘、除运算学习目标1.掌握复数代数形式的乘、除运算，并理解复数乘法的运算律.(重点)2.会在复数范围内解方程.3.了解in的周期性.导语两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？一、复数乘法的运算法则和运算律问题1类比多项式的乘法，我们该如何定义两个复数的乘法呢？提示复数的乘法法则如下：设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.问题2类比实数乘法的运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想.提示猜想：对于任意z1，z2，z3∈C，有：(1)交换律：z1z2=z2z1；(2)结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)；(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i.(1)∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i，且a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1，∴z1z2=z2z1.(2)∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可得：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]=[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i，z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i，∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.知识梳理1.复数的乘法法则设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2=z2z1结合律(z1z2)z3=z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3例1(课本例4)计算：(1)(2+3i)(2-3i)；(2)(1+i)2.解(1)(2+3i)(2-3i)=22-(3i)2=4-(-9)=13.(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.例1计算下列各题.(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2；(2)(2-i)(2+11i)(3-4i).解(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2=1-i2+4+4i+i2=5+4i.(2)(2-i)(2+11i)(3-4i)=(4+22i-2i-11i2)(3-4i)=(15+20i)(3-4i)=5(3+4i)(3-4i)=5×(9+16)=125.反思感悟(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤①首先按多项式的乘法展开；②再将i2换成-1；③然后再进行复数的加、减运算.(2)常用公式①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a，b∈R)；②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R)；③(1±i)2=±2i.跟踪训练1(1)计算：(1-i)2-(2-3i)(2+3i)等于()A.2i-13 B.13+2iC.13-2i D.-13-2i答案D解析(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.(2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A.(-∞，1) B.(-∞，-1)C.(1，+∞) D.(-1，+∞)答案B解析因为(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i，所以它在复平面内对应的点为(a+1，1-a)，又此点在第二象限，所以a解得a<-1.二、复数代数形式的除法运算问题3类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？提示复数除法的法则：(a+bi)÷(c+di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(a，(1)求解过程：设复数a+bi(a，b∈R)除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi.∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i，∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等，可知cx解这个方程组，得x于是有(a+bi)÷(c+di)=ac+bdc(2)实际计算中一般采用下面的方法：利用(c+di)(c-di)=c2+d2，将a+(a+bi)÷(c+di)=a+b=[ac=(=ac+bdc∴(a+bi)÷(c+di)=ac+bdc知识梳理复数除法的法则是：(a+bi)÷(c+di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(a，复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型，则分子、分母同乘a-bi；若分母为a-bi型，则分子、分母同乘a+bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数.例2(课本例5)计算(1+2i)÷(3-4i).解(1+2i)÷(3-4i)=1+2i=(1+2i)(3+4i)(3-4i)(3+4i)==-5+10i25=-15+例2(1)(2025·全国Ⅱ卷)已知z=1+i，则1z-1等于(A.-i B.i C.-1 D.1答案A解析1z-1=11+i-1=1(2)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为()A.3+5i B.3-5iC.-3+5i D.-3-5i答案A解析∵z(2-i)=11+7i，∴z=11+7i2-i=(11+7i)(2+i)(2-i)(2+i)=3+5i.反思感悟复数的除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.跟踪训练2设复数z满足1+z1-z=i，则|z|等于A.1 B.2 C.3 D.2答案A解析由1+z1-z=i得1+z=i(1-即z=-1+i1+i=(-1+i)(1-i)(1+i)(1-i)=-(1-i|z|=1.三、在复数范围内解方程例3(1)(课本例6)在复数范围内解下列方程：①x2+2=0；②ax2+bx+c=0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ=b2-4ac<0.解①因为(2i)2=(-2i)2=-2，所以方程x2+2=0的根为x=±2i.②将方程ax2+bx+c=0的二次项系数化为1，得x2+bax+c配方，得x+b2即x+b2由Δ<0，知-(b2-4ac)(2a)2=-Δ所以原方程的根为x=-b2a±例3(1)设z1，z2是方程x2+x+1=0在复数范围内的两个解，则()A.|z1-z2|=2B.|z1|=2C.z1+z2=1D.z1z2=1答案D解析由方程x2+x+1=0得，Δ=1-4=-3<0，由求根公式得x=-1±3不妨设z1=-12+32i，z2=-12|z1-z2|=|3i|=3，A错误；|z1|=-=-122+z1+z2=-1，C错误；z1z2=1，D正确.(2)已知1+i是方程x2+bx+c=0(b，c为实数)的一个根.①求b，c的值；②试判断1-i是不是方程的一个根.解①∵1+i是方程x2+bx+c=0的根，且b，c为实数，∴(1+i)2+b(1+i)+c=0，即b+c+(2+b)i=0，∴b+c②由①知方程为x2-2x+2=0，把1-i代入方程，左边=(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边，即方程成立.∴1-i是方程的一个根.延伸探究若将例3(2)条件中的“1+i”改为“1+ai”，判断a与c之间的关系.解因为实系数复数方程的两根互为共轭复数，所以另一根为1-ai，所以(1+ai)(1-ai)=c，即1+a2=c.故a与c之间的关系为1+a2=c.反思感悟解决复数方程问题的方法(1)与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ>0”不再适用.(2)实系数复数方程的两根互为共轭复数.四、in的周期性及其应用例4已知i是虚数单位，复数z=4i(1-i)2+i2027在复平面内所对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析因为z=4i(1-i)2+i2027=4i-2i+(i4)506·i3=-2-i，所以复数z在复平面内所对应的点的坐标为(-2，反思感悟in的周期性中常用结论i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*).跟踪训练3已知复数z满足z(1+i)=i2025，则复数z的共轭复数z等于()A.-12+12C.-i D.12-1答案D解析因为i2025=i4×506+1=(i4)506·i=i，所以z=i1+i=i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i2=12故z=12-11.知识清单：(1)复数的乘法及运算律.(2)复数的除法运算.(3)在复数范围内解方程.(4)in的周期性.2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法.3.常见误区：分母实数化时忽视i2=-1造成运算错误.1.(2025·全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为()A.-1 B.0 C.1 D.6答案C解析因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1.2.(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i3(1+i)2 B.i2(1-i)2 C.1+i1-i D.答案BC解析A项，i3(1+i)2=-i·2i=2，故错误；B项，i2(1-i)2=-1·(-2i)=2i，故正确；C项，1+i1-i=(1+i)22D项，1-i1+i2=(1-i)2(1+i)3.方程x2+3=0在复数范围内的解为x=.答案±3i解析∵(3i)2=(-3i)2=-3，∴方程的解为x=±3i.4.计算：(1)1-i216+(1+2i)2=(2)1i+1i3+1i5+答案(1)-2+4i(2)0解析(1)原式=1-i228+=-2i28-3+4i=(-i)(2)∵1i=-i，1i3=i，1i5∴原式=-i+i-i+i=0.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.若复数z=(1-i)(2+i)(i为虚数单位)，则z的虚部为()A.-1 B.-i C.-2 D.1答案A解析因为z=(1-i)(2+i)=2+i-2i-i2=3-i，所以z的虚部为-1.2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2等于()A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i答案A解析由于z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2=-2+i，则z1z2=(2+i)(-2+i)=-1-4=-5.3.在复平面内，复数i1+i+(1+3i)2对应的点位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析因为i1+i+(1+3i)2=i(1-i)(1+i)(1-i)+(1+3i)2=12+12i+1-3+23i=-3故该复数对应的点在第二象限.4.已知复数z满足z=(1+i)2(2+3i)，其共轭复数为z，则z·z等于()A.52 B.20 C.-6+4i D.1-i答案A解析z=(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i，则z=-6-4i，所以z·z=(-6+4i)(-6-4i)=52.5.若复数z和其共轭复数z满足z+z=6，z·z=10，则z等于()A.1±3i B.3±i C.3+i D.3-i答案B解析设z=a+bi(a，b∈R)，则z=a-bi，由题意得2a=6,a2∴z=3±i.6.(多选)设复数z满足z+3z-1=-i，则下列说法正确的是A.z为纯虚数B.在复平面内，z对应的点位于第三象限C.z的虚部为2iD.|z|=5答案BD解析由z+3z得z=-3+i1+i=(-3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=-1+2i，故A错误；z的虚部为2，故|z|=(-1)2+22z=-1-2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限，故B正确.7.已知复数z满足(z-1)(1+2i)=-2+i，则|z|等于()A.2 B.22 C.2 D.1答案A解析由(z-1)(1+2i)=-2+i得(z-1)(1+2i)(1-2i)=(-2+i)(1-2i)，即5(z-1)=-2+2+5i，z-1=i，z=1+i，即|z|=12+18.(5分)若复数z=a1-2i+i(i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数，则实数a=答案-5解析z=a1-2i+i=a=a5+2由题意，知a5+2a5+1=0，解得9.(5分)定义一种运算：abcd=ad-bc.答案-1-3i解析1+i-123i=3i(1+i∴其共轭复数为-1-3i.10.(10分)计算：(1)(-1+i)(2+i)i3；(3(2)(1+2i)2+3(1-i)2+i(3)1+i1-i6+2+解(1)(-1+i)(2+i)i3=(2)(1+2i)2=i2+i=i(2-i)5=15(3)1+i1-i6=(1+i)226+11.已知i是虚数单位，复数z=i20241-i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析因为z=i20241-i=11-i=1+i(1-i)(1+i)=1+i2=所以其共轭复数z=12-12i，所以z在复平面内对应的点为112.(多选)已知集合P={x|x2+1=0，x∈C}，Q={y|y=ix，x∈N*，i是虚数单位}，下列结论中成立的是()A.P⊆Q B.P⊇QC.P∩Q=P D.(P∪Q)⊆C答案ACD解析由题意知P={i，-i}，Q={1，-1，i，-i}，则P