高中数学第十章　§10.1　10.1.3　古典概型

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期10.1.3古典概型学习目标1.理解古典概型的概念及特点，会判断古典概型.2.掌握古典概型概率公式，能利用公式解决简单的概率计算问题.(重点、难点)3.对有放回简单随机抽样、无放回简单随机抽样的概率与统计知识的综合运用.(难点)导语研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？本节课我们就来学习一下！一、古典概型的定义问题1我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？提示样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.知识梳理一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.则称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.例1下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.解(1)不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾.(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每个样本点发生的可能性相等”矛盾.(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.反思感悟判断某个概率模型是否为古典概型，要看其是否具备古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，如果具备，则是古典概型；若不具备，则不是古典概型.跟踪训练1(多选)下列试验中是古典概型的是()A.抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1个球C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点D.射击运动员向一靶心进行射击，观察其环数答案AB解析选项A，正面和反面出现的概率相同，是古典概型；选项B，每个球被抽到的概率相等，是古典概型；选项C，样本点有无限个，不是古典概型；选项D，命中10环，9环，…，0环的概率不等，不是古典概型.二、古典概型概率的计算问题2在掷骰子的试验中，记事件A为“点数为偶数”，事件A包含哪些样本点？事件A发生的概率是多少？提示A={2，4，6}.对于掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P(A1)=P(A2)=…=P(A6)，又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=P(必然事件)=1，所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=16，P(A)=36=知识梳理一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=kn=n例2(1)(课本例7)单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？解试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω={A，B，C，D}.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n(M)=1.所以考生随机选择一个答案，答对的概率P(M)=14(2)(课本例8)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.①写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；②求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；B=“两个点数相等”；C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.解①抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间Ω={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.②因为A={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，所以n(A)=4，从而P(A)=n(A)n(因为B={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，所以n(B)=6，从而P(B)=n(B)n(因为C={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，所以n(C)=15，从而P(C)=n(C)n(例2一个口袋内装有大小相同的1个白球和3个黑球，从中随机摸出2个球.求：(1)样本空间中样本点的总数n；(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；(3)摸出2个黑球的概率.解(1)将3个黑球编号为A1，A2，A3，白球编号为B，则从装有4个球的口袋内随机摸出2个球，样本空间Ω={A1A2，A1A3，A1B，A2A3，A2B，A3B}，共6个样本点，所以n=6.(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点有A1A2，A2A3，A1A3，共3个样本点.(3)因为样本点的总数n=6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数为3，故P=36=12，即“摸出2个黑球”的概率为反思感悟在求古典概型的概率时，若事件可以表示成集合的形式，则可以用列举的方式把样本点一一列出来，注意做到不重不漏，有时也可以借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.跟踪训练2某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求事件的概率P=315=1(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.其中包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率P=29三、“放回”与“不放回”问题例3(课本例9)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到红球”；(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”.解将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表所示.第一次第二次123451×(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)2(2，1)×(2，3)(2，4)(2，5)3(3，1)(3，2)×(3，4)(3，5)4(4，1)(4，2)(4，3)×(4，5)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)×(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)，即A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}.所以P(A)=820=2(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1，2列)，即B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，所以P(B)=820=2(3)事件AB包含2个可能结果，即AB={(1，2)，(2，1)}，所以P(AB)=220=1例3班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下三种方案可供选择：方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案二：依次不放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品.(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；(2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由.解(1)记“摸到1，2，3号红球”分别为事件A1，A2，A3，“摸到4，5号黄球”分别为事件B1，B2，则按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个；按方案二依次不放回地抽取2个球的所有样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A1)，(A3，A2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，A1)，(B1，A2)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B2，A1)，(B2，A2)，(B2，A3)，(B2，B1)，共20个.(2)方案一中，记事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”，则由(1)知事件A包含(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共4个样本点，故P(A)=410=2方案二中，记事件B表示“依次不放回地抽取的2个球颜色相同”，则由(1)知事件B包含(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A3，A1)，(A3，A2)，(B1，B2)，(B2，B1)，共8个样本点，故P(B)=820=2方案三中，设两次抽取的球所标的数字分别为x，y，则用数组(x，y)表示所有可能的样本点如表，共25个样本点，(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)在方案三中，记事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”，则事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15个样本点，故P(C)=1525=35.因为P(A)=P(B)<P(C反思感悟抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响.另外，不放回抽取看作无序或有序抽取均可，有放回抽取要看作有序抽取.跟踪训练3从数字1，2，3，4中，若是有放回地取出两个数字，则其和为奇数的概率为；若是不放回地一次性取出两个数字，其和为奇数的概率为.

答案12解析有放回地取出两个数字的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点，和为奇数包含的样本点有(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，共8个，故所求概率P1=816=1不放回地一次性取出两个数字的样本空间为{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个样本点，和为奇数包含的样本点有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个，故所求概率P2=46=21.知识清单：(1)古典概型.(2)古典概型的概率公式.(3)“放回”与“不放回”问题.2.方法归纳：列举法、列表法、树状图法.3.常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.1.下列试验中是古典概型的是()A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案D解析A，B两项中的样本点的出现不是等可能的，故A，B不是；C项中样本点的个数有无限多个，故C不是；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个，故D是.2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是()A.0.02 B.0.05C.0.1 D.0.9答案C解析由题意知，该题是一个古典概型，因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型的概率公式求得概率是5503.从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为()A.310 B.C.35 D.答案C解析根据题意，从六张卡片中无放回地随机抽取两张的样本空间Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共15个样本点，其中抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的样本点有(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，6)，(5，6)，共9个，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率P=915=34.从a，b，c，d四名学生中任选两名去参加不同的活动，则选到学生a的概率为.

答案1解析所有样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个.其中选到学生a的样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，共3个，所以所求事件的概率P=12课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.下列是古典概型的是()A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C.从甲地到乙地有A1，A2，A3，…，An共n条路线，求某人选中A1路线的概率D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点答案C解析A项中由于点数之和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点不是有限个，故D不是古典概型.2.有两人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率是()A.15 B.C.16 D.答案B解析由题意知两人各有5种不同的选择，故共有5×5=25(个)样本点，而两人在同一层离开含有5个样本点，则两人在不同层离开含有20个样本点，则这两人在不同层离开电梯的概率为2025=43.已知x∈{1，2，3，4}，y∈{1，2，3}，则x，y满足x+y=5的概率为()A.13 B.C.16 D.答案B解析所有的样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12个.满足x+y=5的样本点有(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3个，所以所求事件的概率P=312=14.(多选)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的有()A.“出现点数为奇数”的概率等于“出现点数为偶数”的概率B.只要连掷6次，一定会“出现1点”C.投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大D.连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19答案AD解析掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是12，故A正确；“出现1点”是随机事件，故B错误；概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C错误；连续掷3次，若每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D正确5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中有2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为()A.25 B.C.925 D.答案D解析设2个红球为A，B，3个黄球为c，d，e，从中有放回地依次随机摸出2个球，样本空间为Ω={AA，AB，Ac，Ad，Ae，BA，BB，Bc，Bd，Be，cA，cB，cc，cd，ce，dA，dB，dc，dd，de，eA，eB，ec，ed，ee}，则n(Ω)=25，设事件M=“这2个球同色”，则M={AA，AB，BA，BB，cc，cd，ce，dc，dd，de，ec，ed，ee}，则n(M)=13，由古典概型的概率公式，可得P(M)=13256.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图所示，八卦图包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为()A.18 B.C.38 D.答案C解析由题意知，样本点总数为8，其中恰有两个阳爻包含的样本点有3个，则恰有两个阳爻的概率为387.先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成钝角三角形的概率是()A.16 B.C.1336 D.答案D解析要使a，b，4能够构成钝角三角形，则a，b，4需要满足a2+b2<42或a2+42<b2或42+b2<a2，且能够满足三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.由题意可得样本点的总数是36，结合上述条件可知，当a=1时，b均不符合要求，有0种情况；当a=2时，b=3，5符合要求，有2种情况；当a=3时，b=2，6符合要求，有2种情况；当a=4时，b=6符合要求，有1种情况；当a=5时，b=2符合要求，有1种情况；当a=6时，b=3，4符合要求，有2种情况，所以a，b，4能构成钝角三角形共有8种情况.故a，b，4能够构成钝角三角形的概率为836=28.(5分)现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是.

答案1解析将这三张卡片随机排序，可得中国梦，中梦国，国中梦，国梦中，梦中国，梦国中，共6个样本点，能组成“中国梦”的有1个样本点，故能组成“中国梦”的概率为169.(5分)小颖和小星在玩抽卡游戏，规则如下：桌面上放有5张背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有两种颜色的图案，其中一张为紫色，其余为蓝色.现将这些卡牌背面朝上放置，小颖和小星轮流抽卡，每次抽一张卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色图案的卡牌停止抽卡.若小颖先抽卡，则小星抽到紫卡的概率为.

答案2解析按照规则，两人依次抽卡的所有情形如下表所示，小颖小星小颖小星小颖情形一紫情形二蓝紫情形三蓝蓝紫情形四蓝蓝蓝紫情形五蓝蓝蓝蓝紫其中情形二和情形四为小星最终抽到紫卡，则小星抽到紫卡的概率为2510.(10分)某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置结果互相不受影响.(1)共有多少种不同的放法？请列举出来；(5分)(2)求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率.(5分)解(1)共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶包含的样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)，(2，1，3)，(3，1，2)，(3，2，1).(2)设所求事件为A，则A包含有(2，3，1)，(3，1，2)两个样本点，并且每个样本点的发生是等可能的，故P(A)=26=111.如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为()A.310 B.C.110 D.答案B解析由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20-14=6.从1，2，3，4，5中任取两个数字的所有样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，而其中数字之和为6的样本点有(1，5)，(2，4)，共2个，所以所求概率P=210=112.(多选)从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是()A.“至少有一个红球”的概率为5B.“恰有一个黑球”的概率为2C.“一个红球和一个黑球”的概率为1D.“两个都是红球”的概率为1答案ABD解析A选项，设2个红球为a，b，2个黑球为A，B，任取2个小球，则包含的样本点有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(A，B)，共6个，所以“至少有一个红球”包含的样本点有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，共5个，故“至少有一个红球”的概率为56，AB选项，“恰有一个黑球”包含的样本点有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，共4个，故“恰有一个黑球”的概率为23，BC选项，“一个红球和一个黑球”包含的样本点有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，共4个，故“一个红球和一个黑球”的概率为23，CD选项，“两个都是红球”包含的样本点有(a，b)，故“两个都是红球”的概率为16，D正确13.(5分)抛掷一个质地均匀的正方体玩具(各面上分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字)，则落地时向上的点数是2的倍数的概率为，落地时向上的点数是奇数的概率为，落地时向上的点数不小于5的概率为，落地时向上的点数大于2的概率为，落地时向上的点数最大或最小的概率为.

答案121213解析记五种情形分别为事件A，B，C，D，E，则P(A)=36=12，P(B)=36P(C)=26=13，P(D)=46P(E)=26=114.(13分)从2名男生(记为B1和B2)和3名女生(记为G1，G2和G3)组成的总体中，任意依次抽取2人.(1)若为不放回地简单随机抽样，求抽到的2人为1名男生和1名女生的概率；(6分)(2)若为有放回地简单随机抽样，求抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.(7分)解(1)从5人中，不放回地任意依次抽取2人的所有可能结果为(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B1，G3)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B2，G3)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G1，G3)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，