2025-2026学年《5.3正方形》同步练习题浙教版八年级数学下册 含答案

/2025-2026学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步自主达标测试题一、单选题（满分24分）1．已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形ABCD是正方形的是（A．∠OAB+∠ABOC．AB=AC 2．如图：正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（

）A．AC⊥BD B．∠DAC=∠BAC 3．如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点，DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为（A．25 B．35 C．44．如图，在正方形ABCD中，点M在对角线AC上，连接BM并延长交AD于点N，连接DM，若∠ADM=28°，则∠DMNA．34° B．32° C．30° D．28°5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AC，AE，则∠EAC的度数为（A．30° B．35° C．20° D．15°6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标为A−2,0，B2,m，D0,nA．13 B．20 C．25 D．347．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成为图1所示的图形，并测得∠B=60°，对角线AC=10cm，接着调整学具成为图2所示的图形，测得A．10cm B．102cm C．108．如图，在△ABC中，BC=12，AM⊥BC于点M，交GE于点N，AM=3，四边形ABFG和ACDE都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：（1）∠BAE=∠GAC；（2）若连接BE，CG，则A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（满分24分）9．若正方形对角线的长为32cm，则面积为___________10．如图，在▱ABCD中，AC=BD．再添加一个条件，就能判定四边形ABCD11．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为144，AE=13，则DE12．如图，等边△AEF的顶点E,F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，则∠AEB13．如图，已知正方形ABCD的边长为8，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则14．如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接EF，BD，则15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE,OF分别交正方形的边AB、BC于点M、N．记△AOM的面积为S1,△16．如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=8，E为BC中点，G为AB上动点且GF⊥CD，连接AF、GE，则三、解答题（满分72分）17．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接CE、DF．求证：∠BEC18．（8分）如图，点E是正方形纸张ABCD对角线BD上一点DE>(1)请用圆规在BD上取点F，使得DF=(2)连接AF,CF，结合（1）中画的DF=19．（6分）如图，在正方形ABCD内部取一点E，连接AE、BE，使∠AEB=90°．将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AE′，连接E′D，延长E′D20．（8分）如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且BE=(1)求证：四边形EFMN是正方形．(2)若AB=7，AE=3，求四边形21．（8分）如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE翻折至△AD′E，延长E(1)求证：BF=(2)若AB=15，DE=10，则22．（8分）已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图放置，使点E在BC上，取DF的中点G(1)请添加一条辅助线，构造一个和△FEG(2)探索EG、CG的数量关系和位置关系，并证明．23．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，G是边BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交(1)求证：AE=(2)连接DF，CE，探究线段DF与CE的关系并证明．24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，(1)已知四边形ABCD是正方形．①如图1，E，F分别是边BC，CD上的点，则线段BE，DF和EF之间的数量关系为______．②如图2，点E，F分别在CB，DC的延长线上，则线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并证明．(2)如图3，∠ABC+∠ADC=180°，E，F分别是边25．（10分）【问题呈现】已知正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，点E在BC的延长线上，连接EF．（1）如图1，连接CF，若AB=3CE=6【类比探究】（2）如图2，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，点G在边AB上，FE⊥FG，若AB=6，DF【拓展运用】（3）如图3，将EF绕点F逆时针旋转90°得到FG，连接EG交CD于点H，试探索BE、DF满足怎样的数量关系时，点H恰为GE的中点；答案1．解：如图，

A、由菱形ABCD可得AC⊥BD，那么∠OABB、由菱形ABCD可得∠BCA=∠DCAC、AB=AC不能判定菱形D、由菱形ABCD可得AC⊥BD，而OA=OD，则∠OAD故选：D．2．D【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，∠DAC∴AD>∴说法不正确的只有D选项，故选：D．3．B【分析】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由正方形的性质得出∠DAF=∠B=90°，BC=AB=AD=6，由E【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF=∠B∴∠AFD∵E是BC的中点，∴BE=3∴AE=∵DF⊥∴∠AFD∴∠ADF∴△ADF∴DF=故选：B．4．A【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由正方形的性质可推出∠CDM的度数，再证明△BCM≌△DCMSAS【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴∠CDM又∵CM=∴△BCM∴∠CBM∴∠BND∴∠DMN故选：A．5．A【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决此题的关键是判断出△ADE是等腰三角形；根据正方形和等边三角形的性质，得到AD=DE，判断出△【详解】解：∵在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE∴AD=∴∠ADE∵AD=∴∠DAE∴∠EAC故选：A．6．B【分析】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明△AOD≌△BMAAAS是关键．过点B作BM⊥x轴于点M，证明△AOD【详解】解：过点B作BM⊥x轴于点∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∴∠DAO∴∠DAO∵∠AOD∴△AOD∴OA∵正方形ABCD的顶点坐标为A−2,0，B∴OA∴OD∴A∴即正方形ABCD的面积是20．故选：B．7．B【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC【详解】解：如图1，图2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∵∠B∴△ABC∴AB在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∴△ABC∴AC故选：B．8．D【分析】由正方形的性质可得∠BAG=∠CAE=90°，再由∠BAE=∠BAG+∠GAE，∠CAG=∠CAE+∠GAE，即可判断（1）；证明△BAE≌△GACSAS即可得到BE=CG，再根据角之间的关系可得【详解】解：∵四边形ABFG和ACDE都是正方形，∴AB=AG，AC∵∠BAE=∠BAG∴∠BAE在△BAE和△AG=∴△BAE∴BE=CG如图，令BE和AG交于点O，BE和CG交于点P，∵∠OBA+∠BOA=90°∴∠AGC∵∠GOP∴∠GPO∴BE作GH⊥MN交MN于H，EI⊥MN交∵四边形ABFG是正方形，∴AB=AG∵∠BAM∴∠BAM∵AM⊥BC∴∠AMB∴∠BAM∴∠GAH在△BAM和△∠ABM∴△BAM∴S△ABM同理可得：△CAM∴EI=AM∴GH∵∠GHN∴△GHN∴S∵S△AGN∴S∴=====18，故（4）正确，符合题意；综上所述，正确的有（1）（2）（3）（4），共4个，故选：D．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质以及三角形全等的判定与性质，找准各个图形之间的面积关系，添加适当的辅助线，是解此题的关键．9．9【分析】本题考查了勾股定理和正方形面积的知识，解题的关键在于发现正方形的对角线与边的关系；本题根据对角线的长，可由勾股定理求出其边长，面积又等于边长×边长，通过作图可以使题目更加清晰明了；【详解】解：如下图所示：下图ABDC为对角线AD=3，设正方形的边长为：xcm在Rt△ACD中，AC=由勾股定理得：AC即x2解得，x=3∴该正方形的面积为：3×3=9cm故9；10．AC⊥【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．【详解】解：由在▱ABCD中，AC=BD，可知四边形ABCD是矩形，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=BC或BC=CD故AC⊥11．5【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，根据旋转的性质可得出S△ADE=S△ABF，根据等式的性质可得出【详解】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△∴S△∴S△ADE+又四边形AECF的面积为144，∴S正方形∴边长AD=又AE=13，∠∴DE=故5．12．75°/75度【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据正方形的性质和等边三角形的性质，易证得Rt△ADF≌Rt△【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB∵△AEF∴AE=AF∴∠BAE在Rt△ADF和AD=∴Rt∴∠BAE∴∠AEB13．4【分析】连接PC，由正方形可得∠BCD=90°，BD=82，再可得四边形PECF是矩形，则EF的最小值即为PC的最小值，当PC⊥【详解】解：如图，连接PC，∵正方形ABCD的边长为8，∴∠BCD=90°，∵PE⊥BC，∴四边形PECF是矩形，∴PC=∴EF的最小值即为PC的最小值，∵P是对角线BD上一点，∴当PC⊥BD时，PC最短，此时∴PC=∴EF的最小值为4214．M【分析】本题主要考查的正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用等知识点，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM【详解】解：如图：将△ABM逆时针旋转90°得△∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD∴∠ND∴NM′∵∠BAD∴∠EA∵∠EAF∴∠EAF在△AMN和△AM=∴△ANM∴MN=∵BM=∴MN故MN15．9【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBA【详解】解：∵四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形，∴OB=∴∠EOB在△OBM与△∠OBM∴△OBM∴S△∴S1∴S2故9．16．15【分析】先利用轴对称的性质说明EB=BE′，∠ABC=∠E′BG，再利用矩形的性质得出∠ABC=∠C=90°，GD=AF，DC=AB【详解】解：作点E关于AB的对称点E′，连接E′D则EB=BE∵四边形ABCD是矩形，AB=9∴∠ABC=∠C=90°，∴AF+GE∴E′在∵∠C∴E∵BC=8，E为∴BE∴B∴===15。当G、E′、D在同一直线上时，GD+GE有最小值，即AF故15．本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，矩形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．17．见解析【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，要证明∠BEC=∠CFD【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴AE在△BEC和△BE=CF，∠EBC∴△BEC∴∠BEC18．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作线段等于已知线段的尺规作图，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，通过证明三角形全等得到边相等是解题的关键．（1）以点D为圆心，BE的长为半径画弧，交BD于点F，则点F为所求；（2）根据正方形的性质得到AB=BC=CD=AD，【详解】（1）解：如图，点F为所求．（2）证明：如图，连接AF,∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴AB=BC=∠ABD=∠∴∠∵BE=∴△ABE∴AE=∴四边形AECF是菱形．19．四边形AEFE′【分析】本题考查正方形的判定与旋转的性质，结合全等三角形的判定与性质是解题关键．通过旋转得到线段与角的等量关系，利用正方形的性质证明三角形全等，进而推出四边形的角为直角且邻边相等，以此判定四边形形状．【详解】解：判断：四边形AEFE′理由：将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AE′∴AE=AE在正方形ABCD中，AB=AD，∴∠BAD∴∠BAE在ΔBAE和ΔAE∴△BAE∴∠BEA∵∠AEB∴∠DE∠AEF∴∠AEF∴四边形AEFE′∵AE∴四边形AEFE′20．(1)见解析(2)20【分析】（1）先利用正方形的边相等、角为直角的性质，结合已知线段相等，证明四个三角形全等，得出四边形EFMN的四边相等，再通过角的关系证明其有一个直角，从而判定为正方形；（2）根据AB和AE的长度，算出AN的长度，用勾股定理求出四边形EFMN的边长，再计算其周长．【详解】（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=∵AN∴AE∴△ANE∴NE=MN∴四边形EFMN是菱形．∵∠NMD∴∠ENA∴∠ENM∴四边形EFMN是正方形．（2）解：∵AB=7，∴AN∴EN∵四边形EFMN是正方形，∴四边形EFMN的周长=5×4=20．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握正方形的边与角的性质、全等三角形的判定方法，及勾股定理的应用是解题的关键．21．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接AF，结合正方形的性质和折叠的性质证明Rt△（2）设D'F=【详解】（1）证明：连接AF，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=由折叠的性质可知，AD=AD∴∠A∵AB=∴AD在Rt△ABF和AB∴Rt△∴BF=（2）解：∵AB=15，DE∴CD=AB=15∴CE=设D'F=∴CF=CB−在Rt△ECF中，∴52解得x=3∴BF=322．(1)图见解析，△DHG(2)EG=CG，【分析】（1）通过添加辅助线（延长EG交CD于点H），构造出△DHG，利用平行线性质（EF∥CD（2）利用全等三角形的性质转移线段长度（EF=DH，EG=HG），结合正方形和等腰直角三角形的性质，推导出CH=CE，从而证明【详解】（1）解：延长EG交CD于点H，如图，则△DHG证明：∵∠BEF∴EF⊥而CD⊥∴EF∥∴∠1=∠2，∵点G为DF的中点，∴DG=在△DHG和△∠2=∠1DG∴△DHG（2）EG=CG，证明：∵△DHG∴EF=DH，∵BE=∴BE=∵CB=∴CD−DH=∴△CHE∵EG=∴CG⊥EH，即EG=CG，本题考查了全等三角形的性质，用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS），全等三角形综合问题，三线合一，斜边的中线等于斜边的一半，根据正方形的性质证明等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．23．(1)见解析；(2)DF=CE且【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．（1）根据垂直的定义和平行线的性质求出∠AED=∠BFA=90°，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=∠ADC（2）根据同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC，根据全等三角形对应边相等可得AF=DE，根据正方形的性质可得AD=CD，然后利用“边角边”证明△FAD和【详解】（1）证明：∵DE⊥AG∴BF∴∠AED∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD∴∠BAF∵∠EAD∴∠BAF∴△AFB∴AE（2）DF=CE且证明：∵∠FAD+∠ADE∴∠FAD∵△AFB∴AF又∵四边形ABCD是正方形，∴AD∴△FAD∴DF=CE∵∠ADF∴∠DCE∴DF综上所述，DF=CE且24．(1)①EF=BE+(2)不成立，它们的数量关系为EF=【分析】（1）①延长CB至G点，使BG=DF，连接AG．先根据SAS，则可得AG=AF，∠GAB=∠FAD．由∠BAD=90°，∠EAF=12∠BAD②在CD上截取DG=BE，连接AG．先根据SAS证明△ADG≌△ABE，则可得∠BAE=∠DAG，AE=（2）延长CD至点G，使得DG=BE，连接AG．先根据SAS证明△ADG≌△ABE，则可得∠BAE=∠DAG，AE=AG，进而可得∠EAG=∠BAD【详解】（1）①如图，延长CB至G点，使BG=DF，连接∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠D∴∠ABG又∵AB=AD，∴△ABG∴AG=AF，∵∠EAF∴∠BAE即∠GAE在△GAE和△FAE中∴△GAE∴GE=又∵GE=∴EF=故EF=②EF=证明：如图1，在CD上截取DG=BE，连接由题意，得∠ABC∴∠ADG∵AD=AB，∴△ADG∴∠BAE=∠DAG∵∠EAF