高中数学第十章　§10.1　10.1.4　概率的基本性质

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期10.1.4概率的基本性质学习目标1.理解概率的基本性质.(重点)2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.(难点)导语一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.学习了概率的定义后，从哪些方面来研究概率的性质呢？本节课就来学习一下！一、概率的基本性质问题1在一次掷骰子试验中，设事件A=“点数小于7”，事件B=“点数大于7”，事件C=“点数大于1”.以上事件的概率是多少？你认为任意事件的概率取值范围是多少？提示P(A)=1，P(B)=0，P(C)=56问题2在一次掷骰子试验中，设事件D=“出现1点”，事件E=“出现2点”，事件F=“出现的点数小于3”.事件D与E有什么关系？事件D，E，F的概率分别是多少呢？它们的概率又有怎样的关系？提示事件D与E互斥.P(D)=16，P(E)=16，P(F)=13.P(D)+P(E)=P问题3在一次掷骰子试验中，设事件H=“出现的点数为奇数”，事件I=“出现的点数为偶数”，事件H与事件I是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？提示事件H与事件I是对立事件.P(H)=12，P(I)=12，P(H)+P(问题4在一次掷骰子试验中，设事件M=“出现的点数小于2”与事件F=“出现的点数小于3”是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？提示M⊆F.P(M)<P(F).知识梳理性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).例1(1)(多选)下列说法正确的有()A.必然事件的概率等于1B.某事件的概率等于1.1C.某事件的概率是0D.若A，B为两个事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)答案AC解析必然事件一定发生，故其概率是1，故A正确；必然事件的概率是1，故概率为1.1的事件不存在，故B错误；不可能事件的概率是0，故C正确；对于随机试验中的两个事件，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，故D错误.(2)投掷一枚骰子(质地均匀的正方体)，设事件A为“掷得偶数点”，事件B为“掷得的点数是2”，则P(A)与P(B)的大小关系为()A.P(A)>P(B) B.P(A)=P(B)C.P(A)<P(B) D.不确定答案A解析因为n(A)=3，n(B)=1，所以P(A)=36=12，P(B)=16，故P(A)>P(反思感悟(1)由于事件的样本点数总是小于或等于试验的样本空间包含的样本点数，所以任何事件的概率都在0~1之间，即0≤P(A)≤1.(2)利用概率性质进行判断，要注意每一条性质使用的条件，不能断章取义.跟踪训练1若A，B为互斥事件，则()A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1答案D解析因为A，B为互斥事件，所以A∪B是随机事件或必然事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1，当A，B为对立事件时，P(A)+P(B)=1.二、互斥事件与对立事件概率公式的应用例2(1)(课本例11)从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=14.①C=“抽到红花色”，求P(C)；②D=“抽到黑花色”，求P(D).解①因为C=A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=14+14=②因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件.因此P(D)=1-P(C)=1-12=1(2)(课本例12)为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？解设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件A1A2=“两罐都中奖”，A1A2=“第一罐中奖，第二罐不中奖”，A1A2=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A=A1A2∪A1A2∪A方法一因为A1A2，A1A2，A1A2两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A1A2)+P(A1我们借助树状图(如图)来求相应事件的样本点数.可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30，且每个样本点都是等可能的.因为n(A1A2)=2，n(A1A2)=8，n(A1A2)=8，所以P(A)=230+830+830方法二注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于A1A2=“两罐都不中奖”.而n(A1A2)=4×3=12，所以P(A因此P(A)=1-P(A1A2)=1-2例2一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)求射中环数小于8环的概率.解设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”分别为事件A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)=0.24，P(B)=0.28，P(C)=0.19，P(D)=0.16，P(E)=0.13.(1)设“射中10环或9环”为事件F，则P(F)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)设“射中环数小于8环”为事件H，则P(H)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29.反思感悟互斥事件、对立事件的概率公式的应用(1)互斥事件的概率加法公式为P(A∪B)=P(A)+P(B)，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用概率加法公式得出结果.(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可先计算出对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1，求出符合条件的事件的概率.跟踪训练2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个题，其中选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2，则“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.因此样本点的总数为6+6+6+2=20.(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则P(A)=620=3记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则P(B)=620=3又事件A与事件B为互斥事件，故“甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题”的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=310+310=(2)记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C，则事件C为“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意得P(C)=220=1故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率P(C)=1-P(C)=1-110=9三、概率性质的综合应用例3某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖分别为事件A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券中奖的概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解(1)由题意知，P(A)=11000P(B)=101000=1100，P(C)=501000(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖，设“1张奖券中奖”为事件M，则M=A∪B∪C.因为A，B，C两两互斥，所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=11000+1100+120故1张奖券中奖的概率为611000(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)=1-P(A∪B)=1-11000+1100=9891000.反思感悟实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力.跟踪训练3某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职工为女职工或第三分厂职工的概率.解记事件A为“抽取的1人为女职工”，记事件B为“抽取的1人为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的1人为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的1人为女职工或第三分厂的职工”，则有P(A)=1600+1400+5004000+1600+3000+1400+800+500=35P(B)=800+5004000+1600+3000+1400+800+500=13P(A∩B)=5004000+1600+3000+1400+800+500=5所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=35113+13113-51131.知识清单：(1)概率的基本性质.(2)互斥、对立事件概率公式的应用.(3)概率性质的综合应用.2.方法归纳：转化法、间接法、树状图法.3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件时，易重复和遗漏.1.(多选)下列结论正确的是()A.若A，B互为对立事件，P(A)=1，则P(B)=0B.若事件A，B，C两两互斥，则事件A与B∪C互斥C.若事件A与B对立，则P(A∪B)=1D.若事件A与B互斥，则它们的对立事件也互斥答案ABC解析若A，B互为对立事件，P(A)=1，则A为必然事件，故B为不可能事件，则P(B)=0，故A正确；若事件A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不可能同时发生，则事件A与B∪C也不可能同时发生，则事件A与B∪C互斥，故B正确；若事件A与B对立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，故C正确；若事件A，B互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误.2.在投掷骰子的游戏中，随机投掷一次，则其向上的点数是5或6的概率是()A.16 B.C.12 答案B解析事件“向上的点数是5”与事件“向上的点数是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16所以“向上的点数是5或6”的概率是16+16=3.从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45A.15 B.C.45 D.答案A解析设事件A=“3人中至少有1名女生”，B=“3人都是男生”，则A，B为对立事件，所以P(B)=1-P(A)=154.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3.(1)如果B⊆A，那么P(A∪B)=，P(AB)=；

(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)=，P(AB)=.

答案(1)0.50.3(2)0.80解析(1)因为B⊆A，所以A∪B=A，A∩B=B，所以P(A∪B)=P(A)=0.5，P(AB)=P(B)=0.3.(2)因为A，B互斥，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8，所以A，B不能同时发生，即P(AB)=0.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数X01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为()A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.74答案D解析由题意得至少有两人排队的概率P=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.1-0.16=0.74.2.从一副混合后的扑克牌(不含大小王，共有52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)等于()A.726 B.C.1526 D.答案A解析一副混合后的扑克牌(不含大小王)共有52张，则事件A的概率为P(A)=152一副扑克牌中有13张黑桃，则事件B的概率为P(B)=1352=1而事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=152+14=3.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18 B.C.58 D.答案D解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有16个样本点，4位同学都在周六参加公益活动或都在周日参加公益活动的样本点有(六，六，六，六)，(日，日，日，日)，共2个，设周六、周日都有同学参加公益活动为事件A，则P(A)=1-216=74.(多选)甲、乙两人下棋，和棋的概率为13，乙获胜的概率为1A.甲获胜的概率是1B.甲不输的概率是1C.乙输的概率是2D.乙不输的概率是1答案AD解析“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，“和棋”和“乙获胜”是互斥事件，所以“甲获胜”的概率是1-16-13=12设“甲不输”为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)=12+13=56“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为12，故C设“乙不输”为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(B)=16+13=12，故5.若事件A和事件B是互斥事件，且P(A)=0.1，则P(B)的取值范围是()A.[0，0.9] B.[0.1，0.9]C.(0，0.9] D.[0，1]答案A解析由于事件A和事件B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1+P(B)≤1，又0≤P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.6.(多选)下列说法正确的是()A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些B.若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1C.如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1D.已知事件A发生的概率P(A)=0.3，则它的对立事件A发生的概率P(A)=0.7答案BD解析对于A，甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去，则每位同学被抽到的概率都是13，故A对于B，由概率的性质可知，0≤P(A)≤1，故B正确；对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有P(A)+P(B)=1，但互斥事件不一定对立，故C错误；对于D，因为事件A发生的概率P(A)=0.3，所以它的对立事件A发生的概率P(A)=1-0.3=0.7，故D正确.7.袋中有大小相同的黄球、红球、白球各一个，从中每次任取一个球，有放回地取3次，则下列事件的概率为89A.3次取出球的颜色全相同B.3次取出球的颜色不全相同C.3次取出球的颜色全不同D.3次取出的球中无红球答案B解析有放回地取球3次，共有3×3×3=27(个)样本点，其中3次取出球的颜色全相同的样本点有3个，其概率为327=19；3次取出球的颜色不全相同的概率为1-19=89；3次取出球的颜色全不同的样本点有6个，其概率为627=29；8.(5分)袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.4和0.35，那么黑球有个.

答案25解析由题意，可得任取一球是黑球的概率为1-(0.4+0.35)=0.25，所以黑球有100×0.25=25(个).9.(5分)某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如表所示：月收入[1000，1500)[1500，2000)[2000，2500)[2500，3000)概率0.12ab0.14已知月收入在[1000，3000)内的概率为0.67，则月收入在[1500，3000)内的概率为.

答案0.55解析记这个商店月收入在[1000，1500)，[1500，2000)，[2000，2500)，[2500，3000)内分别为事件A，B，C，D，因为事件A，B，C，D两两互斥，且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67，所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.67-0.12=0.55.10.(10分)某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.(1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak=“一年内需要维修k次”，k=0，1，2，3，请填写下表：事件A0A1A2A3概率事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥？是否满足等可能性？(4分)(2)求下列事件的概率：①A=“在1年内需要维修”；(2分)②B=“在1年内不需要维修”；(2分)③C=“在1年内维修不超过1次”.(2分)解(1)因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%，所以P(A0)=1-(0.15+0.06+0.04)=0.75，P(A1)=0.15，P(A2)=0.06，P(A3)=0.04.事件A0A1A2A3概率0.750.150.060.04事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥，不满足等可能性.(2)①P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.25；②P(B)=P(A0)=0.75；③P(C)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)=0.9.11.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是()A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1答案AD解析任找一个人，记其血型为A，B，AB，O型血分别为事件A'，B'，C'，D'，它们两两互斥.由已知，有P(A')=0.28，P(B')=0.29，P(C')=0.08，P(D')=0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D'，根据概率的加法公式，得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64，故A正确；B型血的人能为B，AB型血的人输血，其概率为0.29+0.08=0.37，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何血型的人都可以输血给AB型血的人知，D正确.12.口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中任意取出2个球，事件A=“取出的2个球同色”，事件B=“取出的2个球中至少有一个黄球”，事件C=“取出的2个球中至少有一个白球”，事件D=“取出的2个球不同色”，E=“取出的2个球中至多有一个白球”，下列结论正确的是()A.P(A)=1B.P(B∩C)=1C.P(C∪E)=1D.P(D)=2答案C解析设红球为a1，白球为b1，b2，黄球为c1，c2，c3，则任意取出2个球包含的所有样本点为a1b1，a1b2，a1c1，a1c2，a1c3，b1b2，b1c1，b1c2，b1c3，b2c1，b2c2，b2c3，c1c2，c1c3，c2c3，共15个，事件A包含的样本点为b1b2，c1c2，c1c3，c2c3，共4个，所以P(A)=415，故A事件B∩C表示“取出的2个球中的一个是黄球一个是白球”，包含的样本点有b1c1，b1c2，b1c3，b2c1，b2c2，b2c3，共6个，所以P(B∩C)=615=25，故事件C=“取出的2个球中恰有1个白球或恰有2个白球”，事件E=“取出的2个球中恰有1个白球或没有白球”，事件C∪E是必然事件，所以P(C∪E)=1，故C正确；事件A与D是对立事件，所以P(D)=1-P(A)=1115，故D错误13.(5分)甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知1P1，1P2是方程x2-5x+6=0的根，且P1满足方程x2-x+14=0，则甲射击一次，不中靶的概率为答案12解析由P1满足方程x2-x+14=0P12-P1+14=0，解得P1因为1P1，1P2是方程x2所以1P1·1解得P2=13因此甲射击一次，不中靶的概率为1-12=12；乙射击一次，不中靶的概率为1-1314.(12分)根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3