陕西省校联2026届高三下学期第二次模拟测试 数学试卷

陕西校联2026届第二次模拟测试

高三数学试题

一、单选题

21

1．已知抛物线W:y2pxp0的焦点为F，Cp,0．若W上存在点A，使得CFAF，且△ACF

2

的面积为2，则p（）

A．1B．2C．3D．4

2．如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，两圆的圆心分别为M和N,Q为圆M上一点，

且三角形MNQ为直角三角形，则阴影部分的面积为（）

A．2.5πB．2.25πC．3πD．3.25π

3．已知集合Axxax10a0,BxNxt2,tN*，若BA，则实数a的取值范围是（）

A．6,B．6,C．2,D．3,

4．数列an为各项均为正数的等差数列，k、l、s、t为正整数，则“klst”是“akalasat”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2

5．已知向量a,b满足a1,abab.当a与b的夹角最大时，b（）

A．22B．2C．3D．2

π11

6．已知锐角,满足，则的最小值为（）

3sincoscossin

4338323

A．3B．2C．D．3

3333

11

7．设fx是定义在R上周期为2的偶函数，当2x3时，fxx2x3，则f（）

34

1111

A．B．C．D．

24162

8．寿康宫曾经有一个飞镖盘为一个正三角形，边长为30厘米.以A点为圆心，20厘米为半径做圆弧，与以

B、C点为圆心，10厘米为半径做圆弧形成的封闭阴影区域，则一名选手在训练时将飞镖扎在阴影部分的

概率为（）

A．低于10%B．10%25%C．25%30%D．50%以上

二、多选题

9．已知复数z在复平面上对应的点为M，且z满足z1z12，则（）

A．z1B．M的轨迹是y0

2225

C．M到直线xy0的距离的最大值为D．M到圆xy5上点的距离的最大值为

22

10．声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数yAsint，我们日常听到的声音通常由多个纯

11

音叠加而成，称为复合音，其数学模型为ysinxsin2xsin3x，记

23

111*

fnxsinxsin2xsin3xsinnxnN，则（）

23n

A．f2x的最小正周期为π

B．f2x在区间0,2π上有10个零点

C．fnx的图象关于点kπ,0kZ中心对称

122

D．f3x的最大值为+

23

32

11．已知函数fxx3xaxb,bR，使得fx有三个零点x1,x2,x3，且x1x2x3，则下列说法正

确的是（）

A．a的取值范围为,3

B．x2x320

C．若f2xfx44，则ba

D．函数fx在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1

三、填空题

12．中山大学X同学参加了今年3月组织的考研复试测试，共有5名考官打分，如果去掉一个最高分和最

低分，则X同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则X同学的平均成绩为96.6；如果仅去掉一

个最高分，则X同学的平均成绩为94分．如果5位考官的成绩都保留，则X同学的平均分为_____．

13．如图，BA相距4km；C在B的30方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它

到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A,B,C三地转运货物．经测算，从M到A,B

两地修建公路费用都是10万元/km，从M到C修建公路的费用为20万元/km.选择合适的点M，可使修建的

三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到0.01，且72.6458）．

x2,x0

14．已知函数fx，设a为正实数，若方程fxafx有实数解，则a的取值范围是______．

x,x0

四、解答题

1

,n1

15．已知数列an满足an4．

2n1,n2

(1)求an的前n项和Sn；

nbn

(2)记数列b的前n项和为Tn，若T2b22；证明数列为等差数列，并求出b的通项公式；

nnn2nn

x21

16．已知曲线C:y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．

22

(1)证明：直线AB过定点；

3

(2)若以E0,为圆心的圆与直线AB相切，切点为AB的中点，求该圆的方程．

2

17．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1

代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表

示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(Xi)pi(i0,1,2,3)．

（1）已知p00.4,p10.3,p20.2,p30.1，求E(X)；

23

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0p1xp2xp3xx的

一个最小正实根，求证：当E(X)1时，p1，当E(X)1时，p1；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

π*

18．如图，直角ABC，斜边AB4,B,D为AB的中点，将ACD沿CD翻折到PnCDnN，设二

6

2n9

面角PnCDA的大小为n，满足tann(2).

(1)证明：CDAPn；

(2)求直线P5C与平面ABC所成角的大小；

(3)当四面体PnCDPn1的体积最大时，求n.

x11

19．已知函数f(x)x3x2，且存在x(0,)，使fxx．

240200

(1)证明：f(x)是R上的单调增函数；

1

(2)设x10，xf(x)，y，yf(y)，其中n1,2,．证明：xxxyy；

n1n12n1nnn10n1n

yx1

(3)证明：n1n1．

ynxn2

参考答案

1．B

p

【详解】由题意可知：F,0，则AFCFp，

2

22

y0y0p22

设A,y0，则p，可得y0p，即y0p，

2p2p2

1p2

又因为△ACF的面积为CFy2，解得p2.

202

2．B

【详解】设QNM，QMN.

π

因为三角形MNQ为直角三角形，所以.

2

1199π9π

所以阴影部分的面积S3232.

222224

3．C

【详解】因为a0，

所以Axxax101,a.

因为BxNxt2,tN*2,1，且BA，

所以2a，即实数a的取值范围是2,.

4．B

【详解】设正项等差数列{an}的首项为a1，公差为d0.

则akal[a1(k1)d][a1(l1)d]2a1(kl2)d，asat2a1(st2)d，

两式作差得akal(asat)(klst)d.

充分性：若klst，即klst0.

若d0，则klstd0，即akalasat，无法推出结论，充分性不成立.

必要性：若akalasat，即(klst)d0.

因为d0，所以klst0，即klst，必要性成立.

因此，"klst"是"akalasat"的必要不充分条件.

5．B

22

22

【详解】将abab平方得aba2abb12abb，

2

2

令tabt0，则t22t1b，所以bt2t1，

π

设a与b的夹角为,0,，

2

π

当ab0时，，与条件abab矛盾，所以t0，

2

1

abttcos

又cos，分子分母同时除以t，21，

abbt22t11

tt2

11

1cos

令m0，则22，

tm2m1m12

2π

当m1时，cos取得最小值，此时取最大值，

24

2

当m1时，t1，b122112，

2

所以当a与b的夹角最大时，b2.

6．C

3

【详解】由，可得sinsincoscossinsin，即

332

2

sincoscossin1，

3

11112

则sincoscossin

sincoscossinsincoscossin3

2sincoscossin2

11121，

3cossinsincos3

sincoscossintantan

当且仅当即时，等号成立，

cossinsincostantan

因为,为锐角，也就是tantan，即时，等号成立，

6

283

故所求式的最小值为121，故C正确.

33

7．C

11

【详解】因为fx为偶函数，所以ff，

44

1191991

又fx的周期为2，故ff2f23.

44434416

11

所以f.

416

8．B

13

【详解】由题意可知：ABC的面积为S△30302253，

ABC22

1π21π2

阴影部分的面积为SSABC202102253100π，

2323

S2253100π4π

所以将飞镖扎在阴影部分的概率为10.19，位于10%25%.

S△ABC225393

9．AC

【详解】对于A，因为z1z1z1z12，所以2z2，即z1，故A正确；

22

对于B，设zxyi，则z1z1x1yix1yix1y2x1y2，

所以z1z12表示点M与点A1,0,B1,0距离之和等于2，

所以点M的轨迹为线段AB，即y01x1，故B错误；

对于C，由前面知，M的轨迹为线段AB，即y01x1，

102

如图，M到直线xy0的最大距离为点1,0到直线xy0的距离，即，

22

故C正确；

对于D，因为点M的轨迹为线段AB，即y01x1，且M在圆x2y25内，

设点M到圆上的点的距离为d，则dMO5AO5BO551

所以M到圆x2y25上点的距离的最大值为51，此时M的坐标为1,0，故D错误.

10．CD

1

【详解】对于，，此时ππ1π21，

Af2xsinxsin2xf2sinsin+

2442222

π5π

5π5π15π21，，

f2sinsin+f2f2

44222244

故f2x的最小正周期不为π，故A错误；

1

对于B，令f2x0，则sinxsin2x0，即sinxsinxcosx0，

2

故sinx0或cosx1，而x0,2π，故x0,π,2π，故B错误；

11

对于，

Cfn2kπxsin2kπxsin22kπxsinn2kπx

2n

11

sinxsin2xsinnxfx，

2nn

故fnx的图像关于点kπ,0kZ中心对称，故C正确；

11

对于D，fxsinxsin2xsin3x，

323

11

因为

f3x2πsinx2πsin2x2πsin3x2π

23

11

sinxsin2xsin3xfx，故fx为周期函数，且周期为2π，

2333

设，则

x0,2πf3xcosxcos2xcos3x2cos2xcosxcos2x

1

cos2x2cosx1，令fx0，得cos2x0或cosx，

32

π2π3π4π5π7π

则x或x或x或x或x或x，

434344

π2π3π5π4π7π

当0x或x或x或x2π时，fx0，

4344343

π2π3π5π4π7π

当x或x或x时，fx0，

4344343

π2π3π5π4π7π

故f3x在0,，,，,，,2π上均为增函数，

434434

π2π3π5π4π7π

在,，,，,上均为减函数，

434434

而ππ1π13π2112221，

f3sinsinsin

442234223232

111，3π3π3π9π212221

f3sinsinsin

442234223232

4π4π18π131313，

f3sinsinsin4π0

3323322234

1111

f2πsin2πsin4πsin6π0000，

32323

122

故fx+，故D正确.

3max23

11．AC

【详解】解：对于A，因为fx有三个零点，得函数fx至少有两个极值点，

因为fx3x26xa，所以fx0有两个不相等的实数根，

所以3612a0，解得a3，故A正确；

对于B，a16,b12时，fxx33x216x12x6x1x2，

fx0的解为x16,x21,x32，此时x2x320，故B错误；

对于C，

3232

f2xfx42x32xa2xbx43x4ax4b

2a2b44，所以2b2a，所以ba，故C正确；

32

对于D，由题得fxx3xaxbxx1xx2xx3，其简图如下：

'

，

fxxx2xx3xx1xx2xx3

所以fx1x1x2x1x3，

，

同理fx2x2x1x2x3fx3x3x1x3x2，

111111

故

fx1fx2fx3x1x2x1x3x2x1x2x3x3x1x3x2

x2x3x3x1x1x2

0，故D错误．

x1x2x1x3x2x3

12．95

【详解】设5名考官打分由高到低的排列为a,b,c,d,e，

因为去掉一个最高分和最低分，X同学的平均成绩为95.8，

所以bcd395.8287.41，

因为仅去掉一个最低分，X同学的平均成绩为96.6，

所以abcd496.6386.42，

因为去掉一个最高分，X同学的平均成绩为94分，

所以bcde4943763，

21，得a99，

31，得e88.6，

abcde99287.488.6

X同学的平均分为95.

55

13．85.83

【详解】由题意知MBMA2，所以满足双曲线定义，则2a2,2cAB4，因此PQ是

y2

双曲线右支，方程为x21(x1).

3

总费用的表达式为MAMB10MC20MAMA210MC20，

20MAMC2020AC20

当且仅当A,M,C三点共线时取等号.

如图，

延长AB交过C点的竖直方向直线于点D，易知CDBD.

1

在RtBCD中，BC2,BCD30，所以BDBCsin3021，

2

3

CDBCcos3023.因为ADCD，ADABBD415，

2

222

所以ACADCD52327，

所以最小费用为2027202022.64582085.83万元.

7

14．,4

4

【详解】情况1:x0,xa0，则f(x)x2,f(xa)xa2，

所以方程fxafx即为xa2x2，解得a0，不符合；

情况2:x0,xa0，则fxx2,fxaxa，

所以方程fxafx即为xax2，所以2x0，

27

两边平方得ax3x4，值域为,4；

4

情况3:x0,xa0，当x0时，由于a0，则xa0，

则fxx,fxaxa，

所以方程fxafx即为xax，解得a0，不符合；

情况4:x0,xa0，不可能，因x>0,a0.

7

综上，a的取值范围是,4.

4

1

,n1

4

15．(1)S

n3

n2,n2

4

n1

(2)证明见解析，bnn12

1

【详解】（1）当n1时，Sa，

114

1

当n2时，Saaaa352n1

n123n4

1n1(32n1)113

n1(n1)n21n2，

42444

1

,n1

4

则S；

n3

n2,n2

4

n1

（2）由Tn2bn22，当n1时，b1T12b122，即b10；

nn1n1

当n2时，bnTnTn12bn222bn1222bn2bn12，

n1

所以bn2bn12，

bb1

则nn1，

2n2n12

b1

所以数列n是以0为首项，以为公差的等差数列，

2n2

bn1

则n，即bn12n1.

2n2n

16．(1)证明见解析

2

23

(2)xy1

2

112

【详解】（1）设Dt,,Ax1,y1，则y1x1．

22

11

又因为yx2，所以yx．则切线DA的斜率为x，故yxxt，

211211

整理得2tx12y110．设Bx2,y2，同理得2tx22y210.

Ax1,y1,Bx2,y2都满足直线方程2tx2y10．

于是直线2tx2y10过点A,B，而两个不同的点确定一条直线，

所以直线AB方程为2tx2y10，即2tx2y10.

1

当2x0,2y10时等式恒成立．所以直线AB恒过定点0,．

2

1

（2）由（1）得直线AB的方程为ytx．

2

1

ytx

222

由可得x2tx10，则x1x22t,y1y2tx1x212t1．

x2

y

2

21

设M为线段AB的中点，则Mt,t．

2

11

当t0时，直线AB为y，中点M0,，直线EM:x0，两直线垂直，半径为rEM1.

22

3t21

当t0时，因为E0,，则k.

2EMt

1t211

因为EMAB,kABt，所以kEM，所以，无解.

ttt

2

23

综上t0，圆的方程为xy1．

2

17．（1）1；（2）见解析；（3）见解析.

【详解】（1）E(X)00.410.320.230.11.

32

（2）设fxp3xp2xp11xp0，

32

因为p3p2p1p01，故fxp3xp2xp2p0p3xp0，

若EX1，则p12p23p31，故p22p3p0.

2

fx3p3x2p2xp2p0p3，

因为f0p2p0p30，f1p22p3p00，

故fx有两个不同零点x1,x2，且x101x2，

且x,x1x2,时，fx0；xx1,x2时，fx0；

故fx在,x1，x2,上为增函数，在x1,x2上为减函数，

若x21，因为fx在x2,为增函数且f10，

而当x0,x2时，因为fx在x1,x2上为减函数，故fxfx2f10，

23

故1为p0p1xp2xp3xx的一个最小正实根，

23

若x21，因为f10且在0,x2上为减函数，故1为p0p1xp2xp3xx的一个最小

正实根，

综上，若EX1，则p1.

若EX1，则p12p23p31，故p22p3p0.

此时f0p2p0p30，f1p22p3p00，

故fx有两个不同零点x3,x4，且x30x41，

且x,x3x4,时，fx0；xx3,x4时，fx0；

故fx在,x3，x4,上为增函数，在x3,x4上为减函数，

而f10，故fx40，

又f0p00，故fx在0,x4存在一个零点p，且p1.

p23

所以为p0p1xp2xp3xx的一个最小正实根，此时p1，

故当EX1时，p1.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后

代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.

18．(1)证明见解析；

π

(2)；

4

(3)4.

π

【详解】（1）依题意，斜边AB4,B，有ACADCD2，取CD中点O，

6

因为AOCD,PnOCD，AOPnOO,AO,PnO平面PnOA，

所以CD平面PnOA，又APn平面PnOA，所以CDAPn；

（2）以点O为原点，OA,OC,Oz分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则A3,0,0,C0,1,0,D0,1,0，

由二面角的定义可得nPnOA，则P3cosn,0,3sinn，

63

由于tan52，则sin，cos，

5353

故P51,0,2，CP51,1,2，

设平面ABC的法向量m0,0,1，

设P5C与平面ABC所成角为，

mCP522

则sincosm,CP5，

mCP5122

π

故PC与平面ABC所成角为；

54

（3）由于PnCD的面积与Pn1CD的面积相等，则PnCD的面积与ACD的面积相等，

因此，当Pn1到平面PnCD的距离最大时，四面体PnCDPn1的体积最大；

设平面PnCD的法向量mx,y,z，DC0,2,0,OPn3cosn,0,3sinn

nDC2y0

有，

nOPn3cosnx3sinnz0

令xtann，则y0,z1，可得ntann,0,1，OPn13cosn1,0,3sinn1，

nOPn13cosn1tann3sinn1

所以Pn1到平面PnCD的距离d，

n2