2026高考数学导数专项：函数与导数：函数的周期性与对称性讲义（解析版）

函数与导数：函数的周期性与对称性讲义

目录

题型一函数的周期性1

题型二函数的对称性4

题型三函数的奇偶性、周期性与对称性综合9

课后提升训练18

题型一函数的周期性

【知识点解析】

1.函数的周期性

一般地，对于函数y=fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=

f(x)都成立，那么就把函数y=fx称为周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

由周期函数的定义可知，周期T并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小

正周期.

①若函数f(x)满足f(x+a)=f(x)，则函数f(x)的周期T=a.

②若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)，则函数f(x)的周期T=2a.

③若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)的周期T=2a.

1

④若函数f(x)满足f(x+a)=，则函数f(x)的周期T=2a.

f(x)

1

⑤若函数f(x)满足f(x+a)=-，则函数f(x)的周期T=2a.

f(x)

【例题分析】

1.(25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，当2≤x≤3时，

19

f(x)=5-2x，则f=(

)．

4

1111

A.-B.-C.D.

2442

【答案】A

【详解】当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，而f(x)的周期为2，

191111111

所以f=f2+=f=5-2×=-.

44442

故选：A

2.(2025·广东梅州·模拟预测)设fx是定义在R上且周期为2的奇函数，当2≤x≤3时，fx=x2-5x

+6，则f-1=()

1

A.B.0C.2D.-1

4

1

【答案】B

【详解】∵fx是定义在R上且周期为2的奇函数，

∴f-1=-f1=-f1+2=-f3，

∵当2≤x≤3时，fx=x2-5x+6，∴f3=32-5×3+6=0，

∴f-1=-f3=0.

故选：B.

3.(25-26高三上·江苏南通·开学考试)定义在R上的函数f(x)是周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，

5

f(x)=3-4x，则f=()

2

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】B

【详解】函数f(x)是周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=3-4x，

5111

则f=f+2=f=3-42=3-2=1.

222

故选：B.

4.(25-26高三上·广东深圳·阶段练习)已知fx是奇函数，函数y=fx+1是偶函数，当x∈-1,0时，

fx=x，则f2025=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【详解】由题意有f-x=-fx，又函数y=fx+1是偶函数，所以f1-x=f1+x，

即f2+x=f-x，所以f2+x=-fx，所以fx+4=-fx+2=fx，

所以函数fx是周期为4的周期函数，所以f2025=f1=-f-1=1，

故选：C.

5.(25-26高三上·江苏南京·开学考试)已知f(x)是定义在R上的函数，f(x+1)=-f(x).当2≤x<3时，

f(x)=5-2x，则f(5)=()

A.-5B.-1C.1D.4

【答案】B

【详解】已知f(x+1)=-f(x)，则f(x+2)=-f(x+1)=fx，

所以函数fx的一个周期为2.

所以f5=f5-2×2=f1，

因为f(x+1)=-f(x)，令x=1，则f(2)=-f(1)，

当2≤x<3时，f(x)=5-2x，则f(2)=5-2×2=1，

所以f(5)=f(1)=-f(2)=-1.

故选：B.

6.(25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习)已知定义在R上的函数y=fx满足fx=fx+4，

且f2=2，则f10=．

【答案】2

2

【详解】由fx=fx+4可得y=fx为周期函数，且周期为4，

f10=f2+2×4=f2=2，

故答案为：2.

7.(24-25高一下·贵州黔南·阶段练习)若函数y=f(x)是R上的周期为3的偶函数，且f-1=3，则

f(2023)=．

【答案】3

【详解】因为函数f(x)是R上的周期为3的偶函数，

所以fx+3=fx，f-x=fx，

又2023=674×3+1，

所以f2023=f1=f-1=3，

故答案为：3.

8.(25-26高三上·福建龙岩·阶段练习)已知定义在R上的f(x)函数满足fx+2=fx，且f3=2，则

f2025的值为.

【答案】2

【详解】因为f(x)函数满足fx+2=fx，

所以函数f(x)是周期为2的周期函数，

所以f2025=f3+1011×2=f3=2，

故答案为：2.

9.(24-25高二下·山东泰安·期末)已知f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=

3

2x，则f=.

2

【答案】-2

【详解】因为函数的周期为2的奇函数，

33311

所以f=-f-=-f-+2=-f=-22=-2.

2222

故答案为：-2

1

10.(24-25高二下·江西南昌·期末)已知f(x)的定义域为R，且f(x+3)=-，当0<x≤3时，f(x)=

f(x)

cosπx，则f(2020)=．

【答案】1

11

【详解】因为f(x+3)=-，则f(x+6)=-=fx，

f(x)f(x+3)

可知f(x)的一个周期为6，

又因为当0<x≤3时，f(x)=cosπx，

11

所以f(2020)=f336×6+4=f4=-=-=1.

f1cosπ

故答案为：1.

3

题型二函数的对称性

【知识点解析】

2.函数的对称性

①若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数f(x)关于x=a对称.

②若函数f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数f(x)关于(a,0)对称.

a+b

③若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)关于x=对称.

2

a+b

④若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=0，则函数f(x)关于,0对称.

2

a+bm

⑤若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=m，则函数f(x)关于,对称.

22

【例题分析】

a

11.(24-25高二下·辽宁·期末)若曲线fx=关于点1,-2中心对称，则a=()

3x-1+1

A.3B.4C.-3D.-4

【答案】D

a

【详解】因为函数f(x)的定义域为R，且曲线fx=关于点1,-2中心对称，

3x-1+1

a

所以f(1)==-2，即a=-4.

2

故选：D.

12.(24-25高二下·山东烟台·期末)若函数fx=x3+ax2+b的图象关于点2,0对称，则实数a的值为

()

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】C

【详解】依题意，函数fx=x3+ax2+b的图象关于点2,0对称，

所以f2-x=-f2+x，即f2-x+f2+x=0，

3232

即2-x+a2-x+b+2+x+a2+x+b=0，

即6+ax2+4a+b+8=0恒成立，

6+a=0

所以，解得a=-6,b=16.

4a+b+8=0

故选：C

131

13.(24-25高二下·辽宁鞍山·期中)已知函数fx=x3-x2+2x+，则函数y=fx的图像对称中

324

心是()

13113525

A.1,B.2,C.,1D.,

12122424

【答案】C

4

131

【详解】任意取函数fx上一点a,b，则fa=a3-a2+2a+=b，

324

1313

对于A，点a,b关于点1,成中心对成的点为点2-a,-b，

126

133211111

f2-a=2-a-2-a+22-a+=-a3+a2+，故A错误；

3243212

1111

对于B，点a,b关于点2,成中心对成的点为点4-a,-b，

126

13321159

f4-a=4-a-4-a+24-a+=-a3+a2-6a+，故B错误；

324324

3

对于C，点a,b关于点,1成中心对成的点为点3-a,2-b，

2

13321137

f3-a=3-a-3-a+23-a+=-a3+a2-2a+=2-b，故C正确；

324324

525525

对于D，点a,b关于点,成中心对成的点为点-a,-b，

424212

5153352511313

f-a=-a--a+2-a+=-a3+a2-a+，故D错误.

23222243412

故选：C.

x+a

14.(2025·安徽马鞍山·模拟预测)若函数f(x)=ln+x的图象关于(2,2)对称，且a≠1，则实数a=

x+1

()

A.-5B.-1C.0D.5

【答案】A

x+ax+a

【详解】函数f(x)=ln+x有意义，则>0，由f(x)的图象关于点(2,2)对称，

x+1x+1

得f(x)的定义域关于数2对称，由-1不在f(x)的定义域内，得5不在f(x)的定义域内，

x-5

则-a=5，即a=-5，此时f(x)=ln+x，x∈(-∞,-1)∪(5,+∞)，

x+1

-x-1x-5x+1x-5

f(4-x)+f(x)=ln+4-x+ln+x=ln+ln+4=4，

5-xx+1x-5x+1

因此函数f(x)的图象关于点(2,2)对称，符合题意，

所以a=-5.

故选：A

15.(2025·四川·三模)已知函数fx=x3-x，则函数y=fx+2+2的图象()

A.关于点-2,2对称B.关于点2,-2对称

C.关于直线x=2对称D.关于直线x=-2对称

【答案】A

3

【详解】因为f-x=-x--x=-x3+x=-fx，则fx为奇函数，

所以fx的图象关于原点对称，

函数y=fx+2+2的图象可由fx的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，

所以函数y=fx+2+2的图象关于点-2,2对称．

故选：A

x+1

16.(24-25高一下·北京·期中)函数y=的图象的对称中心坐标是．

2x-1

5

11

【答案】,

22

x+11-x+12-x

【详解】根据题意，函数y=fx=，则f1-x==，

2x-121-x-11-2x

x+12-x

因为fx+f1-x=+=1，

2x-11-2x

x+111

所以函数y=的图象的对称中心的坐标为,，

2x-122

11

故答案为：,

22

ax-1

17.(25-26高三上·上海静安·阶段练习)若函数fx=的对称中心是(4,-3)，则a+b=.

x+b

【答案】-7

ax-1ax+b-1+ab1+ab

【详解】因为fx===a-，

x+bx+bx+b

所以该函数的对称中心为-b,a，

ax-1

由已知可知函数fx=的对称中心是(4,-3)，

x+b

-b=4

所以⇒a+b=-7，

a=-3

故答案为：-7

18.(24-25高二下·安徽阜阳·期末)已知函数f(x)=aex+e-x的图象关于直线x=ln2对称，则a的值为

.

1

【答案】/0.25

4

【详解】已知函数f(x)=aex+e-x的图象关于直线x=ln2对称，则f(ln2+x)=f(ln2-x)，

代入函数得：aeln2+x+e-ln2+x=aeln2-x+e-ln2-x，

1111

即2ae-x+ex=2aex+e-x，移项整理得：2a-e-x=2a-ex,

2222

11

则2a-=0，解得a=.

24

故答案为：1

4

b

19.(2025·江西·三模)若函数fx=a⋅2x+b⋅2-x的图象关于直线x=1对称，则=．

a

【答案】4

【详解】由题意知，对任意x∈R，恒有fx=f2-x成立，

即a⋅2x+b⋅2-x=a⋅22-x+b⋅2x-2恒成立，化简得4a-b2x-2-2-x=0，

b

故只能4a-b=0，又a≠0，则=4．

a

故答案为：4.

ax-1

20.(24-25高一上·上海·期末)若函数fx=的对称中心是-2,-1，则a+b=

x+b

【答案】1

ax-1

【详解】因为函数fx=的对称中心是-2,-1，

x+b

6

所以f-2+x+f-2-x=-2.

a-2+x-1a-2-x-1

即+=-2.

-2+x+b-2-x+b

2

整理得：-ax2+2a+1b-2x-2a+1b-2=x2-b-2，

-a=1

a=-1

所以2a+1b-2=0⇒，所以a+b=1.

2b=2

2a+1b-2=b-2

故答案为：1

21.(24-25高三上·广东汕头·阶段练习)我们知道：设函数y=f(x)的定义域为D，那么“函数y=f(x)的图

象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(-x)=-f(x)”.有同学发现可以将其推广为：设

函数y=f(x)的定义域为D，那么“函数y=f(x)的图象关于点(m,n)成中心对称图形”的充要条件是

“∀x∈D，f(2m-x)+f(x)=2n”.

2x-1

(1)判断函数f(x)=的奇偶性，并证明；

2x+1

2

(2)判断函数gx=的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，说明理

3x+1-1

由.

【答案】(1)函数f(x)为奇函数，证明见解析

(2)是中心对称图形，对称中心坐标为(-1,-1)

【详解】(1)解：函数f(x)为奇函数

证明如下：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称

1-1

2-x-12x1-2x

又f-x====-fx

2-x+11+11+2x

2x

所以函数f(x)为奇函数.

(2)解：函数g(x)的图象是中心对称图形，其对称中心为点(-1,-1)

解方程3x+1-1=0得x=-1，所以函数g(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)

明显定义域仅关于点(-1,0)对称

2

所以若函数gx=的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为-1

3x+1-1

设其对称中心为点(-1,n)，则由题意可知有∀x∈D，g-2-x+gx=2n

令x=-2，可得2n=g0+g-2=1-3=-2，

所以n=-1

所以若函数g(x)为中心对称图形，其对称中心必定为点(-1,-1)

2

下面论证函数gx=的图象关于点(-1,-1)成中心对称图形：

3x+1-1

即只需证明∀x∈D，g-2-x+gx=-2

22222×3x+12

g-2-x+gx=+=+=+

3-1-x-13x+1-11-13x+1-11-3x+13x+1-1

3x+1

2×3x+122-2×3x+13x+1-1

=+==-2×=-2，得证

1-3x+13x+1-13x+1-13x+1-1

1

22.(24-25高三上·江苏淮安·阶段练习)已知函数fx=．

3x+3

7

(1)求f0与f(2)，f-1与f(3)的值；

(2)由(1)中求得的结果，猜想fx与f2-x的关系并证明你的猜想；

(3)求f-2020+f-2019+⋅⋅⋅+f0+f(1)+f(2)+⋅⋅⋅+f2021+f2022的值．

1131

【答案】(1)f0=,f2=,f-1=,f3=；

4121030

1

(2)fx+f2-x=，证明见解析；

3

4043

(3)

6

11111

【详解】(1)因为fx=，故f0==,f2==，

3x+31+3432+312

1311

f-1==,f3==；

11027+330

3+3

1

(2)猜想：fx+f2-x=，

3

13x

证明：∵对于任意的x∈R，都有f2-x==，

32-x+39+3x+1

1x1x

13x113x3×3+13×3+31

∴fx+f2-x=+=+×===

3x+33x+1+93x+333x+33x+33x+33

1

故fx+f2-x=；

3

1

(3)由(2)得fx+f2-x=，

3

111

故f-2020+f2022=,f-2019+f2021=,⋯,f-1+f3=，

333

11

f0+f2=,f1=，

36

所以f-2020+f-2019+⋅⋅⋅+f0+f(1)+f(2)+⋅⋅⋅+f2021+f2022

=f-2020+f2022+f-2019+f2021+⋯+f-1+f3+f0+f2+f1

114043

=2021×+=．

366

8

题型三函数的奇偶性、周期性与对称性综合

【知识点解析】

1.奇偶性、周期性、对称性的定义

性质核心定义关键特征

奇偶性奇函数：f-x=-fx对称性的特殊情况

偶函数：f-x=fx

周期性存在非零常数T，使fx+T=fx，函数图像沿x轴平移T后重合

最小的正T称为“最小正周期”

对称性轴对称：存在直线x=a，使得fa+x=fa-x图像的“翻折不变性”(轴对称)

中心对称：存在点a,b，使得fa+x+fa-x=2b或“旋转不变性”(中心对称)

2.核心关系推导

(1)已知函数fx为偶函数，关于直线x=a对称，则周期T=2a.

(2)已知函数fx为奇函数，关于直线x=a对称，则周期T=4a.

(3)已知函数fx为偶函数，关于点a,0对称，则周期T=4a.

(4)已知函数fx为奇函数，关于点a,0对称，则周期T=2a.

【例题分析】

23.(25-26高二上·湖北武汉·阶段练习)已知函数f(x),M(x)的定义域为R，满足M(4-x)+f(x)=9,M

30

(x)-f(x-2)=3，若y=M(x)的图像关于直线x=2对称，且M(2)=4，则f(i)=()

i=1

A.92B.-205C.100D.-19

【答案】A

【详解】由于y=M(x)的图像关于直线x=2对称，则M4-x=Mx，

故M(4-x)+f(x)=9⇒M(x)+f(x)=9，

又M(x)-f(x-2)=3，故fx+f(x-2)=6，

因此fx+f(x+2)=6，fx+1+f(x+3)=6，

故fx+f(x+2)+fx+1+f(x+3)=12

30

故∑f(i)=f1+f2+7×12=84+f1+f2，

i=1

由M(x)+f(x)=9及M(2)=4可得，4+f(2)=9，解得f(2)=5

又M(4-1)+f(1)=9,M(3)-f(3-2)=3，故f1=3，

30

∑f(i)=84+f1+f2=84+3+5=92，

i=1

故选：A

9

24.(25-26高三上·江苏扬州·开学考试)已知fx是定义在R上的奇函数，函数gx=x-1fx的图象

2026

关于点1,0对称，且满足g-1=4，则fk=()

k=1

A.2B.-4C.2026D.-4052

【答案】A

【详解】函数gx=x-1fx的图象关于点1,0对称，则gx=-g2-x，

即x-1fx=x-1f2-x，则当x≠1时fx=f2-x，

又f1=f2-1，则fx=f2-x对任意x∈R恒成立①，

又fx是定义在R上的奇函数，则fx=-f-x②，则f2-x=-f-x，

即f2+x=-fx，

则f4+x=-f2+x，得f4+x=fx，即4是fx的一个周期，

由②可得，f0=0；由①可得，f0=f2=0；

因g-1=-2f-1=2f1=4，则f1=2，则f-1=-f1=-2，

则f1+f2+f3+f4=f1+f2+f-1+f0=2+0-2+0=0，

2026

则fk=f1+f2=2+0=2.

k=1

故选：A

25.(25-26高三上·山西长治·阶段练习)设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，

当x∈1,2时，fx=ax2+b，若f0+f3=6，则y=fx-m0<m<6在x∈0,8内所有的零

点之和为()

A.16B.12C.8D.4

【答案】A

【详解】由于fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，故fx+1=-f-x+1和fx+2=f-x+2，

进而可得fx+2=-f-x和f-x=fx+4，

因此fx+4=f-x=-fx+2，从而fx+4=-fx+2=--fx=fx，

故fx为周期为4的周期函数，

当x∈1,2时，fx=ax2+b，故f1=a+b,f2=4a+b，

由于f0=-f2,f3=f1，结合f0+f3=6，可得f1-f2=a+b-4a+b=-3a=6，故a

=-2，

又f0+1=-f-0+1，故f1=0，即f1=a+b=0，故b=2，

因此fx=-2x2+2，

作出y=fx的一个周期内的函数图象，则直线y=m,0<m<6与y=fx的两个交点关于直线x

=2对称，

因此y=fx-m0<m<6在0,4内的两个零点之和为4，

则y=fx-m0<m<6在4,8内的两个零点之和为12，故所有的零点之和为16，

故选：A

10

26.(25-26高三上·广东·开学考试)已知函数fx的定义域为R，函数y=fx+1是偶函数，函数y=

112025

x+fx的图象关于直线x=-对称，若当x∈0,1时，fx=x，则∑fi()

22i=1

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【详解】因为fx+1为偶函数，所以f-x+1=fx+1，即f-x=fx+2，

故fx的图象关于直线x=1对称，

11

由y=x+fx的图象关于直线x=-对称得

22

11

x+fx=-1-x+f-1-x，

22

11

即x+fx=-x+f-1-x对任意x恒成立，则fx=-f-x-1，

22

1

所以fx图象关于点-,0对称，

2

又f-x=fx+2，所以fx+2=-fx-1，即fx+3=-fx，

所以fx+6=-fx+3=fx，所以fx是周期为6的周期函数，

又当x∈0,1时，fx=x,fx的图象关于直线x=1对称，

所以当x∈1,2时，fx=-x+2，

所以f0=0,f1=1,f2=0，f3=-f0=0,f4=-f1=-1,f5=-f2=0,f6=f0=0，

所以f1+f2+f3+f4+f5+f6=0+1+0+0+-1+0=0，

2025

所以∑fi=f1+f2+f3+f4+f5+f6×337+f2023+f2024+f2025

i=1

=0×337+f1+f2+f3=1+0+0=1．

故选：C

27.(25-26高三上·安徽·阶段练习·多选)已知f(x),g(x)均为定义域为R的奇函数，且f(x)+g(x+1)=x，

则()

A.g(1)=0B.g(2025)=0

C.f(2025)=0D.g(x)的图象关于点(1,0)中心对称

【答案】ABD

【详解】由f(x)+g(x+1)=x①，得f(-x)+g(-x+1)=-x②，

11

因为fx为奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，

由①+②得g(x+1)+g(-x+1)=0③，

所以gx的图象关于点1,0中心对称，且g1=0，故A，D正确.

因为gx为定义域为R的奇函数，所以g0=0，

g(x)+g(-x)=0，即g(x+1)+g(-x-1)=0，

结合③可得g(-x+1)=g(-x-1)，所以g(x)=g(x+2)，gx的周期为2，

所以g(2025)=g(1)=0，故B正确，

所以g(2026)=g(0)=0，f(2025)+g(2026)=2025，解得f(2025)=2025，故C错误.

故选：ABD

28.(25-26高三上·重庆·阶段练习·多选)已知函数fx为定义在R上的奇函数，对∀x∈R，都有fx

=f2-x，且fx在区间0,1上单调递增，则下列说法正确的是()

A.f2=0B.fx的一个周期为4

53

C.f+f=0D.fx在区间5，6上单调递增

22

【答案】ABC

【详解】A：因为函数fx为定义在R上的奇函数，

所以f0=0，在fx=f2-x中，令x=0，则有f2=f0=0，因此本选项说法正确；

B：因为函数fx为定义在R上的奇函数，

所以有fx=-f-x，而fx=f2-x，所以有-f-x=f2-x，

即有fx=-fx+2⇒fx+2=-fx+4，则有fx=fx+4，

所以函数fx的周期为4，因此本选项说法正确；

C：因为奇函数fx的周期为4，

535353

所以f+f=-f-+f=-f-+4+f=0，

222222

因此本选项说法正确；

D：当x∈5,6时，x-4∈1,2，fx=fx-4，

由fx=f2-x⇒f1+x=f1-x，所以该函数的一条对称轴为x=1，

又因为fx在区间0,1上单调递增，

所以fx在区间1,2上单调递减，fx在区间5,6上单调递减，因此本选项说法不正确，

故选：ABC

29.(25-26高三上·四川绵阳·阶段练习·多选)定义在R上的函数fx满足f1+x=f1-x，且fx+2

为奇函数，已知当0≤x≤1时，fx=ex-1，则下列结论正确的是()

A.fx+4=fxB.fx在区间9,11上单调递减

172025

C.f<fD.fi=e-1

34i=1

【答案】ABD

【详解】由fx+2为奇函数，则f-x+2=-f(x+2)，即f4-x=-f(x)，

由f1+x=f1-x，则fx=f2-x，故f4-x=-f(2-x)，

所以f2+x=-f(x)，故f4+x=-f(2+x)=f(x)，A对；

12

由f1+x=f1-x，知fx图象关于x=1对称，

由f4-x=-f(x)，知fx图象关于点(2,0)对称，且f(2)=0，

当0≤x≤1时，fx=ex-1，即fx在[0,1]上单调递增，

所以fx在[1,2]、(2,3]上单调递减，即在[1,3]上单调递减，

若x∈9,11，则x-8∈[1,3]，结合周期性知f(x)=f(x-8)，

所以fx在区间9,11上单调递减，B对；

7711

由f=f2-=f<f，C错；

4443

由f4-x=-f(x)，则f(2)+f(4)=0，f(1)+f(3)=0，

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，又f(1)=e-1，

2025

∑fi=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=e-1，D对.

i=1

故选：ABD

30.(25-26高三上·河北保定·阶段练习·多选)已知fx，gx均为定义域为R的奇函数，且fx+

gx+1=x，则()

A.g1=0B.g2025=0

C.f2025=0D.gx的图象关于点1,0中心对称

【答案】ABD

【详解】由fx+gx+1=x①，得f-x+g-x+1=-x②，

因为fx为奇函数，所以fx+f-x=0，

由①+②得gx+1+g-x+1=0③，

所以gx的图象关于点1,0中心对称，且g1=0，故A，D正确.

因为gx为奇函数，所以g0=0，gx+g-x=0，即gx+1+g-x-1=0，

结合③可得g-x+1=g-x-1，所以gx=gx+2，gx的周期为2，

所以g2025=g1=0，故B正确，

所以g2026=g0=0，f2025+g2026=2025，解得f2025=2025，故C错误.

故选：ABD.

31.(25-26高三上·宁夏银川·开学考试·多选)已知定义域为R的函数fx满足f4-3x=f3x-2,

f4x-1为奇函数，f0=-1，则()

A.fx是周期为8的函数B.fx-3为偶函数

102

C.f1+f5=1D.f(i)=1

i=1

【答案】ABD

【详解】由f4-3x=f3x-2，得f4-x=fx-2，

因为f4x-1为奇函数，所以f-4x-1=-f4x-1，即f-x=-fx-2，

所以f4-x=-f-x，即fx+4=-fx，所以fx+8=-fx+4=fx，

所以8为fx的一个周期，故A正确；

由f4-x=fx-2，得f-x-3=fx+5=fx-3，

所以fx-3是偶函数，故B正确；

13

由f-x=-fx-2，得f1=-f-3，所以f1+f-3=0，

所以f1+f5=f1+f-3=0，故C错误；

由周期性和f-x=-fx-2，得f2=-f-4=-f4，所以f2+f4=0，

同理f-1=0,f-2+f0=f6+f8=0，

由f4-x=fx-2，得f-1=f3，所以f3=f-1=f7=0，

8

则f(i)=0，所以

i=1

102

f(i)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=f(6)=-f(8)=-f(0)=1，故D正确．

i=1

故选：ABD．

32.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习·多选)已知函数f(x)，g(x)定义域均为R，g(x)的图象关于点

(1,0)对称，且满足f(1+x)+g(-x)=4，f(x-3)+g(x)=4，则()

A.函数f(x)的图象关于x=-1对称B.g(x)是周期为4的函数

2025

C.g(k)=1D.y=gx+1是奇函数

k=1

【答案】ABD

【详解】函数f(x),g(x)的定义域均为R，函数g(x)的图象关于点(1,0)对称，则g1-x=-g1+x，

即函数gx+1是奇函数，D正确；

又f1+x+g-x=4①，fx-3+gx=4②，

由①式，令x=x-2，得f1+x-2+g-x-2=4，

化简可得fx-1=4-g2-x；

由②式，令x=-x+2，得f-x+2-3+g-x+2=4，

化简得f-x-1=4-g2-x；

因此fx-1=f-x-1，即f-1+x=f-1-x.

故f(x)的图象关于直线x=-1对称，A正确；

由①式，令x=x-4，可得f(x-3)+g(4-x)=4③，

③-①可得g(4-x)=g(x)④，

因为g(x)的图象关于点(1,0)对称，所以g2-x=-gx⑤，

④+⑤可得g(4-x)=-g2-x

令x=x+2可得g(2-x)=-gx，

则gx+4=-g(x+2)=gx，

故函数g(x)是周期为4的函