2027届高考数学一轮总复习3.2导数与函数的单调性（课件）

第三章一元函数的导数及其应用3.2导数与函数的单调性高三一轮数学内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性.2.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.202320242025

新课标Ⅰ卷T10

新课标Ⅱ卷T6

全国二卷T18必备知识回顾1.函数的单调性与导数的关系一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)内,如果__________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;如果__________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.2.利用导数判断函数f(x)单调性的步骤第1步,确定函数f(x)的定义域和导数f'(x);第2步,求出导数f'(x)的零点;第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各个区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.知识梳理f'(x)>0f'(x)<01.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.知识拓展1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f'(x)>0.

(

)(2)若在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(

)(3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(

)(4)函数f(x)=x-sinx在R上是增函数.(

)基础检测×√×√2.(人教A版选择性必修第二册P87练习T3改编)函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列判断中正确的是

(

)A.f(x)在(-3,1)上单调递增B.f(x)在(1,3)上单调递减C.f(x)在(2,4)上单调递减D.f(x)在(3,+∞)上单调递增C解析:由题图得,当x∈(-3,0)时,f'(x)<0,故f(x)在(-3,0)上单调递减,当x∈(0,2)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,2)上单调递增,当x∈(2,4)时,f'(x)<0,故f(x)在(2,4)上单调递减,当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(4,+∞)上单调递增,显然C正确,其他选项错误.故选C.

4.(人教A版选择性必修第二册P89练习T2改编)若函数f(x)=x3+ax2-ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是______________.解析:由题知f'(x)=3x2+2ax-a≥0在R上恒成立,则4a2+12a≤0,解得

-3≤a≤0.[-3,0]关键能力提升

A确定不含参函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意:①单调性应在函数的定义域内讨论;②多个单调性相同的单调区间之间不能用并集,要用“,”或“和”隔开.规律总结

(-∞,2),(3,+∞)

③当a=2时,则f'(x)≥0在(0,3)上恒成立,故f(x)在(0,3)上单调递增.④当2<a<3时,则2<x<a时,f'(x)<0,0<x<2或a<x<3时,f'(x)>0,f(x)在(0,2),(a,3)上单调递增,在(2,a)上单调递减.⑤当a≥3时,x-a<0,则0<x<2时,f'(x)>0,2<x<3时,f'(x)<0,f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减.综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增;当0<a<2时,f(x)在(0,a),(2,3)上单调递增,在(a,2)上单调递减;当a=2时,f(x)在(0,3)上单调递增;当2<a<3时,f(x)在(0,2),(a,3)上单调递增,在(2,a)上单调递减;当a≥3时,

f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减.1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.2.划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数值为零的点和函数的间断点.3.若导函数为二次函数式,首先看能否因式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;若不能因式分解,则需讨论判别式Δ的正负,二次项系数的正负,两根的大小及根是否在定义域内.规律总结

C

D

D1.根据函数单调性求参数的方法(1)f(x)在(a,b)上为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.(2)函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解附近左右两侧导数是否异号).2.利用导数比较大小或解不等式,其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小或解不等式.规律总结

B

C

高考真题教材典题(2023·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.讨论f(x)的单调性.(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T19节选)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.讨论f(x)的单调性.规律总结

课时作业181.(5分)已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(

)基础巩固D解析:由函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象可知,当x<0时,f'(x)<0,y=f(x)在(-∞,0)上单调递减,可排除A,C;当0<x<2时,f'(x)>0,y=f(x)在(0,2)上单调递增,可排除B;当x>2时,f'(x)<0,y=f(x)在(2,+∞)上单调递减,D均符合,故D正确.故选D.

C

A

D5.(5分)已知函数f(x)=2x+cos2x,则

(

)A.f(e)<f(π)<f(3)B.f(e)<f(3)<f(π)C.f(π)<f(3)<f(e)D.f(π)<f(e)<f(3)解析:由f(x)=2x+cos

2x,得f'(x)=2-2sin

2x=2(1-sin

2x),对于x∈R,都有

sin

2x≤1成立,故f'(x)≥0,即函数f(x)=2x+cos

2x在R上单调递增.又e<3<π,所以f(e)<f(3)<f(π).故选B.B

B

ACD

AC

[1,+∞)11.(19分)(2025·云南丽江三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(2x)=2f(x)+1,且f(1)=2.(1)求f(4)的值;解:因为f(1)=2,所以f(2)=2f(1)+1=5,f(4)=2f(2)+1=11.

12.(19分)已知函数f(x)=ex+me-x+(m-1)x.(1)当m=0时,求证:f(x)≥1恒成立;解:证明:由已知,当m=0时,f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1.令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(0)=1.

①当-1<m<0时,x2<x1,且当x∈(-∞,ln(-m))∪(0,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(ln(-m),0)时,f'(x)<0,即函数f(x)在(-∞,ln(-m))和(0,+∞)上单调递增,在(ln(-m),0)上单调递减.②当m=-1时,x1=x2,即f'(x)≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增.③当m<-1时,x2>x1,且当x∈(-∞,0)∪(ln(-m),+∞)时,f'(x)>0,当x∈(0,ln(-m))时,f'(x)<0,即函数f(x)在(-∞,0)和(ln(-m),+∞)上单调递增,在(0,ln(-m))上单调递减.综上所述,当m≥0时,函数f(x)