苏科版八年级数学下册第10章《分式》复习学案

2026年春八年级数学下册导学案

主备人：班级学生姓名：

课题：第io章分式复习

复习目标：

|、切实把握分式的概念，分式的基本性质，能娴熟地进行分式变形及约分通分。

2、能精确.娴熟地进行分式的乘除.加减以及混合运算。

3、明确解分式方程的步骤，能列出可化为一兀一次方程的分式方程解决简洁的实际问题。

4、培养同学积极参与，合作沟通的意识。

复习重点:分式的混合运算。

复习难点:分式方程的应用。

一、本章知识结构：

二、要点回顾：

1、分式的概念

一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式2叫作分式（fraclion）,

其中A是分式的分子，B是分式的分母，且BH0.

（1）分式的值

用具体的数值代替分式中的字母，那么分式就变成了分数的算式，运算结果就是相应的分式的值.

（2）分式有意义的条件、分式的值为零的条件

分式中，字母的取值使分式的分母不为零，简单地说，分式有意义的条件是分式的分母不等于0。

如果分式中字母所取的值使分母的值为0,那么此时分式没有意义。

分式的值为零的条件是分式的分子为零且分母不等于零，

2、分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示:

AA'xCAA—C

2二C—上，白二土其中A,B是整式，C是不等于。的整式.

BBxCBB+C

应用：分式符号变换的规律——符号法则：

分式的分子、分母以及分式本身的三个符号中，同时变换其中的任何两个，分式的值不变。

3、分式的约分：

根据分式的基本性质，把一人分式的分了•和分母分别除以它们的公因式，叫作分式的约分。

分式约分的依据是分式的基本性质；分式约分的目的是将分数化成最简分式或整式；

分式约分的关键是找准公因式，对于分子、分母是多项式，要先将分子或分母因式分解，

再将其转化为因式乘积的形式，然后进行约分。分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

4、分式的通分：

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分；

变形后的分母叫作这几个分式的公分母通分的关键是确定最简公分母，在求最简公分母时应注意:

（1）如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数时）的最小公倍数与所有字母

的最高次哥的根叫作这儿个分式的最简公分母。

（2）当分母是多项式时，一般应先考虑分解因式。

5、分式加减法的法则：

同分母的分式相加减，分母天变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，再加减。

e3口土一“b、cb±cb,cbd,acbd±ac

用符号表不为：一土一=----，一±—=—±-=--------O

aaaadadadad

若在加减运算中含有整式应视其分母为1进行通分；

分式相加减所得的结果通常应化为最简分式或整式。

6、分式乘法、除法的运算法则：

分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

e•口士一乂bdbdbdbcbe

用符号表不为：一•一=—；—+—=_•-=—。

acacacadad

分式乘法、除法的运算结果应该是最简分式或是一个整式.

7、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算要按从左到右的顺序进行。

分式的加减乘除混合运算先乘除，后加减，如果有括号，则先进行括号内的运算。

注意：①正确运用法则；②注意运算顺序：③注意正确运用运算律。

8、分式方程的概念：

等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫作分式方程（Gaclionalequation）.

9、增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根,

解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根。

10、解分式方程的步骤；

①去分母，在方程两边都乘以最简公分母化为整式方程；

②解这个整武方程；

③验根，把整式方程的根代入最简公分母，若最简公母的值为零，则这个根是原方程的增根，

必须舍去，若最简公分母穴为零，则这个根是原方程的根。

11、列分式方程解应用题的步骤：

（1）设未知数；（2）找出相等关系，列出方程；（3）解这个分式方程；

（4）检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；（5）写出答案.

解方程检验有两个方面，一是看所设数值是不是原方程的增根，二是检查所设的解是否合乎实际意义。

三、问题研讨：

例I、x取什么值时，下列分式有意义；分式值为零。

x+22A2—2

（1）--------；（2）-----------o

2x+13.v—3

,,,、「八11I、2x-3冷，+2y..

例2、(1)已知一+—=8,求-------------的值。

xyx+2xy+y

JV1y?]

(2)已如xly=-4,xy=-12,求I的值.

y+ix+\

（\\x~—2x+I

例3、（1）先化简'再求值：卜+=|「^,其中x=-5・

_3-a(。5、的值，其中。=一,

⑵求五丁"2

a—2,2

例4、解下列方程:

2x+94x-7c

(1)------=--------F2

3x-9x-3

例5、某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机耕人的工作效率是一名分拣工人的20倍7

若用一台机器人分拣8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少用^h.求一台机器人

3

每小时可分拣多少件货物。

四、拓展提高：

1、由±2＜±3，3＜42,4=＜巳5，…写出一般规律并证明。

344556

2、对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：(1)若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相

似方程”；(2)若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”。

7r-i-14

①判断一元一次方程3-2(l-x)=4x与分式方程之是否为“相彳以方程”，并说明理由；

②已知关于x,y的方程y=mx+6与关于s,t的方程s=l+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.

五、强化训练:

I、下列各式中，正确的是)

a+maa+bab-\b-\2x-2y2

A、-----=-B、-----=0C、-----=-----D、———T=--------

b+mba+bac-\c-\x-yx+y

3r-3

2、如果分式土1的值是正整数，那么整数x一定是（）

x2-l

A、0B、2C、0或2D、-2或0

3、要使分式工二和'一的值互为相反数，则x的取值范座是（）

x-33-x

A、x<0B、xNO且x#3C、x=0D、xf3

4

4、分式——的值是整数，则m整数为_________________。

"7-1

5、已知关于x的方程之二^=3的解是负数，则m的取值范围为。

x+1

6、设次昭=1,则三^—+——+---的值为。

7、先化简（1+二二）+孚-，然后请你给a选取一个合适的值，再求此时原式的值。

a-2〃“一4

8、解方程

5戈一44x+1012

(1)-----=---------1

x-23x-6⑵'1-2x

2025a2-20266/-1=0,

9、已知|i且aw/?,求代数式,+J.的值。

2025。=—+2026,ab

10、某旅行社组织“深度文化游”与“快速观光游”两种汉文化研学线路.选择“深度文化游”需步行5km,

并在汉画像石馆停留20min：选择“快速观光游”需乘坐电瓶车，全程6km（无停留）.已知电瓶主速度为步

行速度的1.5倍，“快速观光游”比“深度文化游”全程少用30min,则“深度文化游”步行时平均每小时走

多少千米？

解答：

三、问题研讨：

例1、解：(1)当存-0.5时，分式二上有意义；当x=-2时，分式三％值为零；

2x4-12x4-1

?r2-22/-2

(2)当x*时，分式三一三有意义；(1)当x=-l时，分式三一三值为零。

3x—33x—3

例2、解:(1)v-+-=8,.-.xy#),两边同乘以xy,得y+x=8xy

xy

2x-3xy+2y_2(y+x)-3xy_2xSxy-3xy_13xy_〔

•,*———=1.o3；

x+2xy+y(y+x)+2xy8.9+2xy1()A)?

(2)：x+y=-4,xy=—12,

.x+ly+\_(x+1)2+(y+l)2_(x+y+\)2-2xy+\_(-4+1)2-2x(-12)+l_5

y+1x+\(y+l)(x+1)孙+x+y+l-12-4+13

例，解：⑴"官产？言二告

原式=土也-5+2_1

当x=-5时,

x-1-5-1-2

2a-41a-2j2(a-2)a-22(〃-2)(〃+3)(〃-3)2(〃+3)

当。=--^时，原式二-------------=--.

2c/1i5

2x(--+3)

,、2x+94x-7c

例4、解:(I)------=------+2；

3x-9x-3

方程两边同时乘以3(x-1),得2x+9=3(4x-7)+2x3(x-3)，解之得，x=3

检验：当x=3时，3(X—3)=0,x=2是增根，.•.原方程无解。

1111__-1______-_1_____

x-5x-6x-8x-9(x-5)(x-6)(x-8Xx-9)

(x-5)(x-6)=(x-8)(x-9),x2-11X+30=X2-17X+72,解之得，x=7.

经检验：x=7是原方程的解。

例5、解：设一名工人每小时可分拣x件货物，则一台机器人每小时可分拣20x件货物。

QHHQonnn7

根据题意，得"2-竺？=解之得x=150,经检验：x=150是原方程的解。

16x20.v3

20x=30(X).答：一台机器人每小时可分拣3000件货物.

四、拓展提高：

1、解：一般规律为‘一<5(吟2且n为正整数)。

〃+17?+2

n〃+1〃(〃+2)—(〃+1尸1

证明:------------=------------------=---------------

n+1n+2(〃+1)(〃+2)(/?+1)(/?+2)

、「、，十水&皿，、，八n〃〃+1/八〃/〃+1

,:吟2且n为正整数，(n+1)(n+2)>0,------------<0,-----<-----。

〃+1〃+2n+\〃+2

7r-k14

2、解：①一元一次方程3-2(l-x)=4x与分式方程二——1=——不是否为“相似方程”。

2x-14r-1

12x+14I

理由如下：3-2(l-x)=4x,解之得，x=-;解方程三二一1=一一得，x=-

22x-i4X2-12

检验：当.丫=—时，(2x+1)(2x—1)=0,x=L是增根，.•.原方程无解。

22

•••一元一次方程3-2(l-x)=4x与分式方程2三尤——+11=—4—不是否为“相似方程”。

2x-14X2-1

②由题意，两个方程有相同的整数解。.•.mx+6=x+4m,.•.(m-l)x=4m6

47力一6o

当m-l=0时，方程无解；当m-l#0时，即m^l时，x=------=4-------。

m-\m—1

•x,y均为整数，;1"2,3,0,-1,又,••m为正整数。••.m=2或3。

五、强化训练：

1、D2、C3、B4、-3或-1或。或2或3或5。

5、m>-3且m#-26、1

ch,,13、a+1a+\（6/+2）3-2）.

7、解：（1+--------）4-———=---------•---------------------=d+2；

a-2a~-4a-2a+\

要使原分式有意义,则a-2刈且a+1并且a?-4翔，:■・2,-1,2

可取a=0,则原式=0+2=2.

5x-44x+10,

8、解:（I）----------=----------------1

x—23x—6

方程两边同时乘以3