高考物理一轮复习（人教版）第11章 专项强化22 带电粒子在立体空间中的运动

专题强化二十二带电粒子在立体空间中的运动

【目标要求】1.会处理带电粒子在匀强磁场中的螺旋线运动和叠加场中的旋进运动.2.掌握带

电粒子在立体空间中的运动的解题思路和处理方法.

题型一带电粒子的螺旋线运动和旋进运动

空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的.现在主要讨

论两种情况：

(I)空间中只存在匀强磁场,当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒

子在磁场中就做螺旋线运动.这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁

场平面的匀速圆周运动.

(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进

运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运

动.

ma如图所示，质子以初速度。进入磁感应强度为8且足够大的匀强磁场中，速度方向与

磁场方向的夹角为"已知质子的质量为〃八电荷量为e.质子重力不计，则下列说法正确的是

()

B

A.质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里

B.质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为竺誓

eB

C.质子做螺旋线运动的周期为

eBsin0

D.一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为列空誓

答案D

解析将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度v}=vsin0,沿磁场方向的速度t?2=ycos

0,质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则质子运动的轨迹为

螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行磁场方向，选项A错误；质子做螺旋线运动的半径为〃=要

筌，选项B错误；质子做螺旋线运动的周期为7=言=芋选项C错误；一个周期

CZJ

内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离（即螺距）为x=tb7="：°s,选项D正确.

eB

【例2】（2023•山东荷泽市模拟）在空间中存在水平向右的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大

小为8,电场强度大小为E,方向均沿x轴水平向右.右。点，一个a粒子（氮原子核）以速

度内沿与x轴夹角为60。的方向射入电、磁场，已知质子质量为〃?、电荷量为g,不计a粒

子的重力.求：

B

/如

%0。E

X

（Da粒子离x轴的最远距离;

（2）a粒子从。点射出后，第3次与x轴相交时的动能.

2J5mvo-12兀〃?E,,6nE

答案（if-（2）2〃加

解析（1）由题意可知a粒子的质量为/“a=4"j、电荷量为＜/a=2q,将a粒子的初速度分解成

沿X轴方向的分速度。*与垂直X轴方向的分速度外,则有

1J3

4=%cos60。=/，%=%sin6O°=-y-uo

由于内与磁场方向平行，不受洛伦兹力影响，电场方向沿着x轴方向，只影响内，不影响

vy,故a粒子在电、磁场中的运动可分解为：垂直于x轴的平面

内做匀速圆周运动，沿x轴方向做匀加速直线运动.对于垂直于x轴平面内的匀速圆周运动，

有%%8=〃?=，解得圆周运动半径/，=驾=驾=妈巴，故a粒子离x轴的最远距离是

rquB2qBqB

直径的长度，即为26：°°；

qB

（2）a粒子从。点射出后，第3次与x轴相交时，由于在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，

可知此过程经历的时间/=37=3义—G啰=—1O等，沿x轴方向的匀加速直线运动所通过的位移

qaBqB

,1、，-二q/qE“…6nm,6兀E

x=vt-\--at-,又加速度。=—=—,解得X=F（%+-^-）

x22mqBB

a粒子从。点射出后到第3次与x轴相交的过程，由动能定理有%"=&一嬴劭2

联立解得a粒子从。点射出后，第3次与x轴相交时的动能以=2〃切02+口："々%+半）.

题型二带电粒子在立体空间中的偏转

分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系.带

电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律,

再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题.有时需要将粒子的运动分

解为两个互相垂直的平面内的运动(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解.

【例3】(2022・山东卷•17)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场

约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Qx产中，0<z，空

间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为8,方向沿x轴正方向；-3dWz<0,的空间内

充满匀强磁场II,磁感应强度大小为好8,方向平行于xQy平面，与x轴正方向夹角为45。；

z<(),yWO的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场.质量为机、带电量为+q的离子甲，从

yOz平面第三象限内距〉轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为从

在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点。沿z轴正方向进入磁场【.不计离子重力.

_______

(1)当离子甲从4点出射速度为。o时，求电场强度的大小已

(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度/

(3)离子甲以萼的速度从。点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场【，求第四次穿过xQy

平面的位置坐标(用d表示)；

(4)当离子甲以密的速度从。点进入磁场I时，质量为4阳、带电量为+q的离子乙，也从。

点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场I,求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第

一个交点的时间差4(忽略离子间相互作用).

答案⑴,*si广。s夕Q)&

⑶(440)(4)(2+2及危

解析(1)如图所示

将离子甲在力点的出射速度即分解到沿y轴方向和Z轴方向，离子受到的静电力沿y制负方

向，可知离子沿Z轴方向做匀速直线运动，沿y轴方向做匀减速直线运动，从力到。的过程,

有

=延

L=VQCOSfit,vsinfi=at,a

om

联立解得

(2)如图所示

mv\

离子从坐标原点。沿z轴正方向进入磁场I中，由洛伦兹力提供向心力可得夕。归

f\

离子经过磁场I偏转后从'轴进入磁场I［中,由洛伦兹力提供向心力可得如/*4mv\

5

可得ru=y/2ri

为了使离子在磁场中运动，需满足mWd,打W3d

则可得6W出

m

故要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为幽；

ni

(3)离子甲以。=缪的速度从。点沿z轴正方向第一次穿过八Qy面进入磁场I,离子在磁场I

2m

中的枕迹半径为门="=：

qB2

离子在磁场H中的轨迹半径为,・2=§

离子从O点第一次穿过到第四次穿过xQy平面的运动情景，如图所示

禹子第四次穿过xQy平面的x

.v4=272sin45°="

离子第四次穿过xQy平面的y坐标为y4=2r\=cl

故离子第四次穿过直力平面的位置坐标为(d,J,0)：

(4)设离子乙的速度为小,根据离子甲、乙动能相同，可得gmo2=；x4〃m'2

可得。,亍v匕qBd

离子乙在磁场I中的就迹半径为

Amv1

厂1——=J=2n

qB

离子乙在磁场H中的批迹半径为

f

r2=4吗=及d=2/2

根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示,

从。点进入磁场到轨迹第一个交点的过程，有

=(4+4

可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为加=/乙一%=(2+2及片.

qB

课时精练

1.（2022•重庆卷・5）2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录.为粗略了

解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理

想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为磁感应强度大小

为8.若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为

0，垂直于磁场方向的分量大小为火,不计离子重力，则（）

A.电场力的瞬时功率为qEj功2+62

B.该离子受到的洛伦兹力大小为皎1

C.6与。的比值不断变大

D.该离子的加速度大小不变

答案D

解析根据功率的计算公式可知P=Gcos仇则电场力的瞬时功率为A错误；由

于0与磁场4平行，则根据洛伦兹力的计算公式知“浴="28,B错误；根据运动的叠加原

理可知，离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做加速运动，则0增大，力不

变，利与小的比值不断变小，C错误；离子受到的安培力不变，静电力不变，则该潟子的加

速度大小不变，D正确.

2.如图所示，竖直平面MNKS的右侧存在方向轻直向上且足够大的匀强磁场，从平面

上的O点处以初速度v0=10m/s垂直MNHS面向右抛出一带电荷量为q、质量为m的小

球.若磁感应强度大小5=—,g取10m/s?.求:

q

（1）小球离开磁场时的速度大小：

（2）小球离开磁场时的位置与抛出点的距离.

答案(l)10-/2m/s(2舟—+16m

7T

解析（1）小球在水平方向敞勺速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动，水平方向小球恰好

rry

转半个周期离开磁场，故离开磁场的时间为/=:=t=lS,则离开磁场时在竖直方向上的速

2qB

度%=g/=10m/s,故小球离开磁场时的速度大小为。=Jo（）2+qy2=]oJJm/s.

（2）小球离开磁场时在竖直方向的位移大小为y=gg5=5[必小球在水平方向做匀速圆周运动

有夕。（）8=解得R=W，水平方向位移为直径，即x=2R=«*="m,则小球离开

RqBqBn

磁场时的位置与抛出点的距离为s=7x24-y2=-JTC24-16m.

71

3.某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为A的圆柱腔分为两个工作区，【区长

度d=4R,内有沿y轴止网的匀强电场，II区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正

向的匀强电场，电场强度与I区电场强度等大.现有一正离子从左侧截面的最低点力处以初

速度内沿z轴正向进入【区，经过两个区域分界面上的8点进入H区，在以后的运动过程中

恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，4点和C点均为所在截面处竖

直半径的中点（如图中所示），已知离子质量为小电荷量为/不计离子重力，求：

⑴电场强度的大小；

（2）离子到达B点时速度的大小;

（3）II区中磁感应强度的大小；

（4）II区的长度£应为多人.

f.3mVfr52mva2TC2

答案⑴Q%o⑶~V■,3-/方?-&（〃=1,2,3,…）

\6Rq4qR32

37?1

解析（1）离子在I区做类平抛运动，根据类平抛运动的规律有4区=班/,y=-«/2,根据牛顿

第二定律有〃=丝，解得电场强度的大小为£=娑二

m16Rq

⑵类平抛过程由动能定理有考出=5那一；叽。2,解得离子到达8点时速度的大小为。=\.

（3）离子在n区内做复杂的旋进运动.将该运动分解为囱柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴

正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如图所示.设

心3

临界圆轨迹半径为八根据几何知识有（/?一「）2=户+彳，解得离子的批迹半径为r=-Rt离子

22

沿y轴正方向的速度为vy=Jv—Vo=^Vo,则根据洛伦兹力提供向心力有qv、B=*~

解得II区中磁感应强度大小为竽.

qR

2T[K

（4）离子在圆柱腔板面上做匀速圆周运动的周期为r=—,由题意知离子在n区运动的时间

为7的整数倍，离子在2轴正方向上做匀加速直线运动，根据力变速直线运动的位移公式可

13〃2j[2

得上=%〃7+5。（〃7）2（〃=1,2,3,…），联立解得H区的长度为£=〃球+不一汽（〃=1,2,3,…）.

4.如图所示，一些质量为小、电荷量为+g的带电粒子从一线状粒子源射出（初速度可视为0）,

经过电压为U的电场加速后，粒子以一定的水平初速度从MS•段垂直射出（S为必产中点），进

入棱长为乙的正方体电磁修正区内（内部有垂直面MPEG的方向如图，磁感应强度B和电场

强度E大小未知的匀强磁场与匀强电场）.距离正方体底部y/3L处有一与RNAG平行且足够

大平板.现以正方体底面中心。在平板的垂直投影点为原点，在平板内建立直角坐标系（其

中x轴与GR平行）.所有带电粒子都从正方体底面离开，且从M点进入正方体的粒子在正方

体中运动的时间满足瑞不计粒子重力.

（1）求粒子进入棱长为L的正方体电磁修正区时速度的大小;

（2）粒子射出正方体电磁修正区后到达平板所需的时间;

qUB?

（3）若满足关系式£=,求从M点入射的粒子最后打到平板上的位置坐标.（结果用L

27t2”?

解析（1）设粒子进入棱长为L的正方体电磁修正区时的速度大小为〃根据动能定理有4U=

严*解得。=

(2)在正方体中，粒子在平行于M尸AG平面方向的分运动为匀速圆周运动，在垂直于MPRG

平面方向的分运动为匀加速直线运动，设粒子做圆周运动的周期为「根据洛伦兹力提供向

..V2_2nR「-271m

心力有又7=；-,联互解得7=访

。rjy

从M点进入正方体的粒子在正方体中的运动时间为，1=咨=[所以粒子做圆周运动转过的