2026年湖南中考数学复习变式阶梯训练第17~18题（解析版）

一、原题17

1.如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正1边形,连接

AC,BD,4c与8。交于点M,NAMB=_________.

AH

DE

【答案】45°

【解析】【解答】解:•••多边形ABCDEFGH是正八边形

360°

•••AB=BC=DC、Z-ABC=(BCD=180°——=135°

o

----------«----------=22.5

AAMB=Z-BCA+(CBD=2x22.5°=45°

故答案为：45°.

【分析】由正八边形的各边相等，各内角都等于135。，则利用等腰三角形的内角和可得NC80=乙8c4=

22.5。，再利用三角形的外角性质即可.

二、变式1基础

2.一人正多边形的每个外角都等于36。，那么它是边形.

【答案】正十

【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n,根据外角和定理知：几=梨=10,

所以这个正多边形是正十边形，

故答案为：正十.

【分析】本题考查的是多边形外角和定理：多边形的外角和为360。.对于正多边形，它的各个外角都相等,

所以用外角和除以一个外角的度数，就能得到边数.

3.七边形的外角和是度.

【答案】360

【解析】【解答】根据多边形的外角和定理可知，任何n边形（兀23）的外角和均为360。，

故答案为：360.

【分析】根据多边形的外角和定理可知，即可确定答案.

4.若一个多边形的每个外角均为60。，则这个多边形的边数为.

第1页

【答案】6

【解析】【解答】解：360・60=6.

故这个多边形边数为6.

故答案为：6.

【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数.

三、变式2巩固

5.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形（边相等，内角相

等），从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.图2是八带形窗户的示意图，它的一个外角N1的大

小为_________

图1图2

【答案】45

【解析】【解答】解：正八边形的外角N1=等=45。

O

故答案为：45.

【分析】由于正多边形内角都相等，根据邻补角定义可得其外角也都相等，而多边形的外角和为360。，从而

用外角和的总度数除以外角的个数即可求出一个外角的度数.

6.如图，A,B,C,D为一个外弟为40。的正多边形的顶点.若点O为正多边形的中心，则

【答案】300

【解析】【解答】解：连接OB,OC,如图：正多边形的每个外角相等且其和为360。,

据此，可得正多边形的边数n=^=9,

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・・・乙力08=40。,

.\ZAOD=40°x3=120°

180°—〃0。

AzO4D==30°

2

故答案为:30°.

【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360。，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正

多边形的中心角的概念求出NAOD的度数，再由正多边形的半径OA=OD,根据等腰三角形的性质求解即可

7.图①是一种彭罗斯地砖图案，它是由形如图②的两种“胖”“瘦”菱形拼接而成（不重叠、无缝隙），则图②

中4a的度数为.

【答案】360

【解析】【解答】解：如图,

=72。,

(10-2)x180。

Z-CAB==144%

10

1440-72°

••a==36°.

2

故答案为：36°.

【分析】根据周角求出/DEP的度数，结合两组的对角相等得出/DAP的度数，根据正多边形的内角和公式

求出正十边形的内角的度数，结合图形即可求解.

四、变式3提高

8.用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为

360°）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案.如图所示的“半正密

铺”图案，每个顶点上和为360。的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号

（4,8,8）表示.请尝试用正二角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表

示.（写出一种即可）

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【答案】（3,366）（答案不唯一）

【解析】【解答】解：•・•正三角形的一个内角的度数为60。，正六边形的一个度数为：（6-2,180。=120。,

O

V600+60°+120°+120°=360°,

・••每个顶点上和为360。的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角，

・•・用记号表示为：（336,6）：

故答案为：（3,3,6,6）.

【分析】根据正n边形一个内角的度数为“空窄幽，，求出正三角形及正六边形的一个内角的度数，再根据

“半密铺”图案的定义进行求解即可.

9.将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为3600。，则原来多边形的边数

为.（用阿拉伯数字表示）

【答案】21或22或23

【解析】【解答】解：设新多边形的边数为n,

•・•新的多边形的内角利为3600。，

/.（n-2）-1800=3600°,

解得：n=22,

•・•多边形截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1,

.,.22-1=21^22+1=23,

・•・原来多边形的边数为21或22或23,

故答案为：21或22或23.

【分析】由多边形的内角和公式（九-2）•180。求出新多边形的边数，可知截去一个角后多边形的边数可以增

加1、不变、减少1,据此分三种情况进行求解即可.

10.如图，CD||AF,乙CDE=々BAF,AB1BC,NC=120°,/E=80°，则乙F的度数为

【答案】130°

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cD

【解析】【解答】解：如图，延长CB交FA的延长线于点G,

VCD//AF,ZC=120°,

・•・ZG=180°-ZC=60°,

VABIBC,

.\ZGBA=ZCBA=90°,

・•・ZBAF=ZG+ZGBA=600+90°=150°,

••・ZCDE=ZBAF=15O°,

ZBAF+ZF+ZE+ZCDE+ZC+ZABC=180°x（6-2）=720°,

.\ZF=130°.

故答案为：130。.

【分析】延长CB交FA的延长线于点G,由平行线的性质可得NG=180O-NC=6（）。，由垂直的定义可得

ZGBA=ZCBA=90°,利用三角形外角的性质可得NCDE=NBAF=NG+NGBA=150。，再求出六边形的内角

和，继而求解.

五、原题18

11.已知，a，4c是△ABC的三条边长，记［=（）比+<）〃，其中攵为整数.

（1）若三角形为等边三角形，贝卜=;

（2）下列结论正确的是.（写出所有正确的结论）

①若攵=2,f=1,则AABC为宜角三角形；

②若%=1,a=ib4-2/c=1>则5V1V11；

③若k=l,a,b,。为三个连续整数，且aVbVc,则满足条件的△ABC的个数为7.

【答案】（1）2

⑵①②

【解析】【解答］解：（1）•••△ABC是等边三角形

••a=b=c

（2）①若仁2,，=1,则总）

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:.a2+b2=c2

•••△43C足直角二角形

②若k=l,a=)b+2,c=1

则t=g"+(?)，=a+)=，b+2+b=1b+2

a-b<c

••.4b+2—b=l，解得：b>2

a+c>b

4b+2+l=b，解得：b<6

2<b<6

0q

•，•,^,x2+2<t<^x6+2»即5V£V11

③若A=l,£4，〃，b,c为三个连续整数，且aVbVc,

◊

二匕=Q+1、C=Q+2

a+b>c

•••2Q+1>Q+2,解得Q>1

aba+b2a+15

k+(Rk=

3(2Q+1)45(a+2),解得Q47

1Va《7

故满足条件的Q的值有6个，即满足条件的△ABC的个数为6个

故答案为：①②.

【分析】(1)由于等边三角形的三边相等，则称=9=1,而1的任意次事都等于1,故t=2；

(2)①若仁2,1=1,则()2+〔的2=1,即三边恰好满足勾股定理，故结论正确：

②若/,=1,Q=鼻+2,°=1，贝股=，+2,此时借助三角形三边关系定理可确定边b的取值范围为2V

b<6,代入计算得5VCV11,故结论正确；

5

若k

-<-

©■-3C为三个连续整数，旦贝山=Q+l、C=Q+2,由三边关系定理可得

a>1,再结合己知可得£=的等《品解得a47,即1VQ47,则满足条件的dBC的个数为6个，故结

论错误.

六、变式1(基础)

12.己知在△ABC中，AB=5,BC=12,AC=13,则AC边上的中线BD的长为

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【答案】6.5

222

【解析】【解答】解：V5+12=13

・•・三角形ABC是直角三角形

，BD弓AO6.5

故答案为：6.5.

【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足。2+力2=。2s时，该三角形是直角三角形；

根据直角三角形斜边上的中线性质，斜边中线长度斜边的长度求解即可.

13.如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=15,AD=12,AC=13,CD=5,则BC的长为.

【解析】【解答】解：・・・52+122=132

・•・三角形ADC是直角三角形，ZADC=90°

.\ZADB=ZADC=90°

***BD=V152-122=9

.\BC=BD+DC=9+5=14

故答案为：14.

【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、C满足。2+82=。2s时，该三角形是直角三角形；根

据勾股定理，可得BD的长，进而可以求出BC的值.

14.若三角形的三边长为5,12,13,则它最长边上的高线长为.

【答案】g

【解析】【解答】解：・・・52+122=132,

・•・此三角形是直角三角形，

设最长边上的高为h,

由三角形的面积，得4X5X12=4X13X/I,

解得：九=瑞.

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故答案为：瞿.

【分析】根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为

直角得出此三角形是直角三角形，根据三角形的面积即可列出方程，解方程求出h的值即可.

七、变式2（巩固）

15.在等边△48C中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且EO=EC,若A/WC的边长为6,AE=

12,则ABEO的面积为.

【答案】186或54k

【解析】【解答】解：①当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图I所示，

过E作EF_LBD,垂足为F点，可得NEFB=90。，

VEC=ED,

・・・F为CD的中点，BPCF=DF=^CD

V△ABC为等边三角形，

・•・ZABC=60°

・•・ZBEF=30°,

VBE=AB+AE=6+12=18,

：.FB*EB=9,

：.CF=FB-BC=9-6=3

ACD=2CF=6,EF=9x/3

ABD=BC+CD=12,

:，S△Um=2xBDxEF=54-73

②当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时•，如图2所示,

过E作EF_LBD,垂足为F点，可得/EFO90。，

图2

VEC=ED,

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・・・F为CD的中点，即C尸=05

♦・•△ABC为等边三角形，

.\ZABC=ZEBF=60°,ZBEF=30°,

VBE=AE-AB=12-6=6,

；・FB=*BE=3,

/.CF=DF=BC+FB=9

:・EF=3V3

,=2xBDxEF=18>/3

故答案为：18VJ或54遍.

【分析】分情况讨论：①当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图I所示，过E作

EF1BD,垂足为F点；②当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作

EF1BD,垂足为F点，即可得出结论.

16.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB：AD=3：5,过D作CB所在

直线的垂线，垂足为E,连结CD,F为DC中点，则线段EF的长是.

【答案】V19

【解析】【解答】解：AABC是边长为6的等边三角形,

：.AB=BC=AC=6,4BAC=60°,

VABtAD=3:5,

：.AD=10,

：.BD=AD-AB=4,

作力HJ.8C,则：4BAH=30。，

■:DE1BC,

：.DE||AH,

：.^DEB=/.BAH=30°,

：-BE=^BD=2,

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:.DE=如BE=26，CE=BC+BE=8,

­­CD=\/DE2+CE2=2g，

•・,万为DC中点,

：-EFCD=V19.

故答案为：719.

【分析】作AHI8C,有DE||AH,根据等边三角形的性质三线合一，得到乙8AH=30。，求出0E,8E的长,

进而求出CE的长，由勾股定理求出CO的长，再利用斜边.上的中线d等于斜边的一般，即可解答.

17.如图，点E在力C边上，点F在边上，将等边△“EC沿E"折睿，使点A落在边上的点D的位置，

FD1AB,若CO的长是1,则等边AABC的边长为.

【答案】V3+2

【解析】【解答】解：设=

•「△ABC是等边三角形，

-'-AB=BC,乙B=60%

〈FD1AB,

：・乙BFD=90°,

，乙BDF=900-Z-B=30°,

:・BD=2BF=2m,

••DF=y/BD2-BF2=y/(2m)2-m2=V3m»

•・•折叠的性质,

••AF=DF=遍m，

'：AF+8尸=8。+CD,CD=1,

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V3m+m=2m+1,

解得：巾=与1，

**-5C=2m+l=2x+1=冉+2,

故答案为：V3+2.

【分析】设BF=m,根据等边三角形的性质得AB=BC,乙8=60。，从而得480尸=30。，进而由含30。的

直角三角形的性质得80=2m,于是利用勾股定理求得加，由折叠的性质得4F=DF=bm，然后

由A8=8(7可得到关于m的方程，解方程即可.

八、变式3(提高)

18.如图，点C,D在线段AB上(点C在点A,D之间)，分别以AD,BC为边向同侧作等边三角形ADE

与等边三角形CBF,边长分别为a,b,CF与DE交于点H,延长AE,BF交于点G,AG的长为c.

(1)若四边形EHFG的周长与ACDH的周长相等，则a,b,c之间的等量关系为；

(2)若四边形EHFG的面积与ACDH的面积相等，则a,b,c之间的等量关系为,

【答案】(1)5a+5b=7c

(2)a2+b2=c2

【解析】【解答】解：(1)•・•△ADE和aCBF是等边三角形，

ZA=ZADE=ZB=ZBCF=60°,

•••△CDH和△ABG是等边三角形，DE〃BG,CF〃AG,

，四边形EHFG是平行四边形，AB=AG=BG=c,CH=DH=CD=AD+BC-AB=a+b-c,

AEG=AG-AE=c-a,GF=BG-BF=c-b,

•・•四边形EHFG的周长与^CDH的周长相等，

/.2[(c-a)+(c-b)]=3(a+b-c),

整理得：5a+5b=7c,

故答案为：5a+5b=7c；

(2),/S四边形EHFG二SAABG-SABCF-SAADE+SACDH,四边形EHFG的面积与aCDH的面积相等，

SAABG-SABCF-SAADE+SACDH=SACDH.

•*.SAABG=SABCF+SAADE,

VAABG,△ADE和△CBF是等边三角形,

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•432v"2"3,2

•­c=~4a，

•*«a24-d2=c2

故答案为：a2b2=c2.

【分析】（1）由△ADE和ZkCBF是等边三角形，可得^CDH和AABG是等边三角形，DE〃BG,

CF〃AG,即知EG=AG-AE=c-a,GF=BG-BF=c-b,根据四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，可得

5a+5b=7c；

（2）由S四边形EHFG=SAABG-SABCF&ADE+SACDH,四边形EHFG的面积与^CDH的面积相等，可得

SAABG=SABCF+SAADE>得Q2+/J2=C2.

19.如图，己知等边△ABC的边长是12,AD1BC.

（1）BD=；

（2）若点P在线段AD上运动，则劣AP+BP的最小值是.

【答案】（1）6

⑵6V3

【解析】【解答】解：•・•等边△ABC的边长是12,

-'-AB=AC=BC=12,

'•'AD1BC,

・••点D为BC的中点，

-'•BD=^BC=6,

故答案为：6；

（2）作BE_LAC于点E,交AD于点P,如图：

ABC为等边三角形，且AO_L8C,

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AAD为NBAC的角平分线,

-*-^DAC=^BAC=30%

・・・PE二鼻尸，

•••△/IBC为等边三角形，kBE1AC,

•»AE=14c=6,

・・・BE=MAE=6V5,

当BPJ.AC时，//IP+BP有最小值为：PE+PB=6\/3.

故答案为：6A/3.

【分析】（1）根据三角形中的“三线合一”得到：点D为BC的中点，进而即可求解；

（2）作BELAC于点E,交AD于点P,根据三角形中的“三线合一”得到：AD为NBAC的角平分线，根