第六章 函数与导数解答题策略（学生版）

第六章函数与导数解答题策略

知识梳理

1、对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：(1)定函数(极

值点为元0),即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点X0.

(2)构造函数，即根据极准点构造对称函数F(x)=/(x)—/(2/一])，若证卬,则令

X

(3)判断单调性，即利用导数讨论产(幻的单调性.

(4)比较大小，即判断函数尸(x)在某段区间上的正负，并得出/(x)与/(2%—工)的人小关系.

(5)转化，即利用函数/(外的单调性，将“X)与/(2/一X)的大小关系转化为1与2/-X之间

的关系，进而得到所证或所求.

/\

【注意】若要证明r士廿•的符号问题，还需进一步讨论土上与期的大小，得出土出所在

I2)22

的单调区间，从而得出该处导数值的正负.

构造番函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿

于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内

在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单

调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个

适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能

获得简洁明快的思路，有着非凡的功效

2、应用对数平均不等式而？<[“一：<智殳证明极值点偏移：

Inxt-lnx22

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到告子一；

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

3、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明

题中的不等式即可.

经典真题回顾

I.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知函数/(x)=(l-or)ln(l+x)-x.

(1)当4=—2时，求/(X)的极值；

(2)当x20时，/(x)>0,求。的取值范围.

2.(2024年天津高考数学真题)已知函数=

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

⑵若对任意工1：0,+8)成立，求实数。的值;

(3)若百，再e(0,1),求证：|/(内)-/仇)|引内-占匕

3.(2024年新课标全国H卷数学真题)已知函数/(x)=e'-ax-/.

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程;

(2)若有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.

4.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知函数/(x)=ln'一+ar+〃(x-l)3

2-J

(1)若方=0,且/'(x)N0,求。的最小值；

(2)证明:曲线y=/(x)是中心对称图形;

(3)若/(%)>-2当且仅当1VXV2,求人的取值范围.

5.(2023年北京高考数学真题)设函数f(x)=x-/ear+\曲线y=/(%)在点(1J⑴)处的切线方程为

y=-x+\.

(1)求的值;

(2)设函数g(x)=f(x),求g(M的单调区间；

(3)求f(x)的极值点个数.

6.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)已知函数/(x)=(：+“ln(1+x).

(1)当〃二一1时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程.

⑵若函数“X)在(0,+8)单调递增，求。的取值范围.

7.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知函数/(6=〃-金华0小

cos-xV2

(1)当a=l时,讨论/(x)的单调性；

⑵若/(x)+sinAY。，求。的取值范围.

sinx，汽叼八兀

8.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)已知函数/(幻=以-

cos'x

⑴当a=8时，讨论了⑶的单调性;

(2)若/")<sin2x恒成立，求a的取值范围.

9.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)已知函数/(x)=t+〃

In(l+.r).

⑴当4=-1时，求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)是否存在a,b,使得曲线y=关于直线X=b对称，若存在，求。，。的值，若不存在，说明理由.

(3)若f(A)在(0,+R)存在极值，求〃的取值范围.

(\］、

10.(2023年天津高考数学真题)已知函数/("=一+弓ln(x+l).

(1)求曲线y=/(%)在x=2处的切浅斜率;

(2)求证：当x>0时，/(x)>l；

焉<In(/?!)-

(3)9正明：??+—|In/?+/?<

2

11.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知函数/(x)=〃(er+〃)-x.

⑴讨论的单调性；

3

(2)证明：当〃>0时，,f(x)>2Ina+—.

12.(2023年新课标全国H卷数学真题)(1)证明：当0<xv1时，x—fvsinxvx;

(2)已知函数/(x)=cosor-，若x=()是/(x)的极大值点，求〃的取值范围.

13.(2022年新高考天津数学高考真题)已知a,bwR,函数“x)="—asinxg(x)=力6

(1)求曲线y=外幻在(0J(。))处的切线方程；

(2)若曲线y=/(%)和y=g(x)有公共点，

(i)当a=0时，求b的取值范围；

2

(ii)求证：+/7>e.

考点一：含参数函数单调性讨论

解题思路

1、导函数为含参一次型的函数单调性

导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0,导函数的符号易于判断，当一次项系数

不为雪，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调

区间.

2、导函数为含参二次型函数的单调性

当主导函数(决定导函数符号的函数)为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次

函数在给定区间上根的判定问题.对于此二次函数根的判定有两种情况：

(1)若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；

(2)若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判

定导函数的符号，从而判断原函数的单调性.

3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性

当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰.“再

构造、再求导”是破解函数综合问邈的强大武器.

在此我们首先要清楚/"(x)、/(x)、/(x)之间的联系是如何判断原函数单调性的.

(1)二次求导目的：通过/'*)的符号，来判断尸(x)的单调性;

(2)通过赋特殊值找到了(丫)的零点，来判断/'(X)正负区间，进而得出了(%)单调性.

【典例1・1】设/(X)=(V+aY)]nx+gx2,aeR.

(1)若a=O,求在x=l处的切线方程；

(2)若aeR,试讨论/*)的单调性.

【典例1-2］已知函数/(x)=ln(l—x)+&ln(l+x)«wO.

(1)若函数/(X)存在一条对称轴，求左的值；

(2)求函数/")的单调区间.

【变式1-1］已知函数f(x)=&tx-2mx.

(1)当〃?=2时.求曲线/(x)在点(OJ(O))处的切线方程;

(2)讨论/(力的单调性.

【变式1・2】(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知函数/(x)=x-lnx-2.

(1)求曲线y=/(x)在(e,e-3)处的切线方程；

(2)若aNO,g(x)=o？-23+l)-/(x),讨论函数g(x)的单调性.

高考预测

1.已知函数/(.1)=1111+@-2二讨论当〃>0时，/(X)的单调性.

X

考点二：导数与数列不等式的综合问题

解题思路

在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过

程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法.可以达到

减少运算量的目的.

【典例2・1][新考法](2024・陕西榆林•模拟预测)不动点在数学和应用中具有重要作用，不动点、是指被函

数映射到其自身的点.对于函数/卜)，我们把满足的〃称为函数/(工)的不动点，已知函数

/⑴=/-X?+—X+—.

「24

⑴证明：/(“在(。，£|有唯一的不动点与；

(2)巳知X=0,%]=/(x“),y=(,〉，〃+]=/(%)q=约7〃，且｛与｝的前n项和为S",〃eN'.证明：

①上｝为递增数列，｛)、｝为递减数列，且以＞七；

②s“wi-g.

o

【典例2-2】已知函数/(x)=31n.r+ar2x+3.

⑴讨论函数/(X)极值点的个数；

⑵当4=?时，数列｛%｝满足：4=?可“=卷口+1.求证：｛《｝的前〃项和满足+

【变式2・。［新考法］(2024・高三,辽宁•开学考试)已知函数=(e是自然对数的底数).

(1)若a=2e,求/(、)的极值；

(2)若xe(-L+8),V〃eN*./(x)4(K+2)”-x-3,求。；

(3)利用(2)中求得的。，若尸(x)=f(hu)+x+L数列｛《J满足4«0,1),且q用=*%),证明:

X

2可讨+4+3-1>24+2・

［变式2-2］已知函数/(x)=ln(or+l)-x在点(0.0)处的切线与x轴重合.

(1)求函数/(x)的单调区间与极值；

⑵巳知正项数列｛q｝满足q=1,4用=ln(4+l),〃eN'，记数列｛〃“｝的前〃项和为S“，求证:

Sn>ln(/?+l).

高考预测

1.牛顿(1643—1727)给出了牛顿切线法求方程的近似如图设r是y=/(x)的一个零点，任意选取.”作为

r的初始近似值，过点(&,/(&))作曲线y=/(x)的切线4与x轴的交点为横坐标为阳，称d为/■的1

次近似值，过点作曲线y=f(x)的切线k，,2与x轴的交点为横坐标为x?,称必为r的2次近似

值.一般地，过点(zJ(z))作曲线y=/(幻的切线/“+],&与x轴的交点为横坐标为为川，就称5.1为「

的〃+1次近似值，称数列｛%｝为牛顿数列.

⑴若/(1)=/+%-1的零点为「，/=(),请用牛顿切线法求「的2次近似值;

(2)已知二次函数g(x)有两个不相等的实数根b,c(c>b),数列｛刃｝为g(x)的牛顿数列,数列｛cj满足

*田N)且….

(i)设七向二((七)，求〃(工“)的解析式;

II12

(ii)彳正明：-+—+•••+—<--

G。2%Inc,

考点三：双变量问题

解题思路

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【典例3・1】已知函数/(x)=Mru-x.

(1)求函数/(r)的最值；

⑵若函数g(x)=/(x)-以有两个不同的极值点，记作用,与，且王<占，求证：lg+21iu\>3.

2

【典例3-2］已知函数f(x)=x-ax+2\nxyaGR.

(1)当。=2时，求曲线)，=/(%)在点(1J⑴)处的切线方程;

(2)巳知/*)有两个极值点％W,且A<&，

(i)求实数4的取值范围；

(ii)求2〃％)-/(人的最小值.

【变式3・1】(2024・高三・江苏无锡•期中)已知函数/(x)=e\

(1)若DxeR,不等式，力(x)-x〉0恒成立，求实数"的取值范围；

(2)过点7U1)可以作曲线y=f{x)的两条切线，切点分别为A(a,e“),8优,e").

①求实数7的取值范围；

②证明：若a>〃，则|A7>|87|.

mn

【变式3・2】(2024・四川成都•模拟预测)定义运算：=mq-np,已知函数

pq

In.rx-\1

/(£)=,g(%)=——i-

1ax

⑴若函数/*)的最大值为0,求实数4的值；

⑵证明：

⑶若函数力(x)=/(x)+g(x)存在两个极值点不电，证明：M-f)_〃+2<0.

高考预测

I.已知函数〃x)=lnx-x+a.

⑴若直线y=(e-l)x与函数/(工)的图象相切，求实数〃的值；

/\

(2)若函数g(x)=犷'(X)有两个极低点阳和々，且不<公,证明：.x'+NAl+ln—.(e为自然对数的底

数1

考点四：证明不等式

解题思路

利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))转化为证明/(X)-g(x)>。(或

/(X)-^(X)<O),进而构造辅助函数刀(x)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

(4)对数单身狗，指数找息友

(5)凹凸反转，转化为最值问题

(6)同构变形

【典例4-1】(2024•高三・四川•期中)已知函数/(%)=4x-tanx,xjo,5.

(1)当。=2时,求/*)的单调区间；

(2)若。"2,证明：/(%)<sin2x.

【典例4-2］已知%>0,证明：ex-sinx-1>xinx.

【变式4-1］已知函数/(3)=3犬2-(a+2)x+2〃lnx(awR).

(1)讨论函数f(x)的单调区间;

1I7

(2)当〃=—时，证明：/(%)—x2+-x<xev,1-2.

222

【变式4-2］已知函数/(x)=ox+xln(1+习一(1+x)In(1+x).

(1)若曲线丁一/(“在点(0,/(0))处的切线与x轴可行，求〃的值；

⑵设函数雇")=01口，给出g(v)的定义域，并证明：曲线y=g(x)是轴对称图形;

(3)证明：fl+11<efl一——Y?eN*).

In)I2〃+2p7

高考预测

1.已知函数〃x)=a(e'+a)-x.

(1)当a=l时，求函数在的切线方程;

⑵讨论f(x)的单调性；

(3)证明：当a>0时，/(x)>2lnfl+-.

考点五：极最值问题

【典例5・1】已知函数f(x)=x2-mr+21nx(/neR).

⑴若f(x)在其定义域内单调递增，求实数"，的取值范围；

(2)若4<"?<5,且/3)有两个极值点X],x2,其中$<天，求/(与)一/(工2)的取值范围•

【典例5-2】(2024•四川眉山•一模)已知函数/(x)=e'-u•-2〔aeR).

(1)当。=2时，求/(文)的零点个数；

⑵设a22,函数g(x)=f(x)-+«eA-1.

(i)判断g(x)的单调性；

(ii)若g'(/〃)=g'⑺(，”<〃)，求g(〃?)+g(〃)的最小值.

【变式5・1】(2024・高三・天津・期末)已知函数〃力=心二

⑴求函数/(力在x=l处的切线方程；

(2)令g(x)=/(x)-a(x+lru:).

(i)讨论函数g(x)极值点的个数；

(ii)若是g(x)的一个极值点，且g(%)>0,证明：8(小)>210一片).

【变式5・2】（2024・高三•黑龙江哈尔滨•期中）已知函数/'（x）=Inx+at--.

a

⑴当a=l时，求/（力在处的切线方程；

⑵若/（X）存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范围.

高考预测

1.已知函数/（x）=e、+lnx-cos2x.

/\

⑴判断了"）在区间0彳上的单调性;

乙）

⑵求/（A）在区间号兀上的极值点的个数.

考点六：零点问题

解题思路

函数零点问题的常见考点：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参

数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与•【轴（或直线），=攵）在某区间上的

交点问题；

第二步：利用导数研究该函教在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

【典例6-1]已知曲线/（犬）=。'[1¥+1）在x=l处的切线方程为y=bx-e.

⑴求a,b；

⑵若函数X（x）=/（x）-3e"-〃7有两个零点，求实数〃?的取值范围.

【典例6・2】(2024・高三・湖北•期中)设函数/(耳=卜£卜osi+1.

⑴讨论函数f(x)在区间［0,可上的单调性；

jr

⑵判断并证明函数y=在区间-,y上零点的个数.

【变式6-1】已知/(x)=«GR.

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在旻(1J。))处的切线方程.

(2)若/(x)恰有1个极大值点和1个极小值点.

①求极大值与极小值的和;

②判断零点的个数.

【变式6-2］已知函数/'(x)='-(l+4)x+Hnx.

⑴当a=-l时，求曲线y=/(x)在点(2J(2))处的切线方程;

(2)若有两个零点,求〃的取值范围.

高考预测

1.已知函数/(x)=f-ax+21nx.

(1)当4=5时，求函数/(X)的单调区间；

(2)设〃(x)=sinx+lnx,求证：当时，/(x)-2lnx=*?(工)有且仅有2个不同的零点.

(参考数据：--In-«1.119.n-ln7t«1.997.--In—«3.162,2z-ln2n«4.445)

2222

考点七：不等式恒成立问题

解题思路

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数

后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论

法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区另

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解:

(1)VXGD,

(2)VXGD,

(3)BxeD,

(4)3xeD，

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:

一般地，已知函数y=/(x),xe[a,b],y=g(x),xw[c,"].

(1)若W-Ee[«,/?],有/(X)<g(*2)成立，则/(x)g,<g(x)g,；

(2)若e[«./>],北e[c,d],有〃M)Vg(巧)成立,则/(x)aVg(x)a

(3)若共北永⑷,有/(E)v&(巧)成立,则/(x)n.n<&(x)1n1tx;

(4)若％句,川永力,有/(N)=g(内)成立，则/(x)的值域是g(A)的值域的子集.

【典例74】(2024・高三•天津滨海新•期末)已知函数/(x)=xlnx,g(x)=(a+\)x-a.

(1)当a=1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调区间;

⑵若存在x«l,e]时，使2/*)2一.12+改_3成立，求a的取值范围.

(3)若不等式/(%)-g(x)V(x-a-2)e*T+a对任意xe[l,+oo)恒成立,求实数a的取值范围.

【典例7・2】已知函数f(x)=x---2\nx(aeR).

X

(1)已知/(x)在x=3处取得极小值，求。的值；

(2)对任意xNl,不等式x—且―21nx—l+aN0恒成立，求a的取值范围.

【变式7-1]已知函数/(x)=-L-]nx+l.

(1)求f(x)的极值；

(2)设g(x)=〃x)+丝--l(aeR).

-X

(i)当。＞0时，求函数g(x)的单调区间；

(ii)若g(x)41-工-，在(l,*o)上恒成立，求实数。的取值范围.

X

【变式7・2】(2024•重庆•模拟预测)设。€口，已知函数/(x)=hu+or-〃+2.

⑴当函数/(x)在点(2,/(2))处的切线“与直线/:3x-2)，T=0平行时，求切线皿的方程;

(2)若函数/(x)的图象总是在X轴的下方，求"的取值范围.

高考预测

1.已知oeR,函数/（x）=e'-依一1,^（x）=x-ln（x+l）（e是自然对数的底数）.

⑴讨论函数/。）极值点的个数；

⑵若/（x）=d-如-1N0对任意的XER恒成立，求实数。的值；

⑶在第（2）小题的条件下，若存在xe[0,”），使得了（幻〈依㈤，求实数k的取值范围.

考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题

解题思路

1、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于直极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对

称性.若函数/（X）在二二七处取得极值，且函数y=/（x）与直线y=〃交于4项向,似电力）两点，则

AB的中点为M（七上■]），而往往与w上爱.如下图所示.

图1极值点不偏移图2极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数y=/(x)在区间(。,〃)内只有一个极值点玉)，方程/(%)的解分别为

x2,且aVMV&vZ?,(1)若";二W改),则称函数y二f(x)在区间(匹,与)上极值点偏移；

(2)若土卫■>%,则函数)，=/*)在区间(司,电)上极值点/左偏，简称极值点与左偏；(3)若

*<X。，则函数y=f(x)在区间(a,专)上极值点/右偏，简称极值点玉)右偏.

【典例8-1］已知函数/(x)=—+Inx,^(x)=ax-\nx-2.

x

(1)若a>0,当/(x)与g(x)的极小值之和为0时，求正实数〃的值；

I|2

(2)若/(%)=/g)=2(%工%),求证：-+

Ai-V-1C<

【典例8-2］已知函数/(x)=ac2t+e'+x,awR.

(1)若〃*)在x=0处取得极值，求。的值；

⑵设g(x)=f(x)-(a+3)e”,试讨论函数g(x)的单调性；

⑶当4=2时，若存在实数演，々满足/。)+/5)+9小=0,求证：ex'+eAj>l.

【变式8-1］已知函数/(x)=21nx+/n/-2(〃?+1卜一8,meR.

(1)讨论函数/(力的单调性；

(2)对实数机=2,令g(x)=/(x)-3x,正实数巧，巧满足g(xJ+g(w)+ZrM=0,求玉+马的最小值.

【变式8・2］已知函数/•(“二上的，其中e为自然对数的底数.

ax

(1)当4=1时，求/(力的单调区间；

⑵若方程/(力=1有两个不同的根%,当.

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：片+*>2.

高考预测

I.已知函数/(x)=ov-xlnx，ra)为其导函数.

⑴若恒成立，求。的取值范围；

(2)若存在两个不同的正数再,.，使得/(内)=/(修)，证明：/'(闹")>0,

2.[新考法]已知函数f(x)=X2-2^.v+4Inx.

⑴讨论/(x)的单调区间；

(2)已知aw[4,6],设/(x)的两个极值点为4,4(4<4)，且存在bwR,使得y=/(幻的图象与y=匕有三

个公共点哥,马,毛(与<x2<X,)；

①求证：司+占>24;

②求证：X,-X)<4>/7.

考点九：利用导数解决一类整数问题

解题思路：

分离参数、分离函数、半分离

［典例9-1］已知函数/(▲，)=e'-V_2x4-6/.

⑴证明：/(x)有两个极值点，且分别在区间(TO)和(a,6)内;

(2)若力有3个零点,求整数。的值.

参考数据:e^«4.11,e**5.65,6=1.73,5/2«1.41.

【典例9-2］已知函数/(x)=Inv+av2+3(f/eR).

⑴当。=一3时，求函数/(x)的极值；

(2)求函数/(x)的单调区间；

(3)当4=0时，若必"(X)>依一人+2在Xt(l,~KO)时恒成立，求整数攵的最大值.

【变式9-1】函数/(x)=(r+aM)c'(4eR).

(1)求/(x)的单调区间;

(2)若/(x)=x只有一个解，则当了＞0时，求使当＞("-0伫一1)成立的最大整数上

e

【变式9-2](2024•福建厦门•模拟预测)已知函数/(x)=ev-ar.

⑴讨论函数/(力的单调性；

⑵设g(x)=/(x)-e7,若存在$＜当＜当，使得g(N)=g(W)=g(&).

①求〃的取值范围；

②设〃？为整数，若当4＜3时，相应的％2，七总满足，〃之占+工3,求〃7的最小值.

高考预测

1.已知函数〃x)=x(lnx+l).

(1)若曲线y=/(x)在点(%,/(七))处的切线的斜率小于1,求为的取值范围.

(2)若整数恒成立，求整数女的最大值.

考点十：导数中的同构问题

解题思路

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

(I)在方程中的应用：如果方程/(a)=0和/(〃)=()呈现同构特征，则出〃可视为方程

/(x)=0的两个根

(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进

而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.〈同构小套路》

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：f(x)=x-ex,f(x)=ex±x；寻找“亲戚函数”是关犍;

③信手拈来凑同构，凑常数、工、参数；④复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围.

(3)在解析几何中的应用：如果4(占,X),8(尢2，)\卜满足的方程为同构式，则A5为方程所表示曲

线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线A8的方程

(4)在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(％,〃)与(可_1,〃-1)的同构

式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

【典例10-1】(2024•内蒙古•三模)已知函数/(x)=f-or+2hu.

⑴讨论)(x)的单调性；

(2)若。＞O,/(x)We"恒成立，求〃的取值范围.

【典例10・2】已知函数/■。)一/,次+必--2(«eR).

JT+1

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)当。=2时，求证：/(外＞0在(1,y)上恒成立;

(3)求证■:当x>0时，ln(x+\)>———

e*-1

【变式10-1】(2024・高三•天津西青•期末)已知函数/(x)=e'-〃r和g(x)=3-lnx.

⑴若曲线数y=/(x)与y=g(x)在x=l处切线的斜率相等，求。的值；

(2)若函数/*•)与g(x)有相同的最小值.

①求a的值；

②证明：存在直线y=h,其与两条曲线丁=/(x)与y=g(幻共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点

的横坐标成等差数列.

【变式10・2】对任意x>0,若不等式ax'we'+arlnx(a>0)恒成立，求a的取值范围.

高考预测

1.2024•四川遂宁•模拟预测)已知函数f(x)=e*,g(x)=ln(x+〃)，直线/:y=x+m为曲线y=/(x)与

)，=g(x)的一条公切线.

(1)求加，刀;

⑵若直线r:y=S(0vsv1)与曲线y=f(x),直线/,曲线y=期工)分别交于A{x},)\),B(x2,y2),C(0%)三

点，其中再〈/〈吃，且4当，入3成等差数列，证明：满足条件的S有且只有一个.

2.已知函数〃])二优'-x.

(1)讨论/(6的单调性：

LI

(2)若a>0,Wxe(0,+8)J(x)>------,求。的取值范围.

考点十一：洛必达法则

解题思路:

法则1、若函数/(X)和g(x)满足下列条件:

(1)lim/(x)=0及limg⑴=0；

(2)在点”的去心邻域(a-£,a)/(a,a+£)内,/(%)与g(x)可导且g'(x)工0；

(3)1而半=/,那么］而44=1加单=/.

ig'(x)fg(x)XT"g'(x)

法则2、若函数/(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim/(x)=0及limg(x)=0；

(2)3A>0,，(x)和g(x)在(-<».A)与(A+8)上可导，且g'(x)w0;

(3)hm^4=/

eg'(x)

那么==

-0g(x)f°g'(x)

法则3、若函数/(x)和月。)满足下列条件:

(1)hm/'(x)=8及limg(x)=oo；

(2)在点”的去心邻城(“一£,a)u(a,a+£)内,/(x)与g(x)可导且g'(x)#0；

Gr£W_,

(3)lim--~-=/,

ig'W)

那么limg^=]im44=/.

fg(x)fg'(x)

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的更点之一，在解题中应注意:

(1)将上面公式中的＞-cc,xfa+,》一＞口一洛必达法则也成立.

(2)洛必达法则可处理9,3，().8，/，8°,o°,℃—-型.

(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足蓝，巴、0.8,「，8°,0°,8一8型定式，否

则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能月洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，

应从另外途径求极限.

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

==如满足条件，可继续使用洛必达法则.

ig(x)ig'(x)ig"(x)

【典例11-1]已知函数/'")=〃皿工+法(。力£7?)在工=2处取得极值，且曲线y=/(x)在点(1,/(1))处

2

的切线与直线x-y+l=0垂直.

⑴求实数。涉的值；

m

(2)若Vxw[l,+oo),不等式八万工(〃2-2八一一•恒成立，求实数〃?的取值范围.

X

X

【典例11・2】设函数/'(幻=1一夕、.当xNO时，/(A)<,求〃的取值范围.

ax+\

【变式11・1】设函数=如果对任何x'O,都有求。的取值范围.

2+cosx

【变式11-2］已知/*)=*+1)加r.

(1)求/(%)的单调区间；

(2)若对任意x.J,不等式年乂。一以］+〃“0恒成立，求。的取值范围.

x+1

高考预测

1.已知函数f(x)=x2-mx-ex+1.

(1)若函数/(x)在点(1,/(I))处的切线/经过点(2,4),求实数”的值;

(2)若关于x的方程|/(幻|=〃氏有唯一的实数解，求实数用的取值范围.

考点十二：导数与三角函数结合问题

JF

【典例12・1】(2024•内蒙古赤峰♦二模)已知XG7兀

14

(1)将sinx,cosx,A,-3/+］按由小到大排列，并证明；

⑵6/(x)=.ve*+Aco&x-2siar-sin2x,求证：/(x)在xe内无零点.

【典例12-2］已知函数/(x)=ln(l+x)+or2_出>0)

⑴讨论“X)的单调区间；

⑵若函数g(x)=x-ln(l+x),aw(0,.),证明：g(sina)+g(cosa)<.

【变式12-1】已知函数/(x)=sinx,g(x)=Qx-mx-cosx,(〃"R)

⑴求证：,f(x)<x；

(2)若g(x)在。+8)上单调递增，求，”的最大值；

⑶设。=cos',b=Z、C=in孚，试判断a,〃,c的大小关系.

28\o7

【变式12・2】(2024•黑龙江佳木斯•三模)已知函数/(xhlMl+xHad-x.

⑴当〃=0时，求在x=0处的切线方程：

⑵若/(“在(。,+纥)上单调递增，求4的取值范围；

(3)若g(x)=x—ln(l+x),证明:g(sina)+g(cosa).

高考预测

1.已知函数=B竺，^(x)=--ar.

XX

⑴函数/(1)在％=£处与处的切线分别为4,4,且直线4,4之间的距离为d,求证d>?

⑵若A={x[/(x)=g(x)}为空集，求实数a的取值范围.

2.已知函数/(x)=sinx+tan(siiu)-2x,其中Ovxvl,

(1)证明：cosx>l-gr；

⑵探究〃x)是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由.

高分突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题

解题思路；

函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生

对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点

考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸.

【典例13・1】若存在一个数〃？，使得函数/(力定义域内的