解三角形求最值问题专项训练（利用三角函数的有界性、基本不等式）含解析

解王隽出求承值冏发

目录

考点一利用三角函数的有界性求最值问题

考点二利用基本不等式求最值问题

考点一

1.(2026•河北张家口•一模)在△力BC中，内角4BC的对边分别为Q,b,c,满足b+26cosA=c.

(1)证明：力=26；

(2)若b=2,c=l,点。为边上一点，4。为NA4C的平分线,求为。+工的值；

⑶若△MC为锐角三角形，求方的取值范围.

2.(25—26高三上・江苏宿迁・期中)在锐角446。中，角46,。所对的边分别为。也62。曲］8—，^>=0.

(1)求角力的大小：

(2)求sinA+sinB+sinC的取值范围.

3.(25—26高二上•广东•期中)已知△ABC中，内角上,B,。所对的边分别为Q,b,c,且。=J5,cos2B+

C0S2C+2sinBsinC=2—2sin-X.

⑴求4

(2)若△ABC内心为/,求AZBC的周长的取值范围.

4.(25—26高三上♦黑龙江佳木斯•月考)已知向量五=(cosx,2sina;),?=(2COS2\A/3cos①)，函数/Q)=a-

(1)求函数/(①)的最小正周期及对称中心；

(2)在锐角中,若/信)=3且a=，3，求△4Z?C周长的取值范围

...........»

5.(25-26高三上•河北雄安•期中)记△ABC的内角A,。的对边分别为a,b,c.已知2+£=

cos(4+B)

cosA

(1)求24-Z?的值；

(2)若6>2C,求色的取值范围.

a

6.(25-26高三上♦河北石家庄•期中)在△?!m7中，角4BC的对边分别为a,b,c,已知从+。2-小=

2\/36csiii?l.

(1)求4的大小；

⑵若。=血,且近传甘),求c的取值范围.

V乙

考点二利用基本不等式求最值问题

7.(2026•河北沧州•一模)在△4BC中，内角A,8,。的对边分别为Q,b,c,且asin(B-C)+bsin(A-。)

=csinC.

⑴证明：〃+/=3。2；

(2)若求△48。面积的最大值.

8.(25-26高三下•辽宁抚顺•月考)已知△43。的内角43,。所对的边分别为0,叱,且。2+。2=〃+(10.

⑴求8；

(2)若b(sin4+sinC)=8sin2O,求△46。的面积S的最大值.

9.(25—26高三下•重庆•月考)已知A4Z?。中，角4,3,。所对的边分别为。，6,c,且(sin/?-sinC)2=

sin2A—sinBsinC.

(1)求A的值；

(2)点。是边上一点，且初=2皮，若40=4,求△工面积S的最大值.

10.(2026•山西晋中•模拟预测)在△AZ?C中，内角4,3,。所对的边分别为a,b,c,且2(a+c)(sinA-

sinC)=(26—c)sinZ?.

(1)求sin/4；

⑵若a=VIK,求b+c的最大值.

q..................

11.(25-26高三上.山东•月考)在中，角4。B,。C所对的边分别为明。b,。c,满足

a(5/3sinB+cosB)=b+c.

(1)求角A;

(2)D为边上一点，若工。为角4的平分线，且4。=3,求力0+5BD的最小值.

12.(25-26高三上•重庆北倍•月考)在△ABC中，角A,Z?,C所对的边分别为％b,c,且满足

3cosA+4sinB_3sinB-4cos6

sinCcosC

(1)求sinA;

(2)若。=3,设/XABC中b,c边上的高分别为BD，CE,求+CE的最大值.

...........»

解王隽出求承值冏发

目录

考点一利用三角函数的有界性求最值问题...............................................1

考点二利用基本不等式求最值问题.................7

考点一利用三角西数的有界性求最值问题

1.（2026•河北张家口•一模）在△力BC中，内角4BC的对边分别为Q,b,c,满足b+26cosA=c.

（1）证明：力=26；

（2）若b=2,c=l,点。为边上一点，4。为NR4c的平分线,求为。+工的值;

a

⑶若△43C为锐角三角形，求方的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵*

⑶系e（1,2）

0

【分析】（1）利用三角恒等变换印可得证；

⑵先计算COS4利用二倍角余弦公式得cos等，再由S*=SNBD+S4ADC结合二倍角三弦公式即可

求解；

（3）由（1）有4=26,得。=五一3口，又由正弦定理得£=且吗=3-4sin'28,利用锐角三角形求出B

bsinZ?

的范围，进而求解.

【详解】（1）由b+2bcosA=c，利用正弦定理得:sinB+2sinjBcosA=sin。，

又sinC=sin［兀一（8+6）］=sin（X+B）=sin?lcosB+cosAsinB,

所以sinB+2sin6cosA=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinB=sirMcosB-cosAsinB=sin（A—B）,

所以Z?=4—8或？1—Z?=TU-Z?,

所以4=2B或71=武舍去）

所以力=26;

⑵由b=2,c=1,》+2儿054=。,所以854=^~^=—；,

口9Ai伍山->A1+cosA3

又cosAA=2Ccos-——］,所以cos--=--------=—,

2228

又0V等〈年■，所以cos告=,

又由为NA4c的平分线，

所以S^ABC—S^BD+SN^X：,

所以看bcsinA=-^-c,ADsin^-十卷b•ADsin-^-,

乙乙LA乙

2bccos等2x2x1x

bcsinAzq

所以AD=

csiriy+bsin等c+b1+2呼

又由余弦定理得：Q2=〃-|-c2-25ccos71=4+1—2x2xlx

所以。=述，所以=乎+乎=乎；

Q362

⑶由⑴有力=2b又4+6+。=38+。=兀，所以。=兀一38,

又由正弦定理得：

sinC_sin(7T-3B)_sin3B_3sinB-4sin3B

=3-4sin2B,

sinBsinBsinBsinB

0<A<f0V28V食

又为锐角三角形，所以0<B<fn0<B<^=>^-<Z?<4,

264

0<C<f0<7r-3B<f

所以VsinBV乎，所以1＜3—4怎距＜2,所以看G（1,2）.

4/C/

2.（25—26高三上•江苏宿迁•期中）在锐角△45。中，角A氏。所对的边分别为。力,C,2QSE8-VJb=O.

（1）求角A的大小；

（2）求sinA+sinB+sin。的取值范围.

【答案】⑴仔

⑵（乎

【分析】（1）利用正弦定理化简即可求解.（2）利用人+6+。=n,将sin力+sinB+sin。化简为sinB+

sin,+sin（专一8）,再利用三角恒等变形化简，利用角的范围求函数的值域.

【详解】（1）因为2asin3736=0,

由正弦定理可得：2sia4sinB—-sinB=0,因为在锐角A4BC中，BWsinBH0,

所以sinA=W，由于（0,

贝I4=春.

J

（2）因为力+6+。=兀，

所以sinA+sin/?+sinC=sin-y+sinB+sin(-^--B),

-ysinZ?+V3cosZ?+=V3sin(l?+£)+,

2/v)N

0<B<f丁7r

因为在锐角中，＜.?，所以工VBV匹

62

0<C=<-/^-B<^/

・B+三三红)

.上十6(3'3〃

••警Vsin(6+£)41

乙O

.•・安③Vgsin⑶£)+V3々3V3

/O2

/3+VU1

:,sinA+sin/?+sinC的范围是'2-，21

3.(25-26高二上•广东•期中)已知4ABe中，内角A,B,。所对的边分别为Q,b,c,且a=g,cos2B+

cos2C+2sinZ?sinC=2-2sin27l.

⑴求力.

⑵若△力内心为1,求的周长的取值范围.

【答案】⑴春

O

（2）（273,2+73]

【分析】（1）利用二倍角公式和三、余弦定理化简已知式，结合三角形内南范围即可求得；

⑵由内心和4=名求得/月/。=与，设NABC=。，可得OV0V冬，在△出C中，利用正弦定理求

出\IC\和|出|,表示出|/B|+\IC\,利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求

得周长范围.

【详解】⑴由cos23+cos2C+2sinZ?sinC=2-2sin2/l可得(1-2sin2Z?)+(1-2sin2C)+2sinZ?sinC

=2-2sinM,

化简得shi2B+sin?。—sin2.4=sinSsinC,

则由正弦定理得62+c2-a2=bc,

又由余弦定理cosA=立耳上=4

2bc2

因0VAV兀，所以力=等;

•J

（2）如图,

因4ABe内心为/,则出和/。分别平分/人47和AACB,

则4BC+4CB=±(/ABC+N4CB)=)卜一年)=强，则4BIC=好,

//JJJ

设乙4BC=夕，则有N4cB=与一氏4BC=*,4CB.一专,

"f夕＜，可得0V。吟，

在△田。中，||=，由正弦定理」粤=’粤=—阳,

s喑sinfsin(f-f)

员1|/C|=2sirr1■，阳=2sin((一4),则阳+|/C|=21in传一§)+sin(

丁瓜01.00\/1.V30\.(0^-K\

=2(^—cosy-ysiny+siny)=o2(—sm—+—cosy)=o2sin(y+j),

又OVJV等,3v^+qv与，则2sin(」+q)W(V3,2]

JJZJJ乙J

如△〃?(？的周长葩困为(2V3.24-V3].

4.(25—26高三上•黑龙江佳木斯•月考)已知向量五=(cosx,2sinx),b=(2cos①,J5cos/),函数f(x)=a*b.

(1)求函数/(乃的最小正周期及对称中心；

(2)在锐角AABC中，若/(y)=3且Q=遍，求△43。周长的取值范围

【答案】(1)最小正周期为7T,对称中心为(与71

12

(2)(3+V3,3V3]

【分析】(1)根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得/(①)的表达式，再利用三角函数的对称性可

求得结果：

⑵由/(3)=3结合⑴可求得4=g•，又△4叱为锐角三角形，可得专由此利用正弦定

理,三角恒等变换可求得6+c的范围，从而得解.

【详解】(1)因为a=(coso:,2sinx),6=(2cosx,V3cos(r),

贝1/3)=a-b=(cosx,2sinx),(2cosx,V3cosx)=2cos2x+2V3sina;cosx=cos2c4-V3sin2x+1=

2sin(2%+看)+1,

所以/Q)最小正周期为7=普=兀，

由为+*=航次ez,解得许等一a，kez,

所以/(⑼的对称中心为(苧一全,l),kWZ.

⑵由⑴及/(等)=3,即2shi(2x9+*)+1=2sin(A+/)+)=3,

又HE(0,壬)，所以4+0=与,解得4=3

乙。乙O

0<B<f0<Z?<y1正

又为锐角三角形，即2,即。。」一月</解之V3〈会

0<c<f

二b+c=s^4(sinB+sinC)=2^sin3+sin(-^-—=2怎sinB+^^cos8)=2V3sin(5+-^-),

又“<

6+cG(3,25/3],

所以△?!/?。周长的取值范围为(3+J8,3Y5].

5.(25-26高三上•河北雄安•期中)记△力3C的内角A,石，。的对边分别为a,b,c.已知2+工=

cos(A+0)

cosA

(1)求24—B的值；

(2)若R>2C,求且的取值范围.

a

【答案】(1)2A—B=7i

(2)(0,V2-1]

【分析】(1)根据正弦定理边化角，再利用三角恒等变换得sin2A=sin(—9)，则2A=2尿一3或24—B

=(2/C+1)7T,/CGZ,根据三角形内角关系分析可得；

(2)根据正弦定理和三角恒等变换得且=W吗=C0SI=2cosZ?-1，再分析得3E「片,弓)，从而得

QsmAcosfL43'

解.

【详解】(1)由正弦定理可得2+律咚=,

smAcosA

故2sin力cos4+cos力sin(4+B)=sinAcos(71+B),

即sin2A=siny4cos(714-B)—cos/lsin(a4+Z?)=sin(A—A-D)=sin(—Z?),

故28=2丘一口或2工一6=(2k+1)兀，k€2.

而0V24+6V兀+4V2亢，故24=2加-6不成立，于是2月一6=(2卜+1)兀，

当时，(2k+1)兀＞3兀＞24＞24—吕；

当fcC-1时，24—8＞4—6＞一兀＞(2卜+1)兀，

故k=(),2A—B=7i.

⑵由⑴可得力=专+系，。=兀一4一£=.一竽，

乙乙乙乙

由知兀-36,即与，而又因为。＞0,故BvJ,于是-牛,()，

43L43，

sin修一竽)cos学

根据正弦定理—c==吗■=―二——了=----9,

asm力s:n(|+f)cosf

ccos挈cos(Z?+4)cosZ?cosy-sin/?sinyn(B\

2

于是1=—F=-----L=--------r------"=48s2万-3=2(2cosy-l)-l=

uCOS—COSyCOSy”匕

2cos6-1,

因为8号)，故5的取值范围是(0,蓼-1].

6.（25-26高三上•河北石家庄♦期中）在△ABC中，角4BC的对边分别为Q,b,c,已知/+。2-02=

2y/3bcsinA.

(1)求A的大小；

⑵若°=通，且求C的取值范围.

U乙

【答案】⑴？

6

(2)(3,273]

【分析】⑴由余弦定理/+c.2—a?=2V36csinA并结合题设求出tanA即可求解;

⑵由。=管詈=2/sin信+切结合甬S的范围印可分析求解.

【详解】(1)由余弦定理及62+c2-a2=2V36csinX得26ccosA=2V36csirM,

显然cos4#0,/.taiM=噂^,

,：AG(0,7：),：.A=^;

!(2)VsinC=sin[TT-(A4-B)]=sm(A+B)=sin倩+B),

：.Ic==小呼词=2V3sin(f+2?),

'sinA±'6/

；2

q.................

,：BS信号）,"+BC信号）,，sin（*+B）W（喙1],

.•.C的取值范围是（3,2-].

.........................................................................a

考点二利用基本不等式求最值问题

7.(2026•河北沧州•一模)在△4BC中，内角A,8,。的对边分别为Q,b,c,且asin(B-C)+bsin(A-。)

=csinC.

⑴证明：/+/=3°2；

(2)若求△48。面积的最大值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵苧

【分析】(1)利用两角和差的正弦公式及诱导公式，利用正余弦定理的变形进行角化边，进行化简整理得

解；

(2)利用三角形面积公式和同角关系式及基本不等式求解.

【详解】(1)Vasin(B-C)4-bsiii(A—C)=csinC,/.a(sinBtosC-cosBsinC)+

b[sin力cosC-cosAsin。)=csinC,

/.2/^sinA(sinBcosC-cosBsinC)+2RsinB(sinAcosC-cosAsinC)=2/?sinCsinC,

sinA(smBcosC-cosBsmC)+sinB(sin/lcosC—cosAsinC)=sin2C,

sin?lsinBcos(7-sinAcosBsinCsmI3smAcosC—sinBcos力sinC=sin?。，

.二2sinXsinBcosC—sinC(sin4cosjB+cos4sin6)=sin?。，

2sinAsinBcosC-sinC*sin(A+B)=sin2C,

/.2sinXsinZ?cos(7—sin2(7=sin2C,

:.2sinylsinZ?cosC=2sin2C,

sin?lsinBcos(7=sin2C,

.ab标+/--2_/cf

・W丽2ab，

a2+b2—c~=2c2,a2+b2=3c2;

(2),/a2+62=3c2,c=V3,

a2+62=9,

•*-5》叱=<absinC=卷QW1-cos?。=卷叫一(丫

♦qs里.而定系.由

当且仅当〃=b?时，即a=b=3?时，等号成立，

8.(25-26高三下•辽宁抚顺•月考)己知△力0c的内角A3。所对的边分别为a,b,c,且02+〃=〃+*

⑴求8；

(2)若b(sin4+sinC)=8sin2Z?,求△<Z?C的面积S的最大值.

【答案】⑴春

(2)473

【分析】(1)直接根据余弦定理解三角形，求出角即可.

⑵根据正弦定理边角互化和正弦二倍葡公式，对条件进行变形，求出a+c=8,再根据基本不等式和三

角形正弦面积公式，求出面积最大值.

【详解】(1)由已知得。2+/一〃=加，由余弦定理得8sB=标+=4，即6=等.

2ac23

(2)由6(sinX+sinC)=8sin2B,所以b(sinA+sinC)=16sinBcosB,

由正弦定理得6(a+c)=16bcos6,故a+c=16cosB.

由(1)知B=q,

o

所以a+c=16cos-^-，即a+c=8,所以ac<(Q^C)=16,当且仅当a=c=4时等号成立，

o4

所以$=10€点118=率砒<4/,故4为£。的面积5的最大值为4V3.

24

9.(25—26高三下•重庆•月考)已知△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且(sinB-sinC)2=

sin%—sinBsinC.

⑴求4的值；

(2)点。是BC边上一点，且筋=2反，若A0=4,求△ABC面积S的最大值.

【答案】⑴工=看

(2)673

【分析】(1)应用正弦定理结合余弦定理计算求解；

(2)应用向量的数乘运算及数量积公式，再结合余弦定理及基本不等式计算求解.

【详解】(1)由(sinB-sinC)2=sin2X-sinBsinC结合正弦定理得：(b—c)2=a2—be,即廿+c2—be=

*

由余弦定理：cosX=——=-i-,

2oc2

因为为E(0,7i)，所以A=专；

o

(2)VBD=2DC,：.AD-AB=2(AC-AD),

即=]■泰+?前，

oo

两边同时平方：

赤2=C荏+系配)2,超2=:存存.而+!而2,

oouyy

2

,16=Jxc+xbccos^-+1x6^2x|x^+1&c=|dc

，bcw24,当且仅当高=当即：c=2b=4—时，取等号.

oo

：.S=°-i-dcsinA<yx24x^-

乙乙乙

即S的最大值为6/S.

10.(2026•山西晋中•模拟预测)在△ABC中，内角4,6,。所对的边分别为a,b,c,且2(a+c)(sin4—,

sinC)=(26—c)sinB.

(1)求sinA；

..............................................................G

(2)若。=45,求b+c的最大值.

【答案】(1)平

4

(2)2710

【分析】⑴首先根据正弦定理存到力+"一。2=。乩，再代入854计算，再求得5也4

(2)利用余弦定理和基本不等式求解即可.

【详解】(1)因为2(a4-c)(sinA-sinC)=(26—c)sinB,

由正弦定理得2(a2-c2)=(2b-c)b,

即b2+c2-a2=-^-bc,

由余弦定理得cos力=；

25c4

因为0V4V兀，所以sin/=Vl—cos2A="区.

(2)已知a=V15,由(1)知cos.4=,

4

由余弦定理a2=b2+c2-26ccosA,

彳导〃+/—i-=15,

乙

・•,3+,)2=,儿+154(("^)2+15,即3+C)2440,

乙乙乙

.\6+c<2V10当且仅当b=c=，IU时取等号，

(6+c)max=2Vl0.

11.(25-26高三上•山东•月考)在△ABC中，角4。B,。C所对的边分别为a,。b,。c,满足

a(V3sinZ?+cosZ?)=b+c.

(1)求角A;

(2)P为边BC上一点，若A。为角A的平分线，且AD=3,求力B+5BD的最小值.

【答案】⑴4=卷

O

(2)^^+3V6

【分析】⑴根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简得V3sin,4-cosX=1,利用辅助角

公式得sin(4—，结合角的范围即可求解.

3sin（B+专）

(2)利用正注定理得89=.3。AB=，然后利用三角恒等变换得力3+5379=3/

号］，结合tan号6（0,。/），利用基本不等式求解最小值即可.

2tan等22

ZJ

【详解】（1）由a（V3sinB+cosB）=b+c/^sin/l（，IsinB+cosB）=sinB+sinC,

即V3sinXsin/?+sin/lcos7?=sin/?+sin（X+Z?）,

即、后sin4sin6=sinB+sinBcos/,

而RE（0,。TT）,°sinBW0,故，^sinA—cosA=1,所以2sin（4—日■）=1,

°兀)，所以月一贯£(一£,°斗)，所以避=个・

即sin高，因为AW(0,

(2)因为AD为NA4c的平分线,

BD_

sinZ?ahi/.BADahi^ADB

即焉:?=；^’所"皿=备,。

6sh)(B+专)+15_3《43乂

cosK+5

因此AB+5BD=一丁+爹、

2sinZ?sinZ?

3V3J33cos2f+2sin2f_3V3

v3+2tan-^-

----i----x-----------------------十-----

22sinfcoSf22

又3£(0,。孕)，所以等£(。,。等)，国此tan等G(0,。四),

则AB+53。=+—+3tan^->-^-+376,

22tan422

/

当且仅当一^-=2tan曰，即3疼=琛时，上式等号成立.

tan备222

所以AB+5BD的最小值为当$+3份.

12.(25—26高三上•重庆北陪•月考)在△43。中，角48,。所对的边分别为Q,b,c,且满足

3cos6+4sin8_3sinjB—4cos8

sinCcosC

⑴求sin4;

(2)若Q=3,设XABC中b,c边上的高分别为BD,CE,求BD+CE的最大值.

【答案】⑴?

D

㈠5

【分析】⑴对:为吗："“m=3sin发"os0化简利用和差公式得到3cos(