动能定理（讲义）原卷版

5.2功能定理

出知识填充

一、动能

1.定义：物体由于而具有的能。

2.公式：Ek=1/nv2,u为瞬时速度，动能是状态量。

3.单位：,1J=1N-m=lkg•m2/s2o

4.标矢性：动能是,只有正值。

5.动能的变化量：△&=氏2—Ek1=/冠一o

二、动能定理

1.内容：合外力对物体所做的功等于物体的变化。

2.表达式：W=△Ek=f也一；〃八九

3.物理意义：对物体做的功是物体动能变化的量度。

4.适用条件

(1)既适用于直线运动，也适用于O

(2)既适用于恒力做功，也适用于o

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以o

上考点速查

热点题型一对动能定理的理解及应用

【题型要点】1.对“外力”的两点理解

(1)“外力”指的是合外力，可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同

时作用，也可以不同时作用。

(2)“外力”既可以是恒力，也可以是变力。

2.公式卬令=八反中"=''体现的三个关系

L①因果关系：W台是引起物体动能变化的原因

三个关系——②数量关系：W合=

—@单位关系：W合与的单位相同

【典例1】（全国卷改编・18）如图，4儿是竖直面内的光滑固定轨道，水平，长度为2R;be

是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于〃点.一质量为〃？的小球，始终受到与重力大小相

等的水平外力的作用，自。点处从静止开始向右运动.重力加速度大小为g.小球从。点开始运

动到其轨迹最高点，机械能的增量为（）

A.2mgRB.4mgR

C.5nigRD.6mgR

【答案】C

【解析】小球从〃运动到c,根据动能定理，得F.3R—〃igR=%m*,又F=，ng,ii.v\=2y[gRf

小球离开C点在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动.且水平

方向与竖直方向的加速度大小相等，都为g,故小球从c点到最高点所用的时间

水千位移x=^gr=2R,根据功能关系，小球从a点到轨迹最高点机械能的增量为力产做的功，

即△E=F（2R+/?+x）=5〃2gR。

【变式1]（2021•江苏卷・7）（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，。点为

弹簧在原长时物块的位置.物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到

达B点.在从A到B的过程中，物块（）

AOB

A.加速度先减小后增大B.经过。点时的速度最大

C.所受弹簧弹力始终做正功D.所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功

热点题型二动能定理的基本应用

1.应用流程

运动运动性顺动能明确初、解

方

阶

及特点末动能分

或

段

獭定研究程

过

全

牛顿运动能、

对里和研得

列

程

动定律出

究过程

程

方

结

个力

儿?

是否做功？果

力还

受力恒

正功还是

变力

是?

W负功？

2.注意事项

(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物

体为参考系.

(2)应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的

草图，借助草图理解物理过程之间的关系.

(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定

理.

(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根

据结果加以检验.

【典例2】(2018•高考全国卷HI)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水

平就道布在A点相切，8C为圆弧轨道的直径，。为圆心，04和03之间的夹角为G,sina

=本一质量为〃z的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；

在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用.已知小球在

。点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零.重力加速度大小为g.求

⑴水平恒力的大小和小球到达。点时速度的大小；

(2)小球到达A点时动量的大小；

(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间.

【解析】(1)设水平恒力的大小为后，小球到达。点时涉受合力的大小为尸.由力的合成法则有

Fo

—=tana①

mg

产=(〃Zg)2+&②

设小球到达。点时的速度大小为V,由牛顿第二定律得

/=〃“7③

由①②③式和题给数据得

「3

产。=心7g

⑤

L2-

(2)设小球到达A点的速度大小为也，CDA.PA,交物于。点，由几何关系得

DA=Rsina⑥

0)=R(l+cosa)⑦

由动能定理有

—ing-CD—Fo'DA=^n\r—^nv\⑧

由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为

myj23&R⑨

p=mv\=12■

(3)小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g.设小球在竖

直方向的初速度为Vx,从C点落至水平轨道上所用时间为，.由运动学公式有

2

vi/+1^r=CD⑩

Vi=vsina.⑪

由⑤⑦⑩似和题给数据得

3

[5R⑫

—5vr

【变式2](2021•上海模拟・19j如图所示，与水平面夹角9=37。的斜面和半径R=0.4m的光滑

圆就道相切于8点，且固定于竖直平面内.滑块从斜面上的A点由静止释放，经8点后沿圆

轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零.已知滑块与斜面间动摩擦因数〃=0.25.(g

取lOm/s?,sin37°=0.6,cos37。=0.8)求：

(1)滑块在C点的速度大小vc;

(2)滑块在5点的速度大小照；

(3).4>3两点间的高度差/?.

【变式3】如图所示，半径为厂的半圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，直径AC水平，一个质

量为m的物块从圆弧轨道A端正上方P点由静止释放，物块刚好从A点无碰撞地进入圆弧就

道并做匀速圆周运动，到8点时对轨道的压力大小等于物块重力的2倍，重力加速度为g,不

计空气阻力，不计物块的大小，则：

(1)物块到达A点时的速度大小和巩间的高度差分别为多少？

(2)物块从A运动到3所用时间和克服摩擦力做的功分别为多少？

热点题型三应用动能定理求解多过程问题

【题型要点】1.多过程问题的分析方法

⑴将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。

(2)对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图。

⑶根据“子过程”和“衔接点”6勺模型特点选择合理的物理规律列方程。

(4)分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方程。

(5)联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。

2.利用动能定理求解多过程问题的基木思路

明他末初

'

力

合外

研变分段状志动

分析

总

对象做的能之差

受力

功

，

力外

到重

除受

程中

动过

在运

，物体

物体

出一

上抛

直向

面竖

）从地

改编

卷HI

全国

（高考

例3】

【典

，物体

内时

3m以

〃在

高度

地面

用.距

力作

的外

相反

方向

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、方

不变

大小

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（

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物体

s?.该

10m/

度取

加速

.重力

所示

如图

变化

力的

反随

动能

程中

落过

、下

上升

him

.5kg

B.1

kg

A.2

.5kg

D.0

kg

C.1

】C

【答案

的恒

向下

竖直

Zg和

重力"

下的