北师八年级数学下册复习-第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（6类压轴题专练）

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组（6类压轴题专练）

题型——元一次不等式（组）与方程（组）

）'一］?2-3），

1.已知关于x的方程笄=?+i的解是非负数，且关于丁的不等式组，〒-—丁至多有

4-y<2a-

3个整数解，则符合条件的所有整数〃的和为（）

A.27B.28C.35D.36

-4//1+5的解满足x+”43,且让不等

2.若存在一个整数〃z,使得关于x,y的方程组3A+2>

x-y=m-\

:二二:只有3个整数解,则满足条件的所有整数”的和是（）

式，

A.12B.6C.-1（）D.-14

3.已知。、b、c满足3a+2Z?-4c=6,2a+h-3c=\,且。、b>。都为正数.设y=%+/?-2c,

则）’的取值范围为（）

A.3<.v<24B,0<y<3C.0<.y<24D.y<24

题型二一元一次不等式（组）与化简绝对值问题

4.数轴上A、B两点的距离表示为|A口=卜"-4.回答下列问题：

⑴数轴上表示1和5的两点之间的距离是_____,数轴上表示-1和5的两点之间的距离是

⑵数轴上表示X和-1的两点A和8之间的距离是_____,如果|A同=2,那么X为；

⑶当x满足条件时，取最小值，最小值是______；

（4）当］满足条件时，卜+1|+k-3|+卜-7|取最小值，最小值是_____；

⑸当“满足条件时，卜-1|+|工-2+・一+|工-99|取最小值，最小值是______；

（6）卜-^+曰5-%|+；］-1|为定值时，相应的x的取值范围是_____，定值是_______

5.【问题提出】-2|+|a-3|+L+k-2023|的最小值是多少?

【阅读理解】

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手.时的几何意义是。这个数在数轴上对应的

点到原点的距离，那么可以看作。这个数在数轴上对应的点到1的距离；+就可

以看作。这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们结合数轴研究

1八”叱-2|的最小值.

我们先看。表示的点可能的3种情况，如图所示：

如图①，。在1的左边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

如图②，〃在1和2之间(包括在1,2±),可以看出〃到1和2的距离之和等于1.

如图③，〃在2的右边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

所以。到1和2的距离之和最小值是1.

【问题解决】

(1)的几何意义是_______；请你结合数轴探究：k-2|+|〃-4|的最小值是_____

(2)请你结合图④探究：|。-2|+|〃一3|+k一4|的最小值是,此时。为；

(3)|«-l|+|fl-2|+p-3|+|o-4|+|a-5|+|a-6|的最小值为;

(4)|aT|+|a-2|+|a_3|+L+|。一2023|的最小值为.

【拓展应用】

如图⑤，已知〃到-1,2的距离之和小于4,请写出。的范围为.

[I■]1111、11Il.lII»

-2-1^01234-2-10Ia234

图①图②

111111・1A1111111»

-2-1~~0-1~~2~~334-2-101234

图③图④

-5-4-3-2-1012345

图⑤

6.(问题提出)|〃-1|十|”2田〃-3|+…+|a-2021|的最小值是多少？

(阅读理解)为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手.同的几何意义是。这个数在

数轴上对应的点到原点的距离.那么可以看作。这个数在数轴上对应的点到1的距

离.l"T+l”2|就可以看作“这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们

结合数轴研究1”1|+|〃-2|的最小值.

我们先看。表示的点可能的3种情况，如图所示：

।].।।।11A11।i.i।1A

-2-1^01234-2-101^234

图①图②

-2-10123。4

图③

-2-101234

图④

-5-4-3-2-10123456

图⑤

（1）如图①，〃在1的左边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

（2）如图②，。在1和2之间（包括在1,2上），可以看出。到1和2的距离之和等于1.

（3）如图③，〃在2的右边，从图中很明显可以看出〃到1和2的距离之和大于1.

所以。到1和2的距离之和最小值是1.

（问题解决）（1）I。-3|+|a-6|的儿何意义是______.

请你结合数轴探究：1〃-3|+卜-6|的最小值是______.

（2）请你结合图④探究：|a-l|+|a-2|+k-3|的最小值是______,此时。为.

（3）|a-l|+|a-2|+|o-3|+|o-4|+|o-5|+|a-6|的最小值为_____.

（4）|〃一1|十|〃一2|+|0-3|+-+|〃—2021|的最小值为.

（拓展应用）（5）如图⑤，已知。到一1,2的距离之和小于4,请写出。的范围为.

题型三新定义题型

7.阅读下列材料：

我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A,B,若数轴上存在一点使得点M到点A

的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”.

解答下列问题：

⑴若点A表示的数为-5,点B表示的数为1,点M为点4与点8的“雅中点”，则点M表示

的数为;

⑵若A、3两点的“雅中点AT表示的数为2,且4、8两点的距离为9（A在8的左侧），则点

A表示的数为，点B表示的数为；

⑶点A表示的数为・6,点、C,。表示的数分别是-4,・2,点。为数轴原点，点B为线段上

一点（点B可与。、。两点重合）.

①设点A/表示的数为处若点M可以为点A与点〃的“雅中点”，则〃z可取得整数有

②若点A和点。同时以每秒2个单位长度的速度向数轲正半轴方向移动.设移动的时间为

山>0）秒，求，的所有整数值，使得点O可以为点A与点3的“雅中点”.

8.如图，数轴上两点A、B对应的数分别是-1,1,点P是线段A3上一动点，给出如下定义:

如果在数轴上存在动点Q,满足PQ=2,那么我们把这样的点。表示的数称为连动数，特别

地，当点。表示的数是整数时我们称为连动整数.

APB

-6-5-4-3-2-10123456

⑴在-2.5,0,2,3.5四个数中，连动数有

⑵若女使得方程组）累3中的-，均为连动数，求上所有可能的取值;

2x-6e

------>x-3

⑶若关于x的不等式组\的解集中恰好有3个连动整数,求这3个连动整数的值及

X+2/•

---<x-a

2

a的取值范围.

9.深化理解：

新定义：对非负实数L四舍五入”到个位的值记为Z（x）,即：当〃为非负整数时，如果

/?--<x</?+—,则Z（x）=〃；

22

反之，当〃为非负整数时，如果Z（x）=〃，则

例如:Z（0）=Z（0.48）=0,Z（0.64）=Z（1.49）=l,Z（2）=2,Z（3.5）=Z（4.12）=4,...

试解次下列问题；

⑴填空：①Z（7.2）=,Z（R=（"为圆周率），Z（M）=

②如果Z（x-2）=1,求实数工的取值范围；

2--4v_

⑵若关于x的不等式组工一"一的整数解恰有4个，求。的取值范围；

Z（6/）-X＞0

⑶求满足z（x）=%的所有非负实数X的值.

题型四一元一次不等式（组）与一次函数

10.一次函数%=履+外女¥0,鼠〃是常数）与为=小+3（/”工0,机是常数）的图像交于点。。,2）,

下列结论正确的序号是（）

四于x的方程心+匕=，取+3的解为x=1；

②一次函数为=+3（/〃00）图像上任意不同两点A（x”,工）和3（%券）满足:（-'；-/）（力-券数0；

③若力|=〃-363）,则x=0；

④若匕＜3,且分2,则当工＞1时，

A.②③④B.①©④C.①②③D.①②③④

11.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交X轴、），轴于点小笈直线y=Q+A（k¥0）

交直线y=x+4于点c,交X轴于点以1,0）.

⑴求点A的坐标；

⑵若点C在第一象限，△AC。的面积是5;

①求点C的坐标；

②直接写出不等式组x+4>履+>>0的解集；

③将△CA。沿走轴平移，点C、A、。的对应点分别为G、A、设点。的横坐标为根.直

接写出平移过程中△CAA只有两个顶点在△BAD外部时，〃?的取值范围.

2x+5,（xK1）

12.在平面直角坐标系x。），中，函数y/=gx-2的图象与函数），2=1.+生_6（经1）的图象在第

X

一象限有一个交点A,且点4的横坐标是6.

（1）求加的值；

（2）补全表格并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，补充画出

心的函数图象；

X011.21.523456789

321

19713

1575.23.52112TT

12

（3）写出函数），2的一条性质：；

（4）已知函数），/与），2的图象在第一象限有且只有一个交点A,若函数和=：/〃与”的函数

图象有三个交点，求〃的取值范围.

题型五一元一次不等式（组）在坐标系与几何结合题中的应用

13.在平面直角坐标系X。'，中，如果点P到原点。的距离为。，点。到点P的距离是。的k倍（k

为正整数），那么称点。为点P的々倍关联点.

y

5

4

3

2

1

IIIII.

12345A:

（1）当点々的坐标为（0,1）时,

①如果点4的2倍关联点。在y轴上，那么点Q的坐标是；

如果点匕的2倍关联点。在x轴上，那么点。的坐标是________.

②如果点Q（x，），）是点A的左倍关联点，且k-2,-3<x<4,则满足条件的点。有个；

（2）如果点2的坐标为（1,1）,仞（成0）,N（〃T1）,若在线段MN上存在永的2倍关联点,直

接写出机的取值范围.

14.阅读理解，解答下列问题：在平面直角坐标系中，对于点A(x,y),若点B的坐标为(办+『

x-阳),则称点B为点A的乙级关联点”，如点AQ,5)的“2级关联点”为B(2x2+5,2-2x5),

即8(9,-8).

⑴已知点P(-2,1)的“4级关联点”为P,则点P/的坐标为二

⑵己知点。的“3级关联点”为。/(-11,-7),求。点的坐标.

⑶如果点C(-1,c+1)的“2级关联点”。在第二象限.

①求c的取值范围.

②在①中，当c取最大整数时，连接0。，坐标平面内是否存在点M(3,m),使得三角形。CM

的面积不超过7,若存在，求出机的取值范围，若不存在，请说明理由.

15.如图①，直线＞=丘+6经过点以0,6),且与直线OC：y■卜交于点CG”,2).

图①图②

⑴求直线AB的表达式；

⑵由图象直接写出关于x的不等式＜依+〃的解集；

⑶如图②所示，尸为x轴上A点右侧任意一点，以为边作等腰/?以8/加，其中尸5=

NBPM=耶，直线M4交y轴于点Q.当点尸在x轴上运动时，线段。。的长度是否发生变化？

若不变，求出线段。。的长度；若变化，求线段。。的取值范围.

16.如图1,在平面直角坐标系中，已知A(〃，0),加(-2,8)，其中。，人满足等式

2+2|+j27-2=。,连接AM交)，轴于&C是x负半轴上的一个动点.

图1图2

(1)求a,Z?的值；

⑵如图2,ZABC,ZACB的平分线8MCN交于点M当点C在x负半轴上运动时，N3NC的

度数是否改变？若不改变,请求出它的值：若改变,请指出其变化的范围：

⑹如图3,当点C的坐标为(-2,0)Ihj,过点A,作=交y轴于。，点双机〃)在

直线AO上.

①求〃?，〃满足的数量关系；

②若三角形人跖的面积不超过三角形瓦拉面积的、求点七横纵坐标机及纵坐标〃的取值范

围.

题型六一元一次不等式(组)的实际应用

17.某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台140U元，每台冰

箱进价15()0元，每台空调的进价1200元.现在商场准备一次购进这两种家电共10()台，设

购进电冰箱x台，这100台家电的销售利润为了元，

⑴求出y与工之间的函数关系式；

⑵要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利淮不低于16400元，请分析合理的方案

共有多少种？

⑶实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调〃(0＜。＜150)元，若商场保持这两种家电的售价不

变，请你根据以上信息及(2)中条件，求出这10()台家电销售时的最大利润.

18.已知有4、B两种不同规格的货车共5()辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物

230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的

最大装载量如表：

最大装载量（吨）A型货车B型货车

甲种货物75

乙种货物37

⑴装货时按此要求安排A、8两种货车的辆数，共有几种方案.

⑵使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费

最省?最省的运费是多少元？

⑶在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元,

每辆8型车奖金为〃元，38<"?<〃，且粗，〃均为整数.则〃?=,〃=.

19.某家具店经销4、8两种品牌的儿童床，己知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为

20%,B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了

4,

⑴该店销售记录显示，四月份销售48两种儿童床共2D张，且销售4品牌儿童床的总利润

与3品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出人、8两种品牌的儿童床的数量；

⑵根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数

不低7A品牌儿童床张数的70%,而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过

计算设计所有可能的进货方案：

⑶在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润

的10%用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学.已知购买甲款仪器每台300元，购

买乙款仪器每台13（）元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量.

第二章元一次不等式和一元一次不等式组（6类压轴题专练）

答案全解全析

题型——元一次不等式（组）与方程（组）

卜-12-3y

1.已知关于x的方程券=与+1的解是非负数，且关于＞的不等式组尸一＞丁至多有

4-y＜2a-3y

3个整数解，则符合条件的所有整数〃的和为（）

A.27B.28C.35D.36

【答案】A

【分析】表示出关于x的方程的解，由方程有非负数解确定出〃的取值范围，再表示出不等式

组的解集，由不等式组至多有3个整数解，得到〃的取值范围.再根据“为整数，即可得出结

果.

【解析】解：解关于X的方程第=?+1,得（3〃-4»=15,

JJ

当3〃-4=0时，原等式不成立，

」.3。-4¥0,x=———20,

3。一4

4

「.3。-4＞0解得：＜/＞—；

解不等式三-2＞宁，得

解不等式4-3y,得”a-2,

•・•原不等式组至多有3个整数解，

.\a-2＜6,得a＜8,

故。的取值范围是g＜。＜8,

人为整数，

「.a=2,3,4,5,6,7,

符合条件的所有整数”的和为2十3十4十5十6+7=27,

故选：A.

【点睛】本题考查了方程、不等式及不等式组的解法，解得的关键是熟记求不等式组解集口

诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了.

3x+2y=4/77+5,,,1、“一1、，一小

2.若存在一个整数〃7,使得关于X,y的方程组".尸"一的解湎足"X3,且让不等

式x-4<-.只有3个整数解，则满足条件的所有整数，”的和是（）

A.12B.6C.-1()D.-14

【答案】D

【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出”的取值范围，再进行求

解即可.

3x+2y=4〃i+5①

【解析】解：

x-y=ni-1@，

①+②x2,得:5x=6，〃+3,

6m+3

解得“

5

①-②x3,得:5y=〃?+8,

m+8

解得产

5

Vx+4y<3,

.6m+34(/〃+8)

»•<3,

55

解得m<-2,

in

解不等式5x-/n>0,得:X>~5r

解不等式工-4<-1,得:x<3,

・・•不等式组只有3个整数解,

5

解得-5W〃?vO,

-5WmW-2,

・,•符合条件的整数m的值的和为一5-4一3-2=-14,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌

握解方程组和不等式组的方法是解题的关键.

3.已知。、b、c满足3〃+2Z?-4c=6,2ci+b-3c=\f且•、b、。都为正数.设y=%+b-2c,

则）’的取值范围为（）

A.3<y<24B.0<y<3C.0<>><24D.y<24

【答案】A

【分析】把c当作常数解方程组，再代入)'，根据"、b.。都为正数，求出。的取值范围，从

而求解.

【解析】解：•.,加+力-4c=6,2a+b-3c=\,

:.a=2c-4,Z?=9-c,

y=3a+h-2c

=3(2c-4)+9-c+2c

=3c-3,

・)、b、c都为正数，

.j2c-4>0

,,(9—00，

2<c<9,

.,.3<3c-3<24,

/.3<y<24.

故选：A.

【点睛】本题是不定方程和不等式组的综合题是一道难度不小的综合题，求出c的取值范围

是解题的关键.

题型二一元一次不等式(组)与化简绝对值问题

4.数轴上A、8两点的距离表示为|A用回答下列问题：

⑴数轴上表示1和5的两点之间的距离是______,数轴上表示T和5的两点之间的距离是

*

⑵数轴上表示X和-1的两点A和8之间的距离是_____,如果|A@=2,那么X为；

⑶当x满足条件时，|克-1|+卜-2|取最小值，最小值是______；

⑷当x满足条件时，卜+1|+卜-3|+卜-7|取最小值，最小值是_____；

(5)当工满足条件时，卜-1|+卜-2|+…+卜-99|取最小值，最小值是;

⑹卜-\旧|5-**1为定值时，相应的x的取值范围是______，定值是______

【答案】(1)4；6

(2ik+H；1或-3

(3)14x42

(4ix=3；8

(51A-=45；1980

(6)2<x<5；y

【分析】(1)利用两点间的跟离公式求解即可；

(2)利用两点间的距离公式求解即可；

(3)当有两个点时，距离和最小，就取以这两点为端点的线段上的任意点;

(4)当有三个点时，距离和最小，就取中间的点；

(5)点有多个时，取中间的点，和最小；

(6)系数最大的项为0即可.

【解析】(1)解：5-1=4,5-(-1)=6；

故答案为：4；6；

(2)解：+

•••A8=2,

.x=l或4=-3；

故答案为：lx+11;1或-3；

(3)解：W-1|+卜-？表示到1,2这两个数的距离的和，

当Y入W2时，到这两个数的距离•的和最小，

最小值为|X-1|+|X-2|=X-1+2T=1；

故答案为：1〈XW2；1；

(4)解：U+II+IA3|+|X-7|表示到T,3,7这三个数的距离的和，

当X取中间数3时，到三个数的距离的和最小，

最小值为1-3-11+17-31=4+4=8；

故答案为：人=3;8;

(5)解：当lx-l|+lx-2|+...+|x-99|取最小值时,

X应取1与99的最中间的数45,

最小值为145-11+145—2|+…+|45-99]

=〃+43+...+I+0+1+...+43+44

=1980；

(6)解：|5—；X|+!|5—X|+|!X-I|

=|5-+1|为定值，即含X项为0,

o332

观察系数，—+；=。，或:+9；=°，

o3Zo3Z

5--x>05-LWO

66

3亨0或②.—--x<0,

33

—x-1>0-x-\<0

22

解不等式组①得2WXW5,

解不等式组②，无解，

・••当2345时，原式为定值.

此时，I5_'x|+g|5-x|+|；x_||=5_3x+g_gx+；x_]=£.

17

故答案为：2<x<5；—.

【点睛】本题考查的是两点间的距离公式，解题的关键明白两点间的距离就是两点表示的两

个数差的绝对值.

5.【问题提出】|。-1卜|。-2|+|。7+1+k-2023|的最小值是多少?

【阅读理解】

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手.的几何意义是。这个数在数轴上对应的

点到原点的距离，那么,可以看作。这个数在数轴上对应的点到1的距离；仁1|+|吁2|就可

以看作。这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们结合数轴研究

+的最小值.

我们先看。表示的点可能的3种情况，如图所示：

如图①，。在1的左边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

如图②，。在1和2之间（包括在1,2±）,可以看出。到1和2的距离之和等于1.

如图③，。在2的右边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

所以。到1和2的距离之和最小值是1.

【问题解决】

（1）的几何意义是_______；请你结合数轴探究：|。-2|+|-4|的最小值是_____；

（2）请你结合图④探究：3|+|〃-4|的最小值是,此时。为

（3）|«-l|+|«-2|+|a-3|+|«-4|+|«-5|+|a-6|的最小值为；

（4）\a-\\+\a-2\+\a-3\+L+|“-2023|的最小值为.

【拓展应用】

如图⑤，已知。到T,2的距离之和小于4,请写出。的范围为.

11.1I11III1.1II.

-2-l«01234-2-10\a234

图①图②

I1IIII*1»I_________II____I__________I___________I____I»

-2-10123i/4-2-101234

图③图④

I_________I_________।________|______।_________।_________।।_________]]a

-5-4-3-2-1012345

图⑤

【答案】【问题解决】（1）。这个数在数轴上对应的点到2和4两个点的距离之和，2；（2）2,

3；（3）9；（4）1023132；【拓展应用】-1.5<a<2.5

【分析】【问题解决】（1）根据题目提供的方法，说明即可；

（2）根据题目提供的方法，当。在2和4之间，且处于中点时，即当〃=3时，卜-2|+|〃7+k-4

最小；

（3）根据题目提供的方法，当。在1和6之间，且处于中点时，所求式子最小；

（4）根据题目提供的方法，当。在1和2022之间，且处于中点时，即当，=1011时，所求式

子I最小；

【拓展应用】分①当。>2时，②当时，③当时，求出。的范围，再合并即可.

【解析】解：【问题解决】（1）根据题目提供的方法，可知：。这个数在数轴上对应的点到表

示2和4两个数的点的距离之和；此时最小值为2；

故答案为：。这个数在数轴上对应的点到表示2和4两个数的点的距离之和；2；

（2）根据题目提供的方法，可知：k-2|+卜-3|+|〃-4|当。处于2和4的中点，即”=3时最小，

最小值为：|3-2|+|3-3|+|3-4|-2.

故答案为:2；3；

（3）根据题目提供的方法，可知：当〃在1和6之间，取最小值，

当。在2和5之间，|。-2|+卜-5|取最小值,

当。在3和4之间，|。-3|+|八4|取最小值，

・二当。在3和4之间,所求式子l«T|+|a-2|+|a-3|+"-4|+|a-5|+|a-6|最小;

不妨取a=3,最小值为；|3-1|4-|3-2|4-|3-3|4.|3-4|4-|3-5|+|3-6|-9；

故答案为：9;

（4）总结规律可知，最中间一个数或者中间两个数之间取最小值.

1,2,3,4,5……2023的中间数为:1012

.|a-l|+|a-2|+|a-3|+-+|«-2021|

=|1012-1|+|1012-2|+|1012-3|----+|1012-2023|

=1011+1010+1009+…+2+1+0+1+2+3+…+1011

=1011x（1011+1）

=1011x1012

=1023132；

故答案为：1023132；

【拓展应用】•••0使它到-1,2的距离之和小于4,

・•・①当”2时，则有+

解得：”2.5.

.,.2<a<2.5；

②当时,则有―+2-=3v4,

-1Wa42；

③当。<-1时，则有-l-a+2-av4,

解得：a>—1.5,

由①②③不得式得出：T.5<a<2.5.

故答案为:-1.5vav2.5.

【点睛】本题考查数轴、绝对值的几何意义，简单的一元一次不等式的解法等知识，解题的

关键是理解题目提供的方法，灵活运用这一方法解题.

6.（问题提出）|aT|+|"2|+|a-3|+…+,-2021）的最小值是多少?

（阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手.W的几何意义是。这个数在

数轴上对应的点到原点的距离.那么可以看作。这个数在数轴上对应的点到1的距

离.卜7|+|。-2|就可以看作。这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们

结合数轴研究+的最小值.

我们先看〃表示的点可能的3种情况，如图所示；

Ii.i।111A।।Ii.i।।

-21234-2-101^234

图①图②

I1IIII.1»

-2-10123。4

图③

।।।।।।1A

-2-101234

图④

-5-4-3-2-10123456

图⑤

（1）如图①，。在1的左边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

（2）如图②，。在1和2之间（包拈在1,2±）,可以看出。到1和2的距离之和等于1.

（3）如图③，。在2的右边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

所以。到1和2的距离之和最小值是1.

（问题解决）（1）*3|+|"6|的几何意义是

请你结合数轴探究：,-3|+卜-6|的最小值是一

（2）请你结合图④探究：|〃-1|+卜-2|+1。-3|的最小值是」此时。为

（3）|〃-1|+|〃-2|+卜-3|+卜-4|+|〃-5|+小-6|的最小值为

（4）+-2|+|〃-3|+…+|〃-2021|的最小值为

（拓展应用）（5）如图⑤，已知，到一1,2的距离之和小于4,请写出〃的范围为一.

【答案】（1）a这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，3；

（2）2,2；

（3）9；

（4）1021110；

（5）一1.5〈百v2.5

【分析】（1）根据题目提供的方法，说明即可；

（2）根据题目提供的方法，当。在1和3之间,且处于中点时，即当。=2时，ST+m-2|+|aT

最小；

（3）根据题目提供的方法,当。在1和6之间,日处于中点时,所求式子最小：

(4)根据题目提供的方法，当。在1和2022之间，且处于中点时，即当a=101l时，所求式

子I最小；

(5)分①当02时，②当Tvav2时，③当时，求出〃的范围，再合并即可.

【解析】解(1)根据题目提供的方法，可知：〃这个数在数轴上对应的点到表示3和6两个

数的点的距离之和；此时最小值为3；

故答案为：。这个数在数轴上对应的点到表示3和6两个数的点的距离之和；3；

(2)根据题目提供的方法,可知：1“-11+1“-2|+忆-3|当。处于1和3的中点2,即。=2时最

小，最小值为：|2-1|+|2-2|+|2-3|=2；

故答案为：2；2；

(3)根据题目提供的方法，可知：当。在1和6之间，且处于中段，即。处于3和4之间时，

所求式子laTI+l4-2|+|4-3|+|4-4|+|4-5|+|4-6|最小；不妨取4=3,最小值为：

13-11+|3-2|+|3-3|+|3-4|+|3-5|+|3-6|=9.

故答案为：9;

(4)1,2,3,4,5……2021的中间数为：1011

/Ja-11+|«-2|+|«-3|+--+|fl-20211：

=1011-1+1011-2+1011-3---+2021-101L

=1010+1009+1008+…+1+0+1+2+3+…+1010：

=1010x(1010+1)：

=1000x1011+10x1011

=1011000+10110

=1021110；

故答案为：1021110；

(5)•••〃使它到T,2的距离之和小于4,

.\|«-(-l)|+|a-2|<4,

・•・①当a>2时，则有a-(T)+a-2<4,

解得：a<2.5.

.,.2<a<2.5；

②当-/<”2时，则有a-(-l)+2-a=3<4,

：.-[<a<2：

③当白工一1时，贝lj有一1-々十2-々<4,

解得：a>-1.5,

：.-\.5<a<\；

由①②③不得式得出：一1.5<av2.5.

故答案为：-1.5vav2.5.

【点睛】本题考查数轴、绝对值的几何意义，简单的一元一次不等式的解法等知识，解题的

关键是理解题口提供的方法，灵活运用这一方法解题.

题型三新定义题型

7.阅读下列材料：

我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A,B,若数轴上存在一点M,使得点M到点A

的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”.

解答下列问题：

⑴若点A表示的数为-5,点8表示的数为1,点M为点A与点8的“雅中点”，则点M表示

的数为;

⑵若4、3两点的“雅中点AT表示的数为2,且A、8两点的距离为9（A在5的左侧），则点

A表示的数为，点B表示的数为；

⑶点A表示的数为・6,点C,。表示的数分别是-4,・2,点。为数轴原点，点8为线段上

一点（点8可与C、。两点重合）.

①设点例表示的数为若点M可以为点A与点8的“雅中点”，则〃z可取得整数有

②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数粕正半轴方向移动.设移动的时间为

（>0）秒，求f的所有整数值，使得点。可以为点A与点8的“雅中点工

【答案】（1）-2

⑵-2.5,6.5

⑶①-4,-5；

②2,4,5

【分析1（1）根据新定义求解即可；

（2）根据新定义设未知数列方程求解；

（3）①根据新定义列不等式求解；②根据新定义列不等式组组求解.

【解析】（1）解：g（-5+1）=-2,

故答案为：-2；

99

(2)2--=-2.5,2+-=6.5,

22

故答案为：-2.5,6.5；

(3)设8表示的数为

①m=；(-6+x),

所以整数机的值为：-4,-5,

故答案为：-4，-5；

②由题意得：A表示的数为：-6+2/,。表示的数为：-2+2/,

•・•。可以为点A与点B的“雅中点”，

・•・B表示的数为：6-2r,

;点8为线段C。上一点(点3可与C、。两点重合)，

:.-4<6-2t<-2+2tf

解得：2</<5,

・・・［的所有整数值为:2,3,4,5,

•・・/=3时，6-2/=0,此时8表示的数为0,因此，=3不符合题意，舍去，

故满足条件的f的值为2,4,5.

【点睛】本题考查了数轴，结合数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键.

8.如图，数轴上两点A、8对应的数分别是-1,1,点P是线段A8上一动点，给出如下定义：

如果在数轴上存在动点Q,满足久2=2,那么我们把这样的点。表示的数称为连动数，特别

地，当点。表示的数是整数时我们称为连动整数.

APB

⑴在-2.5,0,2,3.5四个数中，连动数有；

3x+2y=k+\

⑵若欠使得方程组<中的x,)，均为连动数，求k所有可能的取值;

4x+3y=4—1

2%-6

------->x-3

3

⑶若关于工的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及

x+3,••••

-----<x-a

2

a的取值范围.

【答案】(D-2.5,2

(2)攵=-8或Y或Y；

（3W的取值范围是-尹aw-2.

【分析】（1）根据连动数的定义即可确定；

（2）先表示出-），的值，再根据连动数的范围求解即可；

（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于。的不等式，解不等式即可求得.

【解析】（1）解：•・•点户是线段48上一动点，点A、点B对应的数分别是-1,1,

又・・,PQ=2,

・・・连动数。的范围为:-3MQ4T或1KQK3,

，连动数有-2.5,2；

故答案为：-2.5,2；

3x+2y=攵+1①

(2)解:

4x+3y=k-\@

②x3-①*4得：y=-k-l,

①x3-②x2得：x=k+5f

要使-y均为连动数,

-3<x<-lugl<x<3,解得一8WZK-6或-4K"-2,

-3<y<-lngl<y<3,解得一6W&WT或一IOWAW—8,

・・・A=-8或-6或T；

2.V-6°

--->x-3x<3

（3）解：\解得：

x+3,x>2a+3"

-----<x-a

2

•・•解集中恰好有3个解是连动整数,

・・・四个连动整数解为T,1,2,

••—2<2a+3W—1,

--<a<-2

2

••a的取值范围是一,<〃工一2.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不

等式组是解题的关键，

9.深化理解：

新定义：对非负实数x“四舍五入''到个位的值记为Z（x）,即：当〃为非负整数时，如果

n——<x<z?+—,则Z（x）=〃；

22

反之，当〃为非负整数时，如果Z（x）=〃，则〃彳—；.

例如：Z（0）=Z（0.48）=0,Z（O.64）=Z（1.49）=1,Z（2）=2,Z（3.5）=Z（4.12）=4,...

试解决下列问题：

⑴填空：①Z（7.2）=,Z（/）=（"为圆周率），Z（M）=；

②如果Z（x-2）=1,求实数1的取值范围；

⑵若关于x的不等式组3-的整数解恰有4个，求〃的取值范围；

Z（6Z）-X>0

⑶求满足z（x）=%的所有非负实数工的值.

【答案】（1）①7,3,4；②2.56V3.5

（2）2.5<«<3.5；

八、八4812

（3jx=。，-,-,-T--

JJJ

【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为Z（x）,进而得出相关的值；②

利用对非负实数丁四舍五入”到个位的值记为Z（x）,进而得出x的取值范围；

（2）首先将Z"）看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出。的取值范围；

（3）利用a0,，为整数，设9=攵为整数，贝心=?，得出关于《的不等关系求出即

445

可.

【解析】（1）解：①由题意可得：

Z（7.2）=7,Z（i）=3（不为圆周率），

4<V18<4.5,

.•.Z（V18）=4.

故答案为：7,3,4；

（2）VZ（.x-2）=l,

0.5<x-2<1.5,

2.5<x<3.5；

故答案为：2.5<x<3.5；

（2）解：解不等式组得:-1SJVZ®,

由不等式组整数解恰有4个得，2<Z（a）<3,

故2.5K”3.5；

（3）解：•・•"（），"fx为整数，

4

设,=女，攵为整数，则户之，

45

.•.Z㈤=3

141

:•k-3三？<k+，女之0，

.\0<A:<2.5,

・・・攵=0,1,2,3,

皿八4812

JJJ

【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解Z（x）的意义

是解题关键.

题型四一元一次不等式（组）与一次函数

10.一次函数%=履+外丘0次、〃是常数）与%=，〃“+3（〃?/0,〃?是常数）的图像交于点。（1,2）,

下列结论正确的序号是（）

解于x的方程心+匕=g+3的解为x=l；

②一次函数必=+3（加二0）图像上任意不同两点A&,先）和川马,稣）满足：-/）（》-觉）<0；

③若川―力|=〃一3（/»3）,则％=0;

④若8<3,且丘2,则当x>l时，

A.②③④B.®®®C.①②③D.①②③④

【答案】B

【分析】根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①；利用待定系数

法求出力=T+3,结合一次函数的性质即可判断②;求出|=|（&+1川+八3,结合|*7"-3,

即得出|（"1）止。，解得女=7或x=0,故③错误；将。（1,2）代入,=去+6,即可求出k=2-b,

进而可得出&>-1,且女工0,画出大致图像，可得出当时，一次函数））=履+力的图像位于

一次函数/=〃优+3的图像上方，即,>为,可判断④正确.

【解析】解：.••一次函数,=依+》与）”如+3的图像交于点Q（l,2）,

J联立的解为[*，

y2=/JIX+3[y=2

即方程"+〃=〃田+3的解为x=l,故①正确；

将£）（1,2）代入乃=""+3,得：2=〃?+3,

解得：〃?=一1,

，H=r+3.

V-l＜0,

・・・对于一次函数%=r+3,）：的值随元的增大而减小,

当七时，儿＜力；当x“〈玉时，北，

无论何时儿与工f都为异号，

，（乙-%）（工f）＜0,故②正确；

•.•|，一刃=|辰+人一（一*+3）|=|（〃+1）与+〃一3|,且匕＞3,

，加-4|=|（&+1）H+〃-3.

:四一%|=6-3,

・・・1（八1）*1=。，

・・・&+1=0或x=0,

・・・左=-1或x=0,故③错误；

将。（1,2）代入x=h+力，得：2=k+b,

：.k=2-b.

・"