第八章 解三角形（学生版）

2025高考数学二轮复习

解三角形

知识梳理

1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关

系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关亍未知元素的方程，通过解方程求得未知元

素.

2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化.要适当

选用公式，对于面积公式S==[acsi几8=[bcsMA,一般是已知哪一个角就使用哪个公式.

3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等

式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，

确定所求式的范围.

4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数

等知识.

5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手铜，要牢牢掌握并灵活运用.利用

三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基

本不等式等求其最值.

6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性

求解.

7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径.充分利用超设条件中所提供的特殊边角

关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结

合三角形、不等式、函数等知识求其最值.

经典真题回顾

1.（2024年高考全国甲卷数学真题）在△4BC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若8=g,b~=-ac

34

则sinA+sinC=（）

C"

A.亚B.叵D.那

1313213

2.（2024年北京高考数学真题）在△力8c中，内角的对边分别为a,b,c,匕力为钝角，a=7,

sin2B=—7bcosB-

⑴求乙4；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求AABC的面积.

条件①：b=7;条件②：cosB=—；条件③：cs出力=三g.

142

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

3.（2024年新课标全国n卷数学真题）记△/WC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知si〃4+

x/3cosA=2.

⑴求A.

(2)若a=2,\[2bsinC=csin2B,求△ABC的周长.

4.(2024年新课标全国I卷数学真题)记△A8C的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知目口。=

V2cosB,a2+b2-c2=V2ab

⑴求B;

(2)若△48c的面积为3+百，求a

5.(2023年高考全国甲卷数学真题)记△48。的内角48,C的对边分别为a,b,c,已知生上1二三=2.

cosA

⑴求be;

小、"acosB-bcosAb,..……工

(2)若----------------=1,求△ABC面积.

acosB+bcosAc

6.(2023年高考全国乙卷数学真题)在△ABC中，已知乙84C=120。，AB=2,AC=1.

(l)4^sinz48C;

(2)若。为3c上一点，M.^BAD=90°,求△/1OC的面积.

7.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

⑴求sir?；

(2)设A8=5,求A8边_L的高.

8.(2023年北京高考数学真题)在△力中，(aIc)(sin4sinC)=b(sinAsinB),则NC=()

ABD

-i-iC-T-y

9.（2023年高考全国乙卷数学真题拉•△48。中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若/水8-外水4=5

IUAV-KZO

且6=会则"=（）

10.（2023年高考全国甲卷数学真题）在△力BC中，/.BAC=6^°,AB=2,BC=V6,乙84C的角平分线交

BC于。，则力。=

11.（2022年新高考浙江教学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式,

他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S=

JC2a2_（。2+：毋）2,其中4,伉。是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边Q=

V2,b=V3,c=2,则该三角形的•由积S=.

12.（2022年高考全国甲卷数学真题）已知△力BC中，点。在边AC上，^ADB=120°,AD=2,CD=

2BD.当空取得最小值时，BD=_________.

AB

13.（2022年新高考全国H卷数学真题）记△力8c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以。，b,

。为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2,S3,已知Si-S2+S3=—,5inB二上

23

(I)^-AABC的面积;

(2)若siziAsinC=3，求江

3

14.(2022年高考全国乙卷数学真题)圮△A3C的内角A,6,C的对边分别为a,b,c,已知比〃。5加(/1一

B)=sinBsin(C—4)

(1)若4=28,求C;

(2)证明：2a2=b2+c2

15.(2022年新高考全国I卷数学真题)记△48C的内角A,B.C的对边分别为a,h,c,已知产；=

Ai5171/■

sin28

1+C0S2B"

(】)若。=署，求4；

⑵求学的最小值.

考点一：倍长定比分线模型

解题思路：如图，若P在边BC上，且满足无=入万万，|AP|=m,则延长AP至O,^tPD=A4P,连接CO,

易知力8||。*且。C=2c,/0|=（1+入）14Pl.^BAC4-^ACD=180°.

【典例1・1】设“，b,c分别为△RBC的内角A,B,。的对边，AO为BC边上的中线，c=1,LBAC=y,

2csinAcosB=asinA-bsinB+-bsinC.

2

⑴求AQ的长度;

(2)若E为48上靠近8的四等分点，G为△/BC的重心，连接EG并延长与AC交于点尸，求的长度.

【典例】在△/中，内角2

1・2BCA.B,。的对边分别为a,b,c,且满足cos-2-cosAcosC=4

(1)求角3的大小；

c_DQ

(2)若Q=8,COSA=—,。为边AB上一点，且CD=7,求——的值.

7DA

【变式1・1】在①旧b—6ccosA=Qsi"C,②也泮=吟誓,这两个条件中任选一个，补充在

下面的问题中，并解答问题.

在AA8C中，内角ARC的对边分别为4瓦。，且满足.

⑴求C;

(2)若的面积为V5,。在边4c上，且C0=；C4,AC+BC=4,求B0的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

高考预测

I.在a/lBC中，角4&C所对的边分别为a/,c,且B==2,M是BC的中点，AM=2百，则

AC=,coszMAC=.

考点二：倍角定理与正弦平方差

解题思路：“倍角三角形”

B=2A<=>b2=a(a+c)

C=2Boc?=b(b+a)

4=2C<=>a2=c(c+b)

推论I：A=2B=---=—^―=---<=>b=---=-----c

sin2BsinBsin3B2cosB3-4sin2B

推论2：4=2B<=>7=1+2cosAb+c=2acosB

b

正弦平方差：sin2a-sin2/?=sin(a+/?)sin(a-/?)

【典例2・1】从①"2+c，2-"=2次posB。-2cosc')；@C2=b2+ab;③

sinCeosB-sin'cosC=cos(C-8),这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题.

sinBcosB

在锐角A4BC中，角A仇C所对的边分别为Q,瓦c,且.

(1)证明：C=2B;

2ceqA?

(2)求竺2+4sin8的取值范围.

sinC

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【典例2.2】已知。，方，c分别为△力BC三个内角A,B,。的对边，a2-c2=be.

(1)证明：A=2C;

(2)若a=2,且△力5c为锐角三角形，求b+2c的取值范围.

【变式2-1】在△482中,48=4,AC=3.

(I)若cosC=—=求A/IBC的面积；

4

(2)若A=2B,求8C的长.

【变式2・2】在锐角△48C中，角.4,B,C所对的边为a,b,c,且Q•cos8=b(l+cos4).

(1)证明：sinC=sin3B;

(2)求?的取值范围.

高考预测

1.在锐角△4BC中，角力，B,C所对的边为a,b,c,且a•cos8=b(l+cosA).

(1)证明M=2B

(2)若b=2,求Q的取值范围.

考点三：角平分线模型与张角定理

解题思路：

角平分线张角定理：如图，40为N84C平分线，cos*与+”)(参考一轮复习)

RDC

斯库顿定理：如图，4。是△A8C的角平分线，则可记忆：中方=上积一下

积.

【典例3-1】在△48C中，角A,B,。所对的边分别为Q,b,cy且cosB(ccosB+bcosC)+ga=0.

⑴求角8的大小：

(2)若a+c=8,b=7,«<c,求sin(24+C)的值；

(3)设。是边上一点，8D为角平分线且24。=DC,求cos/1的值.

【典例3・2】已知在A/BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且亚£=竺立以竺

a+ba-c

(1)求角8;

(2)若点。在力C上，BD为乙ABC的角平分线,BD=273,求2a+c的最小值.

【变式3・1】(2024•河北;仓州•模拟预测)在AABC中，角A,B,。的对边分别为。，〃，c,已知山=

c(c+b).

(I)求证：B+3C=7t;

(2)若448c的角平分线交AC于点O,且a=12,b=7,求8D的长.

【变式3-2】△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,仇。.已知4t/sinA=bsinCcosA+csinAcosB.

(])求呵的值；

sinC

(2)若RD是乙ABC的角平分线.

(i)彳正明：BD2=BA-BC-DA-DC}

(ii)若Q=1,求瓦ZAC的最大值.

高考预测

I.在△48C中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,C,且accs8+bc°s

c2absinC

⑴求c；

(2)若AABC的三条角平分线相交于点0,AB=1,的面积为曳I,求OC

考点四：隐圆问题

解题思路：若三角形中出现b=a以a>1),且c为定值，则点c位于阿波罗尼斯圆上.

【典例4-1】(2024・四川眉山・三模)阿波罗尼奥斯是与阿基米徒、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓

名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数人(2>0,2w1)的动点的轨迹.已知右△49C中，

角力、B、C所对的边分别为a、b.c,SLsinA=2sinB,acosB+bcosA=3,则△ABC面积的最大值为

()

A.3B.3百C.6D.6V3

【典例4-2】在平面四边形4BCO中，连接对角线BO,已知CD=9,80=16,ZFDC=9O°,sinA则

对角线i4c的最大值为()

A.27B.16C.10D.25

【变式4・1］巳知△A4C中，BC=2,G为AABC的重心,且满足4G1.8G,则△AAC的面积的最大值为

【变式4.2】已知等边△48C的边长为2,点G是△A8C内的一点，且南+南+茁=6，点P在△ABC所

在的平面内且满足|而|=1,则|而|的最大值为.

高考预测

1.在平面四边形ABCD中，^.BAD=90°,AB=2,AD=1.^AB-AC+BABC=-CA-CB,则

CB+3。。的最小值为-

考点五：正切比值与和差问题

解题思路：

定理1：tanA=AtanB=c=(入+l)bcosA<=>(A+l)(b2-a2)+(A-l)c2=0

定理2：—----1———=—^―0Q2+=牛c2

tanAtanBtanCA

定理3：(正切恒等式)44BC中，tanA+tanB4-tanC=tanA-tanB-tanC.

【典例5・1】在AABC中，A8=6且9£anA+9£6m8+5tcmC=0,则aABC面积的最大值为.

【典例5-2】已知在锐角aABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,若2bcosC=ccosB,则

，即

c-4+—三+—三的最小值为

tanBtanAtanBtanC

【变式5-1】（2024•浙江•模拟预测）在锐角三角形ABC中，角48,C的对边分别为a,b,c,若〃+c?=

46csin（力+'）,则tanA+tanB+tanC的最小值是.

【变式5・2】在△力比•中，角A3C所对的边分别为a,b,c,若/^+点=葭三，且sin（C-8）=Tsii/，

则c?-b2=.

高考预测

1.在锐角△/1BC中，a,b,c分别为角ABC所对的边，6=2,且的面积S=2.

（1）若5勿/=\,求a；

（2）求tan8的最大值.

考点六：四边形定值和最值与托勒密定理

解题思路：正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边

形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理.

托勒密定理：在四边形48co中，有AB-CD+ADBCNAJBD,当且仅当四边形A4C0四点共圆时,

等号成立.

【典例6・1】克罗狄斯・托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学冢、天文学冢和地理学冢.托勒密定理是

欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积,

当且仅当四点共圆时，等号成立.已知在凸四边形力8co中，A8=2,BC=6,AD=2CDt£ADC=

则BD的最大值为（）

A.5B.3V2C.2瓜D.2夕

【典例6・2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文:

圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积

之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、

余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的层本性质.已知四边形ABCQ的

四个顶点在同一个圆的圆周上，AC.4。是其两条对角线，BD=4V3,且△4CD为正三角形，则四边形

4BCZ）的面积为（）

A.166B.16C.12百D.12

【变式6・1】如图.在平面四边形ABC。中，BC=CD=AD=—AB-设乙CBD=8,证明：「二为定值.

3snr0

【变式6-2】如图，平面四边形4BCD的对角线分别为AC,BD,其中力8=&,BC1CD,乙BCD=

沁"•

(1)若8C=2,△4C0的面积为匚竺，求△BCD的面积;

(2)若乙/WC=三匕8。。，AD=2AB,求cos/ACD的值.

3

高考预测

1.克罗狄斯・托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦

表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且

仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论.如图，四边形A8CO内接于半径为

2代的圆，，/=120。，N5=45。，4J9=40,则四边彬ABCD的周长为()

A.4V3+6V2B.10V3C.4G+4也D.4V3+5V2

考点七：边角特殊，构建坐标系

【典例7-1】已知三角形A8C中，BC=3,角力的平分线交BC于点D,若黑=：，则三角形ABC面积的最大

值为()

A.1B.2C.3D.4

【典例7-2】在△ABC中，NACB=30。，点。在边8c上，且BD=3,若48=24。，则CD长度的最大值为

()

A.3B.4C.5D.6

【变式7・1】已知aA3c内角A,B,。的对边分别为%b,c,悬G是AABC的重心,且正•就=().

(1)若乙648=?,求tan/GAC的值;

6

⑵求cos乙4c8的取值范围.

高考预测

1.在△力BC中，AB=2,AC=yJl>N8AC=135。，M是△力8C所在平面上的动点，则卬=雨.而+

M5-MC+MC-而5的最小值为-

考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题

【典例8-1】（2024・高三・河北沧州•期中）记的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=

2QCOS（B-；）.

⑴求A;

（2）若△ABC的面积为36,sinBsinC=^~,求△ABC的周长.

【典例8・2】在△?!"；中,角4,4,C对应的边分别为a,b,c.巳知csinA+优osC=>

⑴求sii/；

⑵若点。为BC边的中点，且Q=2&,AD=V5,求△力8C的面积.

【变式8・1】已知A/IBC的三个角A,B,C的对边分别是a,b,c,且£anC=3tanB.

（1）若Q=2b,求C;

（2）若。=诧，〃+c=3,求A/IBC的面积.

【变式8-2］（2024♦四川眉山•一模）在△48C中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知8£（0卷）,

且i+J=岛.

tanBtanC2bsinBsinC

⑴求8;

(2)若的外接圆半径为A,周长为+遍)R,且a>〃，求4

高考预测

1.记a/BC的内角A,B,C的对边分别为%b,c,已知皿£二三竺空£竺£

smA2-cosA

⑴求A；

(2)若〃=2,Q«Olilni4=ZOillniC，求的周长.

考点九：三角形的形状判定

【典例9-1］已知△A8C的三条边a,Ac和与之对应的三个角A,B,C满足等式QCOSB+bcosC+ccosA=

匕cos4+ccosB+QCOSC则此三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【典例9・2】（2024・高三・福建南立•期中）在△A8C中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知向量

m=^/,cosj,zz=b,cosyJ,p=（c.cos共线，则△力BC的形状为（）

A.等边三角形B.钝角三角形

C.有一个内角是?的直角三角形D.等腰直角三角形

O

【变式9-1］（2024・高三•上海闵行•期中）在△48。中，已知〃—左=后，且〃tanC=ctan8,则4

ABC的形状为（）

A.直角三角形B.等腰直角三角杉

C.有一个角为60。的直角三角形D.等边三角形

【变式/2］在△布中，角4B,C分别为明b,c三边所对的缸窖二醋,则△神的形状是

()

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

高考预测

1.已知分别是△ABC三个内角48,C的对边，下列关于△A8C的形状判断一定正确的为()

A.sin^A+sin2B=sinC,则△48C为直角三角形

B.sin2A+sin2B=sinC,则△48C为等腰三角形

C-sin2A+sin2B+sin2C=2,则△ABC为直角三角形

D.sin2A+sin2B+sin26=2,则△ABC为等腰三角形

2.已知△A5C的三个内角A,B,C所对的边分别为明b,c,满足2a+b=2ccos8,且sinA+sin8=1,

则的形状为()

A.等边三角形B.顶角为120。的等腰三角形

C.顶角为150。的等腰三角形D.等腰直向三角也

考点十：三角形中的几何计算

【典例10-1】(2024・高三・安徽•期中)如图，在平面四边形片"。中，AC与DB的交点、为E,DB平分〃DC,

AB=BC=CD=2,AD>2-

B

(1)证明:BD2=2(40+2);

(2)若乙4BD=与,求器•

【典例10・2】在平面四边形4BCD中，AB=BC=瓜/-ABC=120°,人。_1_。且力。二百。。.

(1)求AC的长；

(2)若M为。。的中点，求cos44MB.

【变式10・1】(2024•江苏扬州•模拟预测)如图，四边形48。。中，已知8。=1,AC2={B?+/18+1.

B

(1)若△4BC的面积为相,求AABC的周长;

(2)若AZ?=3,Z.ADB=60°,/.BCD=120°,求心BOC的值.

【变式10-2］如图所示，在△48。中，设a,b,c分别为内角的对边，已知b+c=3a,/?=4(c-a).

(1)求角C;

(2)若c=7,过8作AC的垂线并延长到点。，使A,民C,。四点共圆，4c与8。交于点E,求四边形ABC。的面

积.

高考预测

1.在△力BC中，2v5cos2^+sinB=1+V3.

(1)求角3的大小;

(2)若E为夙?的中点，户是4c边上的点，且满足V2\AB\sin^BAC-\BC\cosC=0,求瞿的值・

考点十一：中线长定理与补角双余弦

解题思路：

方向一：中线长定理

若分别为BCM&AB的中线，则有：

222222

=172(b+c)-a,X/2(Q2+-2)一炉,/c=1y/2(b+a)-c.

444

方向二：余弦和为o

在A/IBC中，点D为线段BC上一点，则有：

acc..AD2+BD2-AB2,ADZ+CDZ-ACZ人

COSZ.ADB+cosLADC=r0即Bn—————+————=0.