第3单元 因数与倍数-苏教版五年级数学下册预习讲义

因数与倍数

知识深度解析

按照一个数因数个数的多少可以把非。自然数分成三类

①只有自己本身一个因数的1

②只有1和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是2。在所有的质数中，2

是唯一的一个偶数。

③除了1和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有3个因数）最小的

合数是4。

公因数与公倍数

两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数,

用符号（，）o两个数的公因数也是有限的。公因数只有.1的两个数叫作互质数

两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数,

用符号［,］表示。两个数的公倍数也是无限的。

分解质因数

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。

倍数特征

2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8O

5的倍数的特征：个位是0或5。

3的倍数的特征：各位上数字的和一定是3的倍数。

和与积的奇偶性

偶数+偶数=偶数奇数十奇数二偶数

偶数+奇数二奇数偶数X偶数二偶数

偶数X奇数二偶数（因数中只要有一个偶数）奇数X奇数二奇数

典例一讲即透

典例1：2、5、3的倍数认识

1.在四位数21口0的口里填入一个数字，使它同时是2,3,5的倍数，最多有（）种填法。

A.2B.3C.4D.5

2.用1〜5这五个自然数连续不断地排成一个二十位数1234512345…，这个二十位数一定是

（）。

A.2、3的倍数B.2、5的倍数

C.3、5的倍数D.2、3、5的倍数

典例2：质数与合数

1.如果△表示一个质数，。表示一个合数，那么下面的（）的结果一定是合数。

A.△+。B.0—△C.△xoD.△

2.我国著名数学家陈景润证明“任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质

数之和“，例如，22=3x5+7。国际上将这个结论称为“陈氏定理”，下面的式子中，符合这个

定理的是（）o

A.5=2x14-3B.8=2x24-4C.32=3x7+11D.18=2x7+4

典例3：最小公倍数及其应用

1.亮亮和丽丽去图书馆借书，亮亮每4天去一次，丽丽每7天去一次，7月3日他们两人都

去了图书馆借书，下一次两人都去借书是儿月儿日？

2.李瑞家用长80厘米、宽64厘米的长方形地砖铺满正方形的卧室地而（地砖没有切割），卧

室地面的边长最少是多少厘米？至少要用多少块这样的地砖？

典例4：最大公因数及其应用

1.在一个长60米、宽54米的长方形花坛周围以最大的等距离栽杨树（四个角都要栽），一共

可以栽多少棵杨树？

2.画笔描绘美好未来，色彩绘就美好人生。学校要在一块长是20分米。宽是12分米的长方

形展板上贴满学生的美术作品，每幅作品都是大小相同且边长为整分米数的正方形。

（1）每幅作品边长最长是多少分米？

（2）可以贴多少幅这样的作品？

核心考点特训

一、选择题

L“质数和合数一定互质。”要想举例反驳这个结论，可以选（）0

A.1和8B.2和7C.5和9D.3和51

2.（）的公因数只有lo

A.两个不同的质数B.两个不同的奇数

C.一个质数和一个合数D.一个奇数和一个偶数

3.从1、3、5、7这四个数字中选两个数字组成不同的两位数，其中合数有（）个。

A.3B.4C.5D.6

4.著名的“歌德巴赫猜想”被喻为：“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都

可以写成两个质数之和。下面四个算式中，符合这个猜想的是（）o

A.13=2+11B.36=17+19C.4=1+3D.20=5+15

5.一筐苹果，6个6个或8人8个的数都少1个，这筐苹果最少有（）个。

A.23B.25C.47D.49

6.把45本书平均分成若干份，每份不少于5本，也不多于20本，一共有（）种分

法。

A.5B.4C.3D.6

二、填空题

7.在小于20的非零自然数中，质数有（）个，既是奇数又是合数的数是（）

和：），既是质数又是偶数的数是（）o

8.20以内6的倍数有（）个；12的所有质因数有（）。

9.在括号里填上合适的质数。

36=（）X（）X（）X（）18=（）+（）

=（）+（）

10.已知a,b是自然数，且a+b=l……1,则a和b的最小公倍数是（）,a和b的

最大公因数是（）0

11.一张长12分米，宽8分米的长方形纸，将它剪成若干个相同的正方形，没有剩余，正方

形的边长最长是（）分米。

12.妈妈买来一篮鸡蛋共30个，让亮亮把鸡蛋从篮子中拿出，要求每次拿的个数相同，但不

许超过5个，拿到最后正好一个不剩。亮亮共有（）种拿法。

三、判断题

13.任意两个非0的自然数，它们的和一定是合数。（）

14.两个数的最大公因数是1,最小公倍数是16,这两个数可能是2和8。（）

15.一个自然数（0除外）的因数是有限的，倍数个数是无限的。（）

16.若正方形的边长是质数，则它的面积是合数。（）

17.盒子里放4个球，分别写着2,3,5,7,任意摸一个球，如果摸到奇数小可赢，摸到偶

数小华赢，那么小可一定赢。（）

四、计算题

18.把下面的数分解质因数。

345765

19.求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

8和126和365和714和35

五、解答题

20.有5张卡片，分别写有数字1、2、3、4、6.现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成

一个三位数，可以组成多少个奇数？

21.用一张边长24分米的正方形纸片正好能裁剪成若干张长4分米、宽3分米的小长方形纸

片，一共能够裁剪成多少张？

22.五（1）班在男生24人，女生20人。体育课上，老师要把男女生分别分小组活动，但每

组的人数都要相等，每组最多应是几人？一共可分成多少个小组？

23.一块正方形布料，既可以都做成边长是16cm的方巾，也可以都做成边长是12cm的方巾都

没有剩余。这块正方形布料的边长至少是多少cm?

24.暑假期间，小林每4天打篮球一次，小军每6天打篮球一次。8月1日两人在篮球场相遇,

八月几日他们又再次相遇？

典例一讲即透解析

典例1：2、5、3的倍数认识

1.在四位数21n0的□里填入一个数字，使它同时是2,3,5的倍数，最多有（）

种填法。

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除；3的倍数特征：

一个数各个位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除；5的倍数特征：一

个数的末尾是（）或5,能被5整除。2ko的末尾是0,所以它是2、5的倍数，

因为2+1+口的和是3的倍数，据此分析即可。

【详解】2+1+匚=3+口，且W里只填一个数字，有如下几种情况：

当□=（）时，3+o=3+0=3,3是3的倍数；

当0=3时，3+0=34-3=6,6是3的倍数；

当0=6时，3+o=3+6=9,9是3的倍数；

当0=9时，3+0=3+9=12,12是3的倍数；

所以在四位数21。的方框里填入一个数字，使它能同时被2,3,5整除，最多

有4种填法。

故答案为：C

2.用1〜5这五个自然数连续不断地排成一个二十位数1234512345...,这个二

十位数一定是（）。

A.2、3的倍数B.2、5的倍数

C.3、5的倍数D.2、3、5的倍数

【答案】C

【分析】个位上是（）、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位是（）或5的数是5

的倍数；一个数各个数位上数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。据此解答。

【详解】20-5=4（组）

所以这个数最后一位数字是5,是5的倍数。

1+2+3+4+5=15,15是3的倍数，所以这个二十位数也是3的倍数。

这个二十位数一定是3、5的倍数。

典例2：质数与合数

1.如果△表示一个质数，。表示一个合数，那么下面的（）的结果一定是合数。

A.△+oB.o—△C.△xoD.O4-A

【答案】C

【分析】质数：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整

除的数。合数：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整

除的数。据此逐项分析即可。

【详解】A.假设△=2,0=4,△+。=2+4=6,6是合数；假设△=3,0=4,

△+o=3-|-4=7,7是质数。所以，△+。不一定是合数。

B.假设△=2,0=6,△=6—2=4,4是合数；假设△=3,。=4,o—△

=4—3=1,1既不是质数也不是合数。所以，。一△不一定是合数。

C.假设△=2,o=4,△xo=2x4=8,8是合数。假设△=3,。=4,△xo=3x4

=12,12是合数。所以，AX。一定是合数。

D.假设△=2,o=4,O^-A=4=2=2,2是质数；假设△=5,o=4,。+匕=4+5

=0.8,（）.8不是自然数；所以，。+△不一定是合数。

2.我国著名数学家陈景润证明“任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的

乘积与一个质数之和”，例如，22=3x5+7。国际上将这个结论称为“陈氏定理”，

下面的式子中，符合这个定理的是（

A.5=2x14-3B.8=2x2+4C.32=3x7+11D.18=2x7+4

【答案】C

【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。一个

数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。整数中，是2

的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。

【详解】A.5=2xl+3,5是奇数，1既不是质数也不是合数，不符合“陈氏定

理”；

B.8=2x24-4,4是合数，不符合“陈氏定理”：

C.32=3x7+11,32是偶数，3、7、11都是质数，符合“陈氏定理”；

D.18=2x7+4,4是合数，不符合“陈氏定理”。

符合这个定理的是32=3x7+11。

典例3：最小公倍数及其应用

1.亮亮和丽丽去图书馆借书，亮亮每4天去一次，丽丽每7天去一次，7月3

日他们两人都去了图书馆借书，下一次两人都去借书是几月几日？

【答案】7月31日

【分析】先求出4和7的最小公倍数：因为4和7互质，最小公倍数就是两数相

乘得到28,再用7月3日加上这个间隔天数，即可求出两人下次同时去图书馆

的日期。

【详解】最小公倍数：4x7=28

3+28=31（S）

答：下一次两人都去借书是7月31日。

2.李瑞家用长80厘米、宽64厘米的长方形地砖铺满正方形的卧室地面（地破

没有切割），卧室地面的边长最少是多少厘米？至少要用多少块这样的地砖？

【答案】320厘米；20块

【分析】先分解质因数求出80和64的最小公倍数，确定正方形卧室地面的最少

边长；再用这个最小边长分别除以地砖的长和宽，求出长、宽方向各需要多少块

地砖，最后将两个方向的数量相乘即可。

【详解】80=2x2x2x2x5

64=2x2x2x2x2x2

最小公倍数=2x2x2x2x2x2x5=320

320+80=4（块）

320:64=5（块）

4x5=20（块）

答：卧室地面的边长最少是320厘米，至少要用20块这样的地砖。

典例4：最大公因数及其应用

1.在一个长60米、宽54米的长方形花坛周围以最大的等距离栽杨树（四个角

都要栽），一共可以栽多少棵杨树？

【答案】38棵

【分析】要在长方形花坛周围以最大的等距离栽场树（四个角都要栽），说明树

的间距既是长方形长的因数，也是长方形宽的因数，即长和宽的公因数。要求最

大的等距离，就是求长和宽的最大公因数。先用短除法（用两个数的公因数去除，

直到商互质，再把所有除数相乘）求出间距后，再利用（长+宽）x2求出长方

形花坛的周长，根据封闭图形栽树，间隔数等于棵数，用周长除以间距，求出能

栽树的总棵数。

【详解】

2|6054

3|3027

109

2x3=6

因此，长和宽的最大公因数为6。

（60+54）x2

=114x2

=228（米）

228+6=38（棵）

答：一共可以栽38棵扬树。

2.画笔描绘美好未来，色彩绘就美好人生。学校要在一块长是20分米。宽是

12分米的长方形展板上贴满学生的美术作品，每幅作品都是大小相同且边长为

整分米数的正方形。

（1）每幅作品边长最长是多少分米？

（2）可以贴多少幅这样的作品？

【答案】

（1）4分米；

（2）15幅

【分析】（1）用分解质因数法求出20和12的最大公因数，即20=2x2x5、

12=2x2x3,所求得的最大公因数就是每幅作品最大边长；

（2）用长方形的长和宽分别除以最大作品边长，得到的商再相乘，即可解答。

【详解】（1）20=2x2x5

12=2x2x3

所以，20和12的最大公因数是：2x2=4

答：每幅作品边长最长是4分米。

（2）20+4=5（个）

12+4=3（个）

5x3=15（幅）

答：可以贴15幅这样的作品。

核心考点特训解析

1.D

【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有别的因数

的数是合数，1和0既不是质数也不是合数。两个数互为质数，则它们的最大公

因数是1。据此先判断出各个选项中的两个数是不是一个质数、一个合数；如果

是一个质数和一个合数，再分别找出各组中两个数的最大公因数，最大公因数不

是1的即可作为反驳的例子。

【详解】A.1既不是质数也不是合数，8是合数，不符合题意；

B.2是质数，7也是质数，不符合题意；

C.5是质数，9是合数，它们的最大公因数是1,即互为质数，不符合题意；

D.3是质数，51是合数，它们的最大公因数是3,即不是互为质数，符合题意。

故答案为：D

2.A

【分析】要判断每组选项中数的最大公因数是否为1通过对每个选项分别举例,

依据最大公因数的定义来判断该选项是否符会要求。

除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还

有其他因数，这样的数叫合数。

整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。

如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”。举例说

明即可。

【详解】A.两个不同的质数，比如2和3；2只能被1和2整除，3只能被1和

3整除，它们公有的因数只有1,所以最大公因数就是1,该选项有可能符合要

求。

B.两个不同的奇数，像3和21。3的因数有1；21的因数有1、3、7、21,它

们公有的因数有1和3,所以最大公因数是3,不是1,该选项不符合要求。

C.一个质数和一个合数，例如5是质数，30是合数。5的因数是1、5；30的因

数有1、2、3、5、6、10、15、30,它们公有的因数有1和5,最大公因数是5,

不是1,该选项不符合要求。

D.一个奇数和一个偶数，比如3是奇数，12是偶数。3的因数是1、3；12的因

数有1、2、3、4、6、12,它们公有的因数有1和3,最大公因数是3,不是1,

该选项不符合要求.

所以两个不同的质数只有1。

故答案为：A

3.C

【分析】先确定十位，每个数都可以做十位数，当其中一个数是十位数时，其余

各数依次做个位数，据此写出所有不同的两位数。除了1和它本身以外不再有其

他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。

【详解】13、15、17、31、35、37、51、53、57、71、73、95

从1、3、5、7这四个数字中选两个数字组成不同的两位数，其中合数有15、35、

51、57、95,共5个。

故答案为：C

4.B

【分析】根据质数的含义：除了1和它本身没有其它因数的数，叫做质数，自然

数中是2的倍数的数是偶数；由此根据题目要求找出大于2的偶数并且都是两个

质数之和即可。

【详解】A.13不是偶数，不符合猜想。

B.36是偶数，17和19是质数，符合猜想。

C.1不是质数，不符合猜想。

D.15是不是质数，不符合猜想。

故答案为：B

5.A

【分析】6个6个或8个8个的数都少1个，问这筐苹果最少的个数，可知这筐

苹果的个数是6和8的最小公倍数减1,据此解答。

【详解】因为：6=2X3,8=2X2X2,则6和8的最小公倍数是：2X2X2X3

=24；

24-1=23（个）

所以：这筐苹果最少有23个。

故答案为：A

【点睛】本题考查了灵活运用最小公倍数求解实际问题，最小公倍数是公有质因

数与独有质因数的连乘积.

6.C

【分析】把45本书平均分成若干份，则每份中书的数量是45的因数；将45写

成两数乘积的形式可得到45的因数；接下来，找出大于等于5且小于等于20

的因数，满足这个条件的因数有几个就有几种分法。

【详解】45=1X45=3X15=5X9

45的因数有1、3、5、9、15、45,其中大于等于5旦小于等于20的因数有5、

9、15,共3个，所以用45本书平均分成若干份，每份不少于5本，也不多于

20本，一共有3种分法。

故答案为：C

【点睛】此题考查的是因数的应用，学生还要熟练掌握找一个数因数的方法。

7.89152

【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0乜是偶数），不是2的倍数的数

叫做奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一

个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，先找出20

以内的所有奇数，再从奇数中找出合数，2是唯一的既是偶数也是质数，据此解

答。

【详解】20以内非自然数中，质数有：2,3,5,7,11,13,17,19一共有8

个；

20以内奇数有：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19；

既是奇数又是合数的有：9,15；

既是质数又是偶数的数是2。

在小于20的非零自然数中，质数有8个，既是奇数又是合数的数是9和15,既

是质数乂是偶数的数是2。

【点睛】掌握奇数、偶数、质数、合数的意义是解答题目的关键。

8.32、3

【分析】求一个数的倍数的方法用这个数分别乘自然数：1,2,3,4,5…，所

得积就是这个数的倍数，据此写出20以内6的倍数即可.

根据分解质因数的意义:把12分解质因数，即把12写成几个质数的连乘积形式，

由此即可得出12的所有质因数-

【详解】20以内6的倍数有：6、12、18；

12=2X2X3,12的所有质因数有：2、3。

20以内6的倍数有3人；12的所有质因数有2、3o

【点睛】此题主要考查求一个数的倍数的方法和求质因数的方法。

9.2233513711

【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，根据质数

的意义解答。

【详解】36=2X2X3X3

18=5+13=7+11

【点睛】本题考查质数的意义，根据质数的意义解答问题。

10.ab1

【分析】根据题意，u+……1,说明a和b是相邻的自然数。相邻的自然数

是互质数，如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1,最小公倍数是它们

的乘积。据此解答。

【详解】a和b是相邻的自然数，是互质数，则2和b的最小公倍数是ab,a和

b的最大公因数是1。

【点睛】明确“a和b是相邻的自然数和互质数”、互质数的最大公因数和最小

公倍数的特点是解题的关键。

11.4

【分析】根据题意可知，把长方形平均分成若干个相同的正方形，求正方形的边

长最大是多少分米，就是求12和8的最大公因数，最大公因数是两个数的公有

的质因数的乘积；据此解答。

【详解】12=2X2X3

8=2X2X2

2X2=4

12和8的最大公因数是4,

正方形的边长最大是4分米。

【点睛】本题考查了最大公因数的求法和应用。

12.4

【分析】要求每次拿的个数相同，但不许超过5个，拿到最后正好一个不剩，有

多少种拿法，就是在求30有几个不超过5的因数，根据列乘法算式找因数，按

照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的

两个因数就是这个数的因数。据此找到符合的条件即可。

【详解】30=1X30=2X15=3X10=5X6

不超过5的因数有1、2、3、5,共4个，所以亮亮共有4种拿法。

【点睛】本题考查了因数的求法和应用。

13.X

【分析】自然数：在数物体的个数时，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、…

叫做自然数，一个物体也没有，用“0”表示；

合数：一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数，据此举

例解答。

【详解】如自然数1和2；

1+2=3；3是质数，入是合数。

所以任意两个非0的自然数，它们的和不一定是合数。

原题干说法错误。

故答案为：X

14.X

【分析】这两个数的最大公因数是1,说明这两个数是互质数；把16进行分解，

找出符合题意的即可，据此判断。

【详解】16=1X16=2X8

因为2和8的最大公因数是2,最小公倍数是8,不合题意，舍去，因此这两个

数是1和16,原题干的说法是错误的。

故答案为：X

15.V

【分析】根据因数、倍数的含义和找一个数的因数、倍数的方法，可得一个数（0

除外）的因数的个数是有限的，最小的是1,最大的是它本身；一个数的倍数的

个数是无限的，最小的是它本身，据此解答即可。

【详解】因为一个数（0除外）的因数的个数是有限的，最小的是I,最大的是

它本身；

一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，所以题中说法正确。

故答案为：V

【点睛】此题主要考查了因数、倍数的含义和找一个数的因数、倍数的方法，要

熟练掌握。

16.J

【分析】正方形面积=边长义边长；除了1和本身还有别的因数的数，是合数。

据此分析判断。

【详解】因为正方形面积=边长X边长，所以正方形的面积至少有3个因数，分

别为1、本身和边长。所以，若正方形的边长是质数，则它的面积是合数。

故答案为：V

【点睛】本题考查了质数和合数、正方形的面积，掌握面积公式、质数和合数的

定义是解题的关键。

17.X

【分析】由题意可知：2、3、5、7中，2是偶数有1个，3、5、7是奇数有3个，

1V3,任意摸一个球，所以摸到奇数的可能性大，小可赢可能性就大，据此判断

即可。

【详解】在2、3、5、7中，2是偶数有1个，3、5、7是奇数有3个，1V3,任

意摸一个球，所以摸到奇数的可能性大，小可赢可能性就大，故小可一定赢说法

错误。

故答案为：X。

【点睛】不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据各种球数量的多少，直

接判断可能性的大。

18.34=2X17；57=3X19；65=5X13

【分析】把一个合数分解质因数，就是把一个合数写成几个质因数相乘的形式,

一般先从较小的质数试着分解。

【详解】34=2X17

57=3X19

65=5X13

19.8和12的最大公因数是4,最小公倍数是24；6和36的最大公因数是6；

最小公倍数是36

5和7的最大公因数是1,最小公倍数35；14和35的最大公因数是7,最G公

倍数是70

【分析】①、④先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连

乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，它们公有的质因数和各自独有的质因

数连乘起来就是它们的最小公倍数；

②求两数的最小公倍数，就看这两个数的关系，两个数为倍数关系，则最大公因

数是较小的数，最小公倍数为较大的数；

③求两数的最小公倍数，就看两个数之间的关系，两个数互质，则最大公因数是

1,最小公倍数就是这两个数的乘积。

【详解】①8=2X2X2

12=2X2X3

所以8和12的最大公因数是2X2=4,最小公倍数是2X2X2X3=24；

②36是