分式方程及其应用（六大考点）-2026中考数学总复习考点重难突破（含答案）

专题02分式方程及其应用（六大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习-考点

强化讲与练

（一）分式

方程的概念

（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程.

（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解.

（二）解分式方程

（I）去分母，把分式方程转化为整式方程.

（2）解这个整式方程，求得方程的根.

（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0,则它不是原方程的根，而是方程的埴

fi,必须舍去；如果使最简公分母不为0,则它是原分式方程的根.

注意：分式方程无解包含：增根或去分母后的整式方程无解；增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分

母为。的根

（三）分式方程解的应用

（I）增根求参数：①先去分母化为整式方程②确定增根③将增根代入整式方程解出参数

（2）由解的情况求参数的取值范围：①先去分母化为整式方程②用参数来表示x③根据解的情况构建不等式，

求解参数取值范围

（四）分式方程的实际应用

（1）解分式方程应用的步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列分式方程；（4）解分式方程；（5）检验1既要检验是否

为分式方程的解，也要考虑是否符合实际意义）；（6）作答.

（2）常用公式：①行程问题：遨度=华:②工程问题：工作效率=斐£（工作总量设为1）③销售问

时间工作时间7

题：数量=强

考点1分式方程的定义

第1页

典例1:

1.已知方程：①5=2；0|=2;③、=如④惠=分⑤丫+1=a⑥1+3（%-2）=7-是分

式方程的是（）

A.①②③④⑤B.②③④C.②④⑤D.②④

【变式1】

2.有下列方程:

①和2=1；（2）1-X2=1;③2=%；^+3=^!：⑤9=2;@2x-3y=0；⑦一3=

筝⑧岩+3;⑨三="其中是整式方程的是;是分式方程的是.（填序

号）

【变式2】

3.下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是（只填序号）

①竽=5;②*+匕)+2=竽③喑+2=*：④翁=*⑤1+卜2一|;⑥喑

x-n,x+mc

竽⑦：也/⑧"+铲⑨x+rn.H--x---n-=2.

【变式3】

4.关于x的方程：①奇-x-1胆=4；⑥》

3=&②恭普③叱=④L⑤竽-x

l-x,分式方程有.,（填序号）.

【变式4】

5.下列方程不是分式方程的是（)

X4

A.-+x=2+3xR-

X乩2X+3-5

CJ£±1-414

J7T3一”D.x-5+2x4-3=1

【变式5】

YV、丫

6.下列关于x的方程中（1）9=1：1-3x；(3),+[==(4)3=a+4：(5)

4

竿+1=。，其中是分式方程的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点2解分式方程

典例2：

24

7.(1)

2Al-4x?-l

⑵良+1=盛

第2页

【变式1】

8.习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程:

习题1:计算+习题2：解方程£1+喜=1

解:耳+计1解：方程两边同乘得

却+等=/一1第一步

=高•（/-1）+备・（/-1）第一步

2

=1+%0-1)第二步1+%(%+1)=X-1第二步

=1+--1第三步x一一2第三步

=/第四步经检验，％=-2是原方程的解.第四步

（1）分别写出习题1,习题2的解答过程中是从第儿步开始出现错误的;

（2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程.

【变式2】

9.解下列分式方程:

(1)x_2x

%+1-3x+3十

力_2_____4_1

_

x-2X2_4x+2

【变式3】

*称为二阶行列式，规定它的运算法则为：|"|=血-姐例如/1-3=

a+ba-b

(1)计算_±_1

2a2/)2a2b

（2）求等式|11I=1中x的值.

口I

【变式4】

11.解分式方程.

(1)9工一7_4%一6

3x-21-2-3x

(2)缶一m=1•

【变式5】

9Y11

12.已知0=广+广&=策一口.

（1）分别化简尸和Q;

(2)若P=Q,求x的值.

考点3分式方程解的应用——求参

第3页

典例3：

13.解方程：

已知关于X的方程：当一备二思为的解是正数，求〃，的取值范围

【变式1】

14.关于美勺分式方程融=（尸壶+2）-1的解为非负数，求k的取值范围.

【变式2】

15.关于％的分式方程空手=3的解是正数，求满足条件的整数m的最大值.

X—1••

【变式3】

16.关于％的分式方程3-/_=当.

1-xx-1

（1）若m=3,解分式方程；

（2）若这个方程的解为％=2,求m的值；

【变式4】

17.已知关于x的分式方程萼1-3=1.

（1）若该方程的解为久=3,求m的值；

（2）若此方程的解为负数，求m的取值范围.

【变式5】

18.（1）解方程：=1一痣

（2）关于％的分式方程「［一四=1的解为正数，则根的取值范围

X—LL-X

考点4

典例4：

19.已知，关于"的方程：磊+白=鬲赛"

（1）若方程有增根，求m的取值；

（2）若方程无解，求m的取值；

（3）若方程的解为整数，求整数m的值.

【变式1】

20.己知关于x的分式方程岩-摄=1.

（1）若分式方程的根是x=5,求a的值。

（2）若分式方程有增根，求a的值.

（3）若分式方程无解，求a的值。

第4页

【变式2】

2L关于x的方程案+自=西岛•

（1）〃，为何值时，方程有增根？

（2）w为何值时，方程无解？

【变式3】

22.阅读下列材料：

在学习“分式方程及其解法''的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程&=1的解为正数，求a

的取值范围.经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于X的方程，得到

方程的解为x=a+4,由题目可得。+4>0,所以。>一4,问题解决.小聪说：你考虑的不全面，还必须

满足—.

（1）请回答：横线填什么.

完成下列问题：

（2）已知关丁式的方程段-a=2的解为非负数，求"I的取值范围；

（3）若关于%的方程尝+号=一1无解，求n的值.

X—DX—5

【变式4】

23.在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分

母.然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0.这就可能导致未知数的取值范围被不

恰当地扩大.如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0,加么这个解就是

增根.虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程.

（1）解分式方程与+2=工时产生了增根，这个增根是：;

（2）若关于4的方程号一3=1有增根，求〃7的值：_________；

X乙X

（3）已知整数，〃使关于x的方程岩=3有整数解，求〃?的值.

1—XX—i

【变式5】

24.学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于X的分式方程刍=1的解为正数，求Q

八1"

的取值范围.经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于X的方程，得到

方程的解为％=Q+4,由题目可得Q+4>0,所以。>-4,问题解决.小聪说：你考虑的不全面，还必须

aH0才行.

（1）请回答：的说法是正确的，正确的理由

是：

第5页

（2）己知关于%的方程咨+哭=3的解为非负数，求m的取值范围;

（3）若关于x的方程岩+寄=一1无解，求"的值.

考点5不等式与分式方程

典例5：

X-l-11+%

25.若整数Q使关于无的不等式组---T-,有且只有45个整数解，且使关于y的方程笔毕+黑=

<4A--a>%+1yy

1的解为非正数，求整数Q的值.

【变式1】

2x+3、1

有且只有五个整数解，且关于的分式方程昌-锣

26.若关于无的不等式组下一2“一1y=1的解为非

•6%—6>G—4

负整数，则符合条件的所有整数Q的和为多少？

【变式2】

且使关丁j的一元一次不等式组[内一工y-1有解,

27.关丁人的分式方程留十1二却的解为正数,

（y4-3>a

则所有满足条件的整数。的值之和是多少？

【变式3】

28.若数m使关于y的不等式组b丁；：：）；。5m至少有三个整数解，且使关于"的分式方程雪-2=&

有整数解，求所有满足条件的整数相的值的和.

【变式4】

2y—1>3y-2

29.若数a使关于x的分式方程詈十二=3的解为非负数，且使关于y的不等式组132=3的解集

X—1L—X丁”帮工2a

为yWl,则符合条件的所有整数a的和.

【变式5】

K1]+X

—<—有且只有四个整数解，且使关于的方程冷+卷=的解

30.若数。使关于x的不等式组y2

5%-2>x+ayy

为非负数，求符合条件的所有整数〃之和.

考点6分式方程实际应用

典例6：

31.野生木耳是本市著名特产之一.某土特产专卖店经销A,8两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所

品牌4B

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进货(元/袋)Xx+16

销售(元/袋)8()100

(1)第一次进货时;该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进8品牌野生木耳，且两种

品牌所购得的数量相同，求x的值.

(2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进4,8两种品牌共180袋，销售时

A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进8品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利

润不低于3600元.

【变式1】

32.一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼物

送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用9()0元购买圆规，已知一支签字笔和一个圆规的售

价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍.

(1)求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规?

(2)实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了会每个圆规的售价便宜了器(m<15)

元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规

的数量比计划购买圆规的数量增加了5m个，但实际购买签字笔取圆规的总数量与计划购买签字笔和圆规的总

数量相同，最终实际购买签字笔和画规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了(300+5m)元，求

m的值.

【变式2】

33.哈尔滨某商场准备采购一批亚冬会吉祥物进行销售，下面是一段对话.

用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B一件A型商品的进价比一件B型商品

型商品的件数的2倍.的进价多10元.

(1)根据对话信息，求每件A、8型商品的进价分别是多少？

(2)若该商场购进4、8型商品共150件进行试销，已知每件A型商品的售价为230元，每件8型商品

售价为21()元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元.求至多购进A型商品多少件？

【变式3】

34.为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A,B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90

万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格

第7页

及月处理污水量如下表所示:

污水处理设备A型B型

价格(万元/台)mm—3

月处理污水量(吨/台)200180

(1)求m的值;

(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并

求出每月最多处理污水量的吨数.

【变式4】

35.近日，气温骤降，阿坝结斯沟雪山迎来了第一场雪，两队登山爱好者计划同一天出发，沿不同的路线自

行前往山顶的营地汇合。甲队走A路线，全程1200千米，乙队走B路线，全程1600千米，由于A路线的

路况没有B路线好，甲队每天行驶的路程是乙队的。这样甲队比乙队晚2天到达营地.

(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？

(2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元.甲队最开始计划有8个人同行，计划

每人每天花费300元，后来又有m个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减

少30元.若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720

元，求m的值.

【变式5】

36.综合与实践.

如何分配工作，使公司支付的总工资最少

壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史

也非常悠久.某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务

素材1分配给甲、乙两个生产部门去完成.

甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独

完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天.

素材2经调查，这项订更■需要支付甲部门4800元/天，乙部门30()()元/天.

素材3由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半.

问题解决

任务1确定工作效率求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；

①若设甲部门工作小天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门

任务2拟订设计方案工作时间可表示为天：

②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公

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司支付的总工资最少？最少需要多少元？

【变式6】

37.下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题.

题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000

元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同.求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元.

方法分析问题列出方程

设……

解法一等量关系：甲商品数量=乙商品数2000_1200

%x—20

量

设……

20001200

解法二等量关系：甲商品进价-乙商品进--------------=20

XX

价二20

（1）解法一所列方程中的x表示（填序号），解法二所列方程中的x表示（填序号）:

①甲种商品每件进价X元；②乙种商品每件进价X元；③甲种商品购进工件

（2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题.

（3）商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？

【变式7】

38.（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00

从学校出发.苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果

比队伍提前15分钟到达基地.问：大巴与小车的平均速度各是多少？

（2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书.施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，

付乙工程队工程款1.1万元.工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

方案从乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；

方案C若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.

在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？

【变式8】

39.沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治

理相结合是“中国智慧''和"中国建设”的体现.光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”、“碳中和”的目

标奠定了基础.2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设.甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务.

（1）若甲、乙两厂共生产400。块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多15（）块，甲

厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？

第9页

（2）若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多20%,甲、乙两厂各生产6000块光伏板时，乙厂比甲

厂多用2天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？

【变式9】

40.项目学习方案：

项目元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等

情景知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务

采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的8

素材一

种花卉数量为用320元购买的力种花卉数量的2倍

小组成员甲设用320元购买的4种花卉的数量为x,由题意得方程：①；

任务一

小组成员乙设②，由题意得方程：2x等二股

插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或

素材二完成（9-m）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大

盆栽的时间相同

任务二求m的值

（1）任务一中横线①处应填，横线②处应填

（2）完成任务二.

第10页

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】①②⑥⑦；③④⑤⑨

3.【答案】④⑤⑥⑦⑨

4.【答案】②④⑤

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】Q)解：瘾二舟

24

2x-l=(2x+l)(2x-l)

方程两边同时乘以(2%+1)(2%-1)得：2(2%+1)=4,

即4x+2=4,

解得：%=；，

经检验，当》=义时，(2x+1)(2%-1)=0,

故原方程无解；

⑵解：亳+1=盛

方程两边同时乘以2(%+3)得:4x+2(x+3)=7,

解得：%=

O

8.【答案】(1)解：第1题第一步和分式加法计算，第2题第二步和分式加法计算.

(2)解：习题1：丁匕+备

_1%(%—1)

一(％+1)(%—1)+(%+1)(%—1)

_%2-X+1

-(%+1)(%—1)

X2—x+1

=^T'

习题2：解：七+备=1，

方程两边同乘(炉一1),得1+%(%-1)=/一1,

解得：％=2.

经检验x=2是原分式方程的解.

第11页

9.【答案】(1)解析：方程两边都乘3(%+1),得3x=2x+3(x+l),

去括号得：3x=2x-t-3x+3

移项合并同类项得：-2x=3

解得为=—

经检验，％=-，是分式方程的解,

(2)解：去分母，得2(x+2)-4=%-2,去括号得：2%+4-4=%-2

移项合并同类项得：x=-2,

经检验，％=-2是分式方程的增根，

・••原分式方程无解.

【解析】【分析】(1)分式方程同时乘以3(x+l)化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后检验得到

分式方程的解；

(2)分式方程乘以(x+2)(x-2)化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后检验得到分式方程的解.

a+ba—b

,,x1/,x1a+b-a+b1

10.【答案】⑴解:1]=(°r+b)百一(”>)百=2a2b=滔

2a2b2a2b

2

(2)解：由11,

T^x

得2x告一—=1,

1-x

整理得:言+/=1'

解之得：x=4.

经检验％=4是分式方程的根，

所以》的值为4.

11.【答案】(1)解：原方程去分母得：9%-7-(3%-2)=5-4%,

去括号得：9x-7-3x+2=5-4%,

移项，合并同类项得：10%=10,

系数化为1得：%=1,

检验，当％=1时3%-2W0,

故原分式方程的解为x=l.

⑵脩磊一言=1，

方程变形为：备一由枭^=1,

%(x-3)-3=(x+3)(x-3),

第12页

%2-3z-3=%2-9,

-3x=-9+3,

-3x=-6,

x=2.

检验：当x=2时，(%+3)(%—3)不0,

・•・原方程的解是x=2.

12•【答案】（1）解：p=&+/=（工+靠_2）=当'

11Y—2x+2Y—2—Y—24

=-=

Q=9-。（x+2）（x-2）（x+2）（x-2）X2_4=一尹；

（2）解：由（1）知，P=工，Q=一一

x-2"xz-4

，：P=Q,

1_4

,.,口=一1，

方程两边同乘以（/一4）,得％+2=-4,

解得：x=—6>

经检验，》=-6是分式方程的解，

.••%的值为一6.

13.【答案】解：当一亳=孕咦，

X-5X十4“乙一%—6

方程两边同时乘（X-3）（%+2）得：

(xI1)(kI2)x[x3)=2mx-.

6%4-2=2m—x,

7x=2m—2,

2m—2

x=-7~

•・•此方程的解为正数,

・2m-2

>0,

7

解得1,

•・•分式方程有解,

(x-3)(%+2)H0,

.2m-22m-2

一300,+200,

♦-7~7

.23

••m牛7m工一6,

:・m的取值范围为:m>1且m*当.

第13页

14.【答案】解:方程两边同时乘以(％-1)(%+2)得：(5-%)(%-1)=々一(％-1)(%+2),

BP6X-x2-5=/c-x2-x-b2,

移项得—/+/+6%+%=2+5+匕

合并同类项得7x=7+k,

系数化为1得”=学

根据题意得：竽之0且学/一2,甘手1,

解得：上之一7且忆=0.

15.【答案】解：解名苧=3得，

x=3-mf

.*.%=3—m,

•・•关于”的分式方程去胃=3的解是正数，

3-m>0»且％—1工0,

解得：Tn<3>3-mwl,

/.m<3,m=2,

，满足条件的聚裂山的最大值是：1.

16.【答案】(1)解：当m=3时，方程化为：3--2-=^L,

1—xx—i

去分母，得：3(x-1)+7=3x,

3x—3+7=3x,

4=0,等式不成立，

・•・原方程无解；

(2)解：3—二=注

去分母，得：3(%-1)+7=mx,

把％=2代入，得：3x(2-1)+7=2m,

解得：m=5.

17.【答案】(1)m=4

(2)m<-2且m*-4.

18.【答案】(1)解：方程两边都乘(％-1)(%+1)得:

%2-1—(X4-1)2=-4,

x2-1-x2-2x-1=-4>

-2x-2=-4,

第14页

-2x=-2,

.%x=1>

经检验，x=1是原分式方程的增根,

所以，原方程无解；

1+m=x—2,

%=Tn+3,

•••关于k的分式分程与-泾=1的解为正数，

人乙乙1人

fm+3>0

•••1机+3H2'

解得：m>一3且m工-1.

19.【答案】(1)解：去分母，得3(工一1)+6(%+1)=

去括号，得3%—3+6%+6=znx,

移项、合并同类项，得(m-9)x=3,

当％=-1时，得9一m=3,

解得m=6；

当x=l时，得m-9=3,

解得m=12,

・••若方程有增根，m的取值为6或12；

(2)W：V(7n-9)x=3,

・•・当m-9=0时原分式方程无解，

・'・m=9,

•・•当m=6或12时方程有增根，

・•・若方程无解，m的取值为6或9或12；

(3)解：V(jn-9)x=3,

・3

••X=

m-9x,

•・•方程的解为整数，

.*.m—9=±3,m—9=±1,

当机一9=3时，m=12(舍去)；

当m-9=-3时，，？n=6(舍去)；

当m—9=1时，n?=10；

当=时，m=8；

第15页

.*.m=8或10.

20.【答案】(1)解：•・•分式方程的根足x=5,

5+a

—Q------1=1,

解得a=l,

・・・a的值为1.

⑵解：4=1，

去分母,得x(x+a)-5(x-2)=x(x-2),

去括号，移项,Wax-3x+10=0,

•・•分式方程有增根,

/.x=0或2.

当x=0时,0-0+10和,此时不存在a的值;

当x=2时，2a-6+10=0,

a=-2,

Aa的值为2

(3)蟀：®Vax-3x+10=0,

・••当a-3=0时，方程无解,

/.a=3；

②当分式方程有增根时，a=-2.

・•・若分式方程无解，a的值为3或-2

【解析】【分析】(1)根据分式方程解的定义把％=5代入分式方程得到关于a的方程，进而即可求解；

(2)方程两边同乘以x(x-2)约去掉分母，将分式方程转化为整式方程为ax-3x+10=0,根据分式方程的增根就

是使最简公分母为零的根可求出该分式方程的增根为x=0或2,进而根据分式方程的增根是将分式方程去分

母后所得整式方程的根，故将x=0或2分别代ax・3x+10=0,即可求出a的值.

(3)分为两种情况讨论，①整式方程无解，②分式方程有增根，分别进行计算即可求解.

2】♦【答案】(1)解：笫+占=品而

方程两边都乘(％+2)(工一1),

得(m4-2)(%-1)4-m(x+2)=1-m,

•・,原方程有增根，

・••最简公分母(x+2)(x-1)=0,

解得％=1或x=-2,

当％=1.时，贝+2)(1—1)+m(l+2)=1—

第16页

解得m=J;

当％=—2时，贝U(m+2)(-2-1)+m(-2+2)=1—m,

解得

・•・当m=/或m=-狮，方程有增根；

(2)解：由(1)可得(m+2)(x-1)+m(x+2)=1-TH,

则2(m+l)x=3-2jn,即x=5yM普、,

当m+l=O,即m=—l时整式方程无解，

当薪瑞=-2,即m=—彳时整式方程无解，

当标普=1，即m=3忖整式方程无解，

当m=-1或m=，或m=-别寸，方程无解.

22.【答案】(1)分式的分母不能为0(存0)

(2)

(3)解：原方程可化为曰+3=2

X—DX—D

去分母得：m+%=2(x-3)

解得：x=m+6

・・•解为非负数

m4-6>0»即m>—6

又,・*-3H0

.,•?n+6H3,即mW—3

••m>一6且mH-3

解：去分母得：3-2%4-nx-2=-(x-3)

解得：(n—l)x=2

•・•原方程无解

An-1=0或者%=3

①当九一1=0时，得：n=1

②当无=3时，伍占广3,得：n=|

综上：当九=1或九=葭时原方程无解.

23.【答案】(I)丫=2

(2)m=2

第17页

(3)解：mx+1=3-3x,

(in十3)x=2,

“焉(皿"-3)・

Vx工1.

，m。一1.

:盛为整数，

♦\m+3=12—L—2,

/•?n=—2,—1,—4,—5.

综上所述，m=-2,-4,-5.

24.【答案】(1)小聪；分式的分母不能为零(分式方程的解不能是增根)

(2)解：解方程，得％=3-加，

•••方程的解为非负数，

—?n>0»

二m

•••x。3,

工3

二mH],

:.m<£且mH

(3)解：原方程化简为：(n-l)x=2

,原方程无解，

n-1=0或％=3

①当日一1=0时，解得九=1；

②当为=3时，解得九冶

二当71=1或九=别寸原方程无解.

x-1/11+X

25.【答案】解：~~~T~

Ax—Q>X+1

解不等式①得：X<25

解不等式②得：婴

・•・不等式组的解集为：婴<%M25.

•••不等式组有且只有45个整数解,

第18页

*0•-20W-n-<—19,

解得一61<a<-58.

解关于y的方程，得y=-a-61.

••・关于）的方程写鲁2+提;=1的解为

y=-a-61,y<0,

*'•-Q—61<0♦解得QN—61.

•••y+1W0,

yH-1,

•••a0一60,

故整数a的值为-61或-59.

2x4-3、1

俎

26.【答案】解：解关于％的不等式组-35~x-1伸：—a+7—2<x<6z-.

-6x—6>n—4

2x4-3、1

•.・关于K的不等式组有且只有五个整数解,

-6.r—6>fl—4

••・1W半V2.

O

关于y的分式方程当一号岑=1的解为：y=^.

••・关于y的分式方程卷-与岑=1可得产生增根2,

竽工2.

•••关于y的分式方程昌一号=1的解为非负整数,

..与30且竽工2.

(14牛<2

，竽N。,竽’2.解得

...a为整数，且引为整数，...a=6,8.

.•.符合条件的所有整数Q的和为：64-8=14.

故答案为：14.

27.【答案】解：关于％的分式方程空。+1=姿=化为整式方程是：ax-3+(x-2)=-(3x-l),

解得：“指,

・••关于》的分式方程守+1="的解为正数,

•••a+4>0,

a>-4,

第19页

・••关于x的分式方程总+1=警二1可能会产生增根2,

X—ZZ-X

岛*2,

•••Q0一1,

(32

解关于y的一元一次不等式组导*一1得：

{y+3>a(y>"

(3y-2,1

•・•关于y的一元一次不等式组2工丫-1有解，

(y+3>Q

/.a—3<0,

•••a<3,

综上，—4<a<3且Q0—1,

•••Q为整数，

Aa=-3或一2或0或1或2,

，满足条件的整数a的值之和是：-3-2+0+1+2=-2.

28•【答案】解不等式组葭；；!：。5m的解集为

・••关力的不等式%解显5m

至少有三个整数解，即y取0,1,2,

二22,m>4.

分式方程告萼-2=用的解为％=-4o，

乙八人乙TilO

•・•关于x的分式方程与婴-2=备有可能产生增根2,

•4.2•••mH5.

••♦关于》的分式方程与婴-2=力有整数解，

」二为整数，且m>4,mH5,

m—3

:.m=4或7.

••.所有满足条件的整数m的值的和为4+7=11.

29.【答案】解：善+白=3

人JLJL人

%+2a

-X--—-1----X--—-1T=3

%+2-a=3(x-1)

解得欠=早且工工1,

•・•解为非负数,

第20页

・・・罕之0且竽工1,

解得Q<5且Q=3.

2y-1>3y-2①

132/3小，

(丁"百。42a②

解不等式①得，y<l，

解不等式②得，y<a,

因为关于)，的不等式组的解集为y<1,

所以Q>1,

所以1<a<5且a*3,

因为a为整数，

所以Q为1、2、4、5,

所以符合条件的所有整数的和为1+2+4+5=12.

30.【答案】解：2<3W,

5%-2>%4-Q②

解①得，XV5；

解②得，华，

・・•不等式组有且只有四个整数解，

・•・不等式组的解集为牛Wx<5,整数解为：1,2,3,4；

解得，—2VaW2；

解分式方程得，y=2-a；

・・•方程的解为非负数，且2—QH1

A2-a>0；即Q<2；

综上：-2<QW2且Q*1

•・z是整数，

/.a=-1,0,2；

，-1+0+2=1.

31.【答案】(1)解：由题意可得：噌=黑器，解得：％=60.

经检验：x=60是原方程的解.

答：x的值为60.

(2)解：设购进B为，〃袋，A为(180—m)袋，由题意可得：

第21页

(80-60-5)(180-m)+[100-(60+16)]m>3600,

解得：？nN100.

答:至少购进B品牌100袋.

32.【答案】(1)计划购买400支签字笔，100个圆规

(2)10

33.【答案】(1)解：设一件8型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(久+10)元,

由题意得:嚅=2XF

x+10x

解得X=150,

经检验x=150是分式方程的解,

+10=1504-10=160(元),

答：一件8型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元.

(2)解：设商场购进A型商品则购进A型商品(150-加件，

(230-160)m+(210-150)(150-m)<9800,

解得m<80,

・••至多购进A型商品80件.

34•【答案】(1)解：由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备

的台数相同，

即可得:90=75

Tn-771—3,

解得m=18,

经检验m=18是原方程的解，即m=18；

(2)解：•・•/1型污水处理设备的单价为18万元，B型污水处理设备的单价为15万元,

设买4型污水处理设备》台，则B型(10-x)台,

根据题意得：18%+15(10-％)W165,

解得％W5,由于％是整数，则有6种方案,

当％=0时,10-X=10,月处理污水量为1800吨,

当％=1时，10-％=9,月处理污水量为200+180x9=1820吨,

当％=2时，10-x=8,月处理污水量为200x2+180x8=1B40吨,

当％=3时，10-工=7,