概率统计选填题-2013-2022年全国高考数学试题分类汇编解析版

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题12概率统计客观题

一、选择题

I.（2022年全国甲卷理科•第2题j某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,

随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

95%.......................................................................♦................................**

90%♦...............................♦................................*...................................

・•・・—・・・・・・・・・・・・・・・••・・・・

警85%

<80%..........•.............................果....*讲座前

田75%.........................*...................•讲座后

70%..........辛-..................................

65%*....................*...........................

.....*........由.................................

1111111tlI.

12345678910

居民编号

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

解析：讲座前中位数为"%；万%>70%,所以A错;

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%.剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正

确率的平均数大「85%,所以8对,；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,

所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错.

故选:B.

【题目栏目】统计'用样本估计总体'用样本的数字特征估计总体的数字特征

【题目来源】2022年全国甲卷理科•第2题

2.（2022年全国乙卷理科•第10题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已

知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为〃1，〃2，外，且P3>P2>P]>0.记该棋手连胜两盘的概

率为P，则（）

A.〃与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，〃最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，〃最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，/）最大

【答案】D

解析：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，

记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为:，

则此时连胜两盘的概率为小

则外=一+〃加a-q）]+3口-科》"）2+〃加。-〃口]

记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为〃乙，

则乙一心

P=0-P|）P2ft+PlPl（1）=P2（Pl+%）-2Plp2P3

记该棋手在第二盘与内比赛，且连胜两盘的概率为年

则P丙=（I-A）P也+PR。-2）=P式Pi+P>2pM

则如一〃乙二〃|（〃2+〃3）-2〃|〃2〃3一[〃2（四+〃3）-2〃/2〃3]=（〃1一〃2）〃3<。

P乙一%i=P2（Pl+P3A2RP2P3-[P3（P\+P2）-2p、p2P3】=（P2-P3）Pl

即PN<〃乙,P乙<P丙,

则该棋手在第二盘与丙比赛，〃最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；

〃与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D

【题目栏目】概率'相互独立事件'相互独立事件同时发生的概率

【题目来源】2022年全国乙卷理科•第10题

3.（2022新高考全国I卷•第5题）从2至87个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为（）

【答案】D

解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质,不同的取法有:(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,

故所求概率P=&21—-7=-2.故选:D.

213

【题目栏目】概率'古典概型可几何概型'古典概型

【题目来源】2022新高考全国1卷.第5题

4.(2021年新高考全国II卷•第6题)某物理量的测量结果服从正态分布N00,4),下列结论中不正确的是

()

A.。越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.b越小，该物理量在一次测量中大于10概率为0.5

C.。越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.。越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)1与落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

解析:对于A,人为数据的方差，所以。越小，数据在〃=1。附近越集中，所以测量结果落在(9910.1)

内的概率越大，故A正确；

对丁-B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确；

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的

概率相等，故C正确；

对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9910.0)的概率与落在(10210.3)的概率不同，所以一次测

展结果落在(9910.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误，故选D.

【题目栏目】概率'正态分布

【题目来源】2021年新高考全国II卷•第6题

5.(2021年新高考I卷.第8题)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两

次,每次取1个球，甲表示事件”第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件”第二次取出的球的数字是2"，

丙表示事件”两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件”两次取出的球的数字之和是7”，则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【答案】B

解析:P(甲)=：，P(乙)=1,尸(丙P(T)=^=7»»

6636366

p（甲丙）=0HP（甲）P（丙％尸（曰丁）=5=?（甲）P（丁其

P（乙丙）=3P（乙）P（丙），?（丙丁）=。wP（丁）P（丙），故选B.

36

【题目栏目】概率'事件与概率'事件的关系及运算

【题目来源】2021年新高考I卷•第8题

6.（202（）年新高考I卷（山东卷）.第5题）某中学的学

生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游冰，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则

该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件8,则“该中学学生喜欢足球

或游泳”为事件A+3，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件4/，

则P（A）=0.6,P（B）=0.82,P（A+B）=0.96,

所以尸（4・B）=尸（A）+尸（3）-尸（A+区）=0.6+0.82-0.96=0.46

所以该中学既喜欢足球乂喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.

【题目栏目】概率'事件与概率'事件的关系及运算

【题目来源】2020年新高考【卷（山东卷）•第5题

7.（2020新高考II卷（海南卷）•第5题）某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳，

60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数

的比例是（）

A.62%B,56%

C.46%D.42%

【答案】C

解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件3,则“该中学学生喜欢足球

或游泳”为事件A+8，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件48,

则P（A）=0.6,W82,P（A+B）=0.96,

所以?（4・8）=尸（A）+P（8）-P（A+8）=0.6+0.82-0.96=0.46

所以该中学既喜欢足球又喜双游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.

【题目栏目】概率'事件与概率'事件的关系及运算

【题目来源】2020新高考II卷（海南卷）•第5题

8历年高考全国乙卷理科•第他在区间（。/）与。⑵中各随机取I个数’则两数之和大宅的概率为

()

2

9

【答案】B

y

、、、2

7、,

B(0?

解析：如图所示:

1

设从区间（Qi）,（1,2）中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有结果构成区域为

Q=y)|0<x<1,1<y<2},其面积为%=1x1=1.

设事件A表示两数之和大于：，则构成的区域为A=（E,y）［0<xvl,l<y（2,x+y）（｝,即图中的

1々oS23

阴影部分,其面积为5尸1-百丁子所以尸⑷=广记

故选：B.

【点睛】本题主要考杳利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件A对应

的区域面积，即可顺利解出.

【题目栏目】概率'古典概型弓几何概型'几何概型

【题目来源】2021年高考全国乙卷理科•第8题

9.（2021年高考全国甲卷理科•第2题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将

农户家庭年收入调杳数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】C

解析：因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即

可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低T-4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%，故A正确：

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为

0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%、故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

3xO.O24-4xO.m+5xO.l()+6xO.14+7xO.2O+8xO.2O+9x().lO+lOxO.l()+llxO.()4+12xO.()2+13xO.O2+14xO.()2=7.68(777t),

超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的

频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总

频率X

体的平均值的估计值.注意各组的频率等于组距.

赢X

【题目栏目】统计'用样本估计总体'频率分布直方图

【题目来源】2021年高考全国甲卷理科•第2题

10.（2020年高考数学课标m卷理科•第3题）在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为〃1,〃2，〃3，〃4，

且内2=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

仁I

A.=p4=0.1,/?2=P3=0.4B.〃]==°4P?-〃3=°】

C.Pi=〃4-02=0.3D.Pi=p4=0.3,0="a=°2

【答案】B

解析：对于A选项，该组数据的平均数为4二（1+4）X0.1+（2+3）X0.4=2.5,

方差为s：=(l—2.5)2x0.1+(2—2.5)2x0.4+(3—2.5『x0.4+(4—2.5『xO.l=0.65；

对于B选项，该组数据的平均数为K=(l+4)x0.4+(2+3)x0.1=2.5,

方差为s；=(1-2.5『x0.4+(2-2.5『x0.1+(3-2.5『x0.1+(4-2.5『x0.4=1.85：

对于C选项，该组数据的平均数为京=(1+4)X0.2+(2+3)X0.3=2.5,

方差为《二(1-2.5)2x0.2+(2-2.5)2x0.3+(3-2.5『x0.3+(4-2.5)2x0.2=1.05；

对于D选项，该组数据的平均数为巧,=(1+4)X0.3+(2+3)X0.2=2.5,

2

方差为.*=(I-2.5)2x0.3+(2-2.5)2x0.2+(3-25)2x02+(4-2.5)x0.3=1.45.

因此，B选项这一组标准差最大.

故选:B.

【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

【题目栏目】概率"离散型随机变量的均值、方差

【题目来源】2020年高考数学课标HI卷理科•第3题

11.（2019年高考数学课标HI卷理科•第3题）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文

学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100

位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有8（）位，

阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校

学生总数比值的估计值为（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】C

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为

704-100=0.7.故选C.

另解：记看过《西游记》的学生为集合A，看过《红楼梦》的学生为集合总则由题意可得韦恩图：

则看过《西游记》的人数为70人，则其与该校学生人数之比为70+100=0.7.故选C.

【点评】本题考查抽样数据的统计，渗透/数据处理和数学运算素养.根据容斥原理或韦恩图，利用

转化与化归思想解题.但平时对于这类题目接触少，学生初读题目时可能感到无从卜.于

【题目栏目】统计'随机抽样'简单随机抽样

【题目来源】2019年高考数学课标HI卷理科•第3题

12.（2019年高考数学课标全国II卷理科第6题）若则（）（）

A.ln（a-〃）>0B.3“<3，C.ay-by>0D.\a\>\b\

【答案】C

【解析】取。=2,。=1,满足ln（tz-/?）=0,知A错，排除A：因为9=3">3"=3,知B

错，排除B；取。=1,人=—2,满足61=同<例=2,知D错，排除D,因为基函数），=V是

增函数，a>b,所以〃3>川，故选c.

【点评】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、鼎函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和

运算能力素养，利用特殊值排除即可判断.

【题目栏目】统计'用样本估计总体'用样本的数字特征估计总体的数字特征

【题目来源】2019年高考数学课标全国II卷理科•第6题

13.（2019年高考数学课标全国II卷理科•第5题）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定

该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分

与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）

A.中位数B.平均数C.方差D.极差

【答案】A

【解析】设9位评委评分按从小到大排列为王<马〈七〈天…</〈不.则①原始中位数为天，去掠

最低分最高分％，后剩余42<冗3<%4…V/，中位数仍为与，，A正确.

1_J

②原始平均数X=V%2<工3<%…</</），后来平均数乂=亍（工2<%3<七…<4）

平均数受极端值影响较大，・•・I与7不一定相同,B不正确;

③§2=苴（玉一可2+G-斤+…+（“一无）［，/T（WW+（&T）2+…+（/T）

由②易知，C不正确：

④原极差=工9一玉，后来极差二/一工2显然极差变小，D不正确.

【点评】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.可不用动笔，直接得到答案，

亦可采用特殊数据，特值法筛选答案.

【题目栏目】统计\用样本估计总体'用样本的数字特征估计总体的数字特征

【题目来源】2019年高考数学课标全国H卷理科•第5题

14.（2019年高考数学课标全国I卷理科•第6题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦

由从下到上排列的6个

爻组成，爻分为阳爻“-----”和阴爻"——“，右图就是一重卦.在所有重卦中随机

取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）

5112111

A.——B.—C.—D.—

16323216

【答案】答案：A

705

解析：所有的重卦共有=64个，而恰有3个阳爻的重卦有C；=20个，所以所求概率为£=

【题目栏目】概率'古典概型与几何概型'古典概型

【题目来源】2019年高考数学课标全国I卷理科•第6题

15.（2018年高考数学课标山卷（理）•第8题）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为〃，各成员的支

付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,

尸（X=4）vP（X=6）,则〃=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【答案】B

解析：依题意可知X〜*10,〃），则OX=〃pq=10x〃x（l_〃）=2.4,解得〃=0.4或〃=0.6

乂P（X=4）vP（X=6）,所以4p4（l-〃）6<。»6（1一〃）4即（］一〃）2<〃2,即p〉g

所以p=0.6,故选B.

【题目栏目】概率'离散型随机变量及其概率分布'二项分布

【题目来源】2018年高考数学课标in卷（理）•笫8题

16.（2018年高考数学课标II卷（理）•第8题）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成

果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的素

数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（)

A.1

B.—01?D

1214-

【答案】C

解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，随机选取两个不同的数,

共有=45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个不同的数，其和等于30的

有3种选法，故概率『=二=-!~,故选c.

4515

【题目栏目】概率'古典概型与几何概型'古典概型

【题目来源】2018年高考数学课标II卷（理）•第8题

17.（2018年高考数学课标卷1（理）•第10题）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由

三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形A8C的斜边8C,直角边AB,AC.AA8C的三边

所围成的区域记为L黑色部分记为II.其余部分记为HI.在整个图形中随机取一点，此点取自1,11,111

的概率分别记为％鸟,吕则（）

片=〃《二公

A.P.=P2B.C.P2=P.D.6+

H

【答案】A

解析：如图：设BC=a,AB=c,AC=Z?,上a'=/?'十，・>5,'=-x4aZ?=Zbc,5”...I=-x7ta—2bc

--7tcr+Ibc=2bc

2

S[=S",；,Pl=Pw故选A.

【题目栏目】概率'古典概型与儿何概型、几何概型

【题目来源】2018年高考数学课标卷1（理）•第10题

18.（2018年高考数学课标卷1（理）•第3题）某地区经过一一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍,

实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济

收入构成比例，得到如下饼图：

、第二产业收入

第二产业收入28%

种植收入（60%箕他收入种植收入（37%尸书其他收入

\/30%/

7—殖收入

入

建设的经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少B,新农村建设后，其他收入增加了一倍以

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

解析：设建设前经济收入为G,建设后经济收入为2。.

A项，种植收入37x2。-60%。=14%。>0,故建设后，种植收入增加，故A项错误.

B项，建设后，其他收入为5%><2。=10%々，建设前，其他收入为4%。，故10%。+4%。=2.5>2,

故B项正确.

C项，建设后，养殖收入为30%x2〃=60%〃，建设前，养殖收入为30%。，故60%。：30%。=2,故C

项正确.

D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）x2"58%x2〃a,经济收入为2a,故

（58%x2a）-?2a=58%>50%,故D项正确，因为是选择不正确的一项.

故选：A.

【题目栏目】统计'用样本估计总体'用样本的数字特征估计总体的数字特征

【题目来源】2018年高考数学课标卷I（理）•第3题

19.（2017年高考数学新课标I卷理科•第2题）如图,正方形A8CD内的图形来自中国古代的太极图.正方形

内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点厕此点取自黑

色部分的概率是（）

【解析】设正方形边长为。，则圆的半径为则正方形的面积为/圆的面积为吧由图形的对称性

可知,太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由儿何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部

1Tia1

分的概率是^^一二选B.

a~8

秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面枳占整个面积的比例，由图可知其概率

〃<（,故选B.

【考点】几何概型

【点评】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面枳、体积或时

间）,其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算P（A）.

【题目栏目】概率'古典概型W几何概型'几何概型

【题目来源】2017年高考数学新课标I卷理科•第2题

2（）.（2016高考数学课标H卷理科•第10题）从区间［0.1］随机抽取2〃个数…，乙，X，打，…，）'“，

构成〃个数对（XJ）,（.M，…，（%%），其中两数的平方和小于1的数对共有加个,则用随

机模拟的方法得到的圆周率冗的近似值为（）

4〃In1m

A.mB.mc.〃D.〃

【答案】C

【解析】几何概型问题：样本空间w=｛（x,y）|x挝0,1］,），［01］）其面积为：Sw=l

事件“两数的平方和小于1的数对“对应的集合为：｛（x、y）|f+）3<i且"过0』］,）,［01］｝

其对应区域面积为：s八=2,所以P（A）='

4SA4n

4/w

所以〃二---»故选C.

n

【题目栏目】概率'古典概型与几何概型、几何概型

【题目来源】2016高考数学课标II卷理科•第10题

21.（2016高考数学课标I卷理科第4题）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30

之间到达发车站乘坐班车，.旦到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

（A）i（B）i（C）|（D）|

3234

【答案】B【解析】如图所示，画出时间轴：

7:307:407:508:008:108:208:30

^4CDB

小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段AC或。3时・才能保证他

等车的时间不超过10分钟

根据几何概型，所求概率P==故选儿

402

【撅目栏目】概率'古典概型与几何概型\几何概型

【题目来源】2016高考数学课标I卷理科•第4题

22.（2015高考数学新课标2理科第3题）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万

吨）柱形图。以下结论不正确的是（）

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放最的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化班年排放量与年份正相关

【答案】D

解析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故

选D.

考点：正、负相关.

【题目栏目】统计'相关关系、I可归分析与独立性检验'两个变量间的相关关系

【题目来源】2015高考数学新课标2理科•第3题

23.（2015高考数学新课标I理科第4题）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某

同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

A.0.648B.432C.0.36D.0.312

【答案】A

解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C；0.62x0.4+0.63=0.648,故选A.

考点：本题主要考杳独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式

【题目栏目】概率'相互独立事件\n次独立重复试验

【题目来源】2015高考数学新课标1理科•第4题

24.（2014高考数学课标2理科•第5题）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是（）.75,

连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A.0.8B,0.75C,0.6D.0.45

【答案】A

解析：设A=”某一天的空气质量为优良“，B=”随后一天的空气质量为优良“，则

P（B|A）=P（AnB）=—=0.8,故选A.

P（A）0.75

考点：（1）条件概率的求法；。

难度：B

备注：易错题

【题目栏目】概率'条件概率

【题目来源】2014高考数学课标2理科•第5题

25.（2014高考数学课标1理科•第5题）4位同学各自在周六、周口两天中任选一天参加公益活动，则周六、

周日都有同学参加公益活动的概率（）

1357

A.—B.—C.-D.—

8888

【答案】D

解析:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种,

周六、周口都有同学参加公益活动有两种情况:①一天一人一天三人有C：A；=8种;②每天2人有

《=6种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为与丁=J;或间接解法:4位同学都在周六或周

168

1X_07

日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为;选D.

168

考点：（1）古典概型的概率（2）分类讨论思想

难度:B

备注:高频考点

【题目栏目】概率'古典概型与几何概型'古典概型

【题目来源】2014高考数学课标I理科•第5题

26.（2013高考数学新课标1理科第3题）为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽

取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，

而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样

【答案】C

解析：因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段

分层抽样，故选C.

考点I.3分层抽样.

难度：A

备注：高频考点

【题目栏目】统计'随机抽样'分层抽样

【题目来源】2013高考数学新课标1理科•第3题

二、多选题

27.（2021年新高考全国II卷•第9题）下列统计量中，能度量样本％,J…e的离散程度的是（）

A.样本%,占，…,4的标准差B.样本菁，8,…，4的中位数

C.样本…，儿的极差D.样本用,当,％的平均数

【答案】AC

解析:由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度：由中位数的定义可知，中位数考查的是

数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数

考查的是数据的集中趋势，故选AC.

【题目栏目】概率'离散型随机变量的均值、方差

【题目来源】2021年新高考全国II卷•第9题

28.（2（）21年新高考【卷.第9题）有一组样本数据%，工2,…，与，由这组数据得到新样本数据凹，为，…，

»其中y=%+c（i=12…,〃）,c为非零常数,则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

【答案】CD

解析:A：E（y）=E（x+c）=E（x）+c且CHO,故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为巧，则第二组的中位数为K=£+c,显然不相同，错误；

C：。（），）=。（幻+。（。）=。（乃，故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为人皿-右加，则第二组的极差为

Zmx-）'min=C%ux+C）-（Xmin+。）=%-X向＞，故极差相同，正确：

故选CD.

【题目栏目】统计'用样本估计总体'用样本的数字特征估计总体的数字特征

【题目来源】2021年新高考I卷•第9题

29.（2020年新高考I卷（山东卷）•第12题）信息烯是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取

值为1,2「・,〃，且2('=。=8>0(，=1,2「..,〃)，5>=1,定义*的信息烯，(*)=-，>嗓2〃,..()

r-lM

A.若〃=1,则，(X)=0

B.若〃=2,则”(X)随着P1的增大而增大

C.若〃,=,。=1,21.,〃)，则”(X)随着〃的增大而增大

n

D.若〃=2如随机变量y所有可能的取值为12…,即且p(y=/)=巳+%+一川=12…,加)，则

【答案】AC

解析：对于A选项，若〃=1,则i=l,P1=l,所以H(X)=—(Ixlogzl》。，所以A五项正确.

对于B选项，若〃=2,则，=L2,〃2=1-Pi,

所以H(X)=一]〃|log2P1+(1-pjlog^l-pj],

3

当Pi=1时，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若〃j="i=l,2,…,〃），则

（1jA]

H（x）=---log2—X??=-log2—=logo77,

\n"n7"〃

则”（X）随着〃增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若〃=2〃z,随机变量丫的所有可能的取值为L2,…,〃?，且夕（丫=/）=〃/+〃2〃用_

（/=1,2,…,〃2）.

即圳1

〃”）=-2〃川吗〃,=2〃〃呜一

r=iPi

,1,1.1.1

=Pllog?—+〃210g2—+•••+.10g2--------+〃2J10g2——.

P>Pl〃2”IPin.

“⑺=

(Pl+〃2,”).bg2―/—+(“2+).lOg?]]

4•.•+(〃，，，+〃，，，+J」Og2

Pl+Pl,nP2+Plm-lPm+Pm+1

,1,1.1,1

lo

=Pl.log?-------+Pl.10g2----------+…+，2%1.log2----------+P2m-g2--------由于

++

Pl+P2mPlPlm-\P2+P2gPlPl.„

八/\1.1,1

।>lo

>0(i=l,2,…,2〃。，所以一>-----------.所以log2—S2-----------，

7PiP,十〃2”,+IPiPi+Pl^-i

,1,1

所以Pi，log?—>P/->og2----------,

PiPi+P2Hi

所以“(x)>”(y),所以D选项错误.故选：AC

【题目栏目】概率'离散型随机变量及其概率分布'离散型随机变量的分布列

【题目来源】2020年新高考【卷(山东卷)•第12题

三、填空题

3().(2022年全国甲卷理科.第15题)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

【答案】*

解析：从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C：=70个结果，这4个点在同一个平面的有m=6+6=12

个，故所求概率2/=三=堤.

n7035

故答案为：假.

【题目栏目】概率'古典概型与几何概型\古典概型

【题目来源】2022年全国甲堂理科•第15题

31.(2022年全国乙卷理科•第13题)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选

的概率为.

【答案】-

10

解析：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率夕=■；!；

故答案为：宗

【题目栏目】概率'古典概型与几何概型'古典概型

【题目来源】2022年全国乙卷理科•第13题

32.（2022新高考全国II卷•第13题）已知随机变量X服从正态分布N