人教版高中数学选择性必修第三册 第2周检测（第六章以前50%+6.1-6.2 50%）【原卷+答案】

第2周检测（第六章以前50%+6.1—6.250%）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合A二｛刈08如2｝,8=｛6｝.若408=8,则〃?的取值范围是（）

A.（-8,2]B.[-2,2]

C.（・oo,2）U（2,+oo）D.[-2,0）U（0,2J

2.已知2=竽，则|z|=（）

Z-l

A.遍B.5C.2V5D.V10

3.某校开设A,8。三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁四名同学参加校本课程的学习，每名同学

仅报一门，每门至少有一名同学参加，则不同的报名方法有（）

A.72种B.60种C.54种D.36种

4在等比数列■“｝中⑼+6=2,则“田+的=6”是“数列｛知｝的公比为有'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.甲、乙等4名志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个

场地至少一名志愿者.若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

6.小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的

8个数字进行随机排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（）

A.2760B.3180C.3200D.3360

7.曲线。0二行『关于直线），=心1对称后的曲线为。2,则曲线G与曲线C?的公切线为（）

A.x+2y+V2=0BJV+J-X/2=0

C.x+2y-V2=0D.x+>-+V2=0

8.有五名志愿者参加社区服务共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务，则恰有1人

连续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分在每小题给出的选项中、有多项符合题目要求.全部选

对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列四个关系式中，一定成立的足（）

A.AK=

(zn-zi)!

C.3Ci-2Cf=l48

D©+髭+第+...+*=328

10.在△ABC中，角ABC的对边分别为。力《,则下列结论正确的是（）

A.若则△A3。一定是钝角三角形

B.若sinA>sinB,则a>b

C.若«cosA=bcos氏则△4BC为等腰三角形

D.若△ABC为锐角三角形，则sin4>sin3

11.已知函数7U）=sin2.v+2|cosx|,WiJ（）

A.兀i）的图象关于y轴对称

B.・3兀为/）的一个周期

eg）在区间（片,用）上单调递增

乙O

D.函数》寸》|在［-九河上有4个零点

三、填空题:本题共3小题,每小题5分洪15分.

12.现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分.将这9个球排成一列，要求2个红球相

邻,3个黄球不相邻，不同的排列种数为.（用数字作答）

13.已知非负数.%），满足x+产］,则会+邑的最小值是.

14.已知府）是定义在区间（0,+co）上的可导函数，若小大）&）至川）=-，，且x>l时危的勺5+11144）恒成

立,则实数a的取值范围是.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）设T„为数列｛m｝的前n项积.已知涉-黑=2.

/JI+1

（I）求｛4”｝的通项公式；

⑵求数列｛岳］的前〃项和.

16.（15分）在AABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知含=；：：：：：*

（1）求角8的大小；

⑵若sinC=2sin4,且52骨阮=2通,求a和c.

17.（15分）如图.四棱锥P/&7）中,P4L平面4BCO,底面ABCO是边长为I的正方形为PA

的中点,为尸。的中点.

（1）求证力以1_平面PCD;

（2）求异面直线BE与灯）所成角的余弦值.

18.（17分）已知椭圆。:马+之1（4泌＞0）的右焦点为凡4为椭圆。上的一点,|AF|的最大值与最小值的

心b

差为2V5.过点尸且垂直于X料的直线被椭圆C截得的弦长为1.

（1）求椭圆。的方程；

（2）已知直线/:y=履+小（厚0）与柿圆C交于MJV两点，记椭圆C的右顶点为P,直线PM与直线PN的斜

率分别为舟法2,若攵次2=去,求40^7面积的取值范围.

19.(17分)已知函数fix)=(e-a)ex+x(aeR).

(1)讨论函数八r)的单调性；

⑵若存在实数4使得关于x的不等式/«以〃恒成立，求实数2的取值范围.

参考答案

第2周检测（第六章以前50%+6.1—6.250%）

1.D由题意可得A=｛x[0＜『w22｝=[20）U（0,2].因为则8GA,所以机£[20）U（0,2].

2A因为z=等=瑞瑞=警=力一刍，所以⑶=J（H）2+（$2=低

故选A.

3.D第1步,将四名同学分成三组，即随机选取2人为一组,其余剩下两人每人单独一组，故有以种分

法；

第2步，将三组同学安排到三门课程中，共有A。种排法.

由分步乘法计数原理，不同的报名方法有第xA^=36种.

故选D.

4.B设等比数列｛〃〃｝的公比为q、

由4]+43=2,43+〃5=6,得42=产答=3,解得q=土痘.

由4|+。3=2,夕二b,得。3+。5=（0+。3）婚=6.

故"S+内=6”是"数列｛4〃｝的公;匕为国”的必要不充分条件.

故选B.

5.C若游泳场地安排2人,则不同的安排方法有axA^二6/，

若游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有禺x釐XA,=18种,

所以不同的安排方法有6+18=24种.

故选C.

6.D先将这8个数字进行全排列，有Ag种情况，

而这8个数字中有三个1和两个9,可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法，

所以一共可以组成飞雪=3360个8位数，即可以设置的不同密码的个数为3360.

AfxAi

故选D.

7.BCi：y=VTx2+）,2=葭叱0）,所以曲线©是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分，包含

与“轴的两个交点.又G与C2的图象关于直线y=x-l对称，即圆心关于直线对称，半径不变，贝】。2的圆

心为（1,-1）,所以C2：（x・l）2+（y+l）2=l（只是该圆的一部分），如图.

斗

yy=x-i

易知G与。2的公切线/〃GC2,所以结合图，设/:x+)5=0S>0),所以点C)到直线/的距离为

d二方1,解得〃二企，所以曲线Ci与曲线C2的公切线为x+y-V2=0.

8.B(方法一直接法)

在5名志愿者中任选2人参加星期六的社区服务,有髭种情况;星期天时，先在星期六选中的2人中任

选1人，有禺种情况，再在星期六选中的2人之外的3人中选1人,有玛种情况.

由分步乘法计数原理知,共有髭x禺x禺=60种情况.

(方法二间接法)

由题意知总的选择种数为比X釐=100种，其中2人都连续两天参加服务有釐=10种情况，没有人连

续两天参加服务有髭x髭=30种情况，则恰有I人连续参加两天服务的选择种数为100-10-30=60.故

选B.

9.BCA选项,A需1==卢W，A错误；

111[(n-l)-(m-l)]!(n-m)!

B选项,A；?=-^-=nx^=nA^,B正确；

*(n-m)!(n-m)!"1

C选项,3喘-2髭=3x喻-2x|^=l48,C正确；

D选项©+C升…+底。=第+第+C升…+C%.1=己+C科…+C%.l=Ckl=招翳11=329,D

错误.

10.AB对于A选项，因为。2+从<°2,则cos0=嗔[“<0,则c为钝角，故A正确；

对于B选项，因为sinA>sin8,由正弦定理可得a>b,故B正确；

对于C选项，因为“cosA=/?cosB、

3a(庐+02_,2)_,储+/一户)

田2bc—=宏一'

整理可得(/-乂乂/+力2/)=(),所以“力或。2+从二2

则ZSABC为等腰三角形或直食三角形，故C错误；

对于D选项，若△A8C为锐角三角形，则均为锐角，

正弦函数尸sinx在区间(0.J上单调递增，但A,B的大小关系不确定,故sinA.sin8的大小关系不确

定，故D错误.

故选AB.

11.BCD依题意知&则_/(㈤=sin2(-x)+2|cos(-x)|=-sin2i+2|cos川力(x),故函数.")不是偶函数，图

象不关于)，轴对称，故A错误；

/x+7r)=sin2(x+7i)+2|cos(x+7r)|=sin2x+2|cosx|力U),故.r=n为函数人工)的一个周期，

则-3兀为函数7U)的一个周期，故B正确；

当xe(三，5)时小x)=sin2x+2cosx,

则/(x)=2cos2x-2sinx=-4sin2A-2sin.r+2=-(4sinx-2)(sinx+1),

当(・猊)时/(x)>0,当„时/(%)<0,

故因数”)在区间(；；)上单调递增,在区间(外P上单调递减，结合周期性，可知C正确;

L66L

作出函数y=7U),产弓的大致图象，如图所示，结合周期性观察可知，函数产TUA;在区间卜兀，兀］上有4个

零点，故D正确.

故选BCD.

12.100先将4个白球排好，有一种情况.将两个红球捆绑插入白球产生的空隙中，有玛=5种情况，将

两个红球看作一个元素与4个白球排列好后共产生6个空隙，将3个黄球插入空隙中，有髭=5x4=20

种情况，

所以不同的排列种数为1x5x20=100.

13.4由x+y=1,可得x+1+y+2=4,

则士+W=；(—7+义)G+1+)'+2)=；［1+9+喑+岂詈］>|［10+2径斗晤］=4,当且仅当

x+ly+24x+1y+2''4x+1y+24、x+ly+2

)，+2=3(x+l),即x=0,产1时，等号成立.

14.|l-e,l)由于犷'(x):/⑶三阳笔3二塌.

因为XA)=V®/(X)+X(®)三3+x("萼)=3+土

XXXXXX

设ga)=f(x)=§2+2，

则女。)=(上)△=J—~=—

Jg⑺X铲铲X铲'

所以当；vU(0,l)时送5)>0,此时g(K)单调递增;

当上£(l,+oo)时,g'a)v0,此时gj)单调递减，

所以g(X)max=g(l)Xl)+:==+；=0,

VVV

即人烟

故/(.r)在区间(0,+00)上是减函数.

又当应1时TUe')g(x+1nx-4)恒成立，

所以俨c*>x4-\nx-a,

tx+lnx-a>0.

设y=x+lnx-a,易知该函数在定义域内为增函数，

故於1时j+ln44>0,只需即a<\.

由xev>x+lnx-a,得xev>ln(Ae')-t/,

即xev-ln(xev)+fl>().

设t=xc\iij后1,得仑e,故xe'-ln(xev)+a>0等价于当t>e时,f-lnr+«>0.

令h(t)=t-\n7+。,则/f(0=l-1>0.

故当［U卜+⑹叶/⑺=f-lnf+a单调递增，

所以若使Mn/+aK)在z£［e,+x>)上恒成立，只需e-1+«>0,P|Jd>1-c.

综上,1-egavl.

15.解⑴由题意得,｛黑｝是以1为首项,2为公差的等差数列，则詈=1+(〃-1)・2=2〃-1,

即(2〃-1)〃="〃.当n>2时，有⑵⑶乙.产斯小两式相除得，粤学=区，

Zn-3。小［

显然7；#0,即“,#0,故当论2时，汽=—〃”-户誓，

ZH-O&八・1271T

所以数列｛3｝的通项公式a,产黑.

(2)设I盘》的前〃项和为S小由⑴得/尸号=占，

zn+5zn-lzn+l

故上=—?———匚)，

2n+3(2n+lX2n+3)22n+l2n+3'

则S“2(L」+L耳+-!______i-)=i(A」)=n=-H-

'23557…2n+l2n+3232n+33(2n+3)6n+9'

所以数列｛昌｝的前n项和为三.

2n+36n+9

16.解⑴在△枷中，『熬舞

由正弦定理.得白=空，

b-aa+c

即c2+a2_Z?2=_ac

由余弦定理得,cosB=b=-=-l

2acZac2

VO<B<n,.\«=y,

(2)V5G48C=；4csinB=^/c=2x/3,ac=S.

VsinC=2sin4,由正弦定理，得c=2a.

.,.a=2,c=4.

17.⑴证明因为四边形ABC。为正方形，则CDLAD.

因为PA_L平面A3CQ,CQu平面A4CQ,所以CQ_LPA

因为月404。=4P4AZ)u平面P4Z),所以CO_L平面PAD.

因为ARz平面P4。,所以AF_LCO.

因为PA=AD,F为PD的中点，所以AFLPD.

因为C7)nPO=DCO,POu平面PCD,

所以A/7,可面PCD.

(2)解取AD的中点G,连接EG,BG,

所以异面直线BE与尸。所成甭即为N8EG或其补角.

因为P4=AQ=1,四边形A8C。是边长为1的正方形,PAJ_平面ABCD,

且AOu平面A8CO,所以PA_LA。,则PD=VP/12+AD2=&，故EG=^PD=y.

因为BG=>/AB2+AG2=J1+©)2=祭同理可得废耳，所以ABEG为等腰三角形.

取EG的中点“，连接B”,则BHLEG,

故cosNBEG嗯=*=华义+>/To

To-'

故异面直线8E与PO所成闲的余弦值为詈.

18.解(1)设椭圆。的半焦距为c,

((a+c)-(a-c)=2V3,仅=2,

由题意知把=1、解得｝=1,

\a2=〃十。2,L=疯

故椭圆C的方程为5+9=1.

(2)由题意知尸(2,0),设M(XIJD，MX2M),

x2

由彳+、2=1，得(1+46？+8”依+4〃尸-4=0,

y=kx+m,

所以△二64勿以2-4(1+43)(4〃尸-4)>0,即4lr-in2+1>0,且xi+.3="iTA/阳二：：羌'

因为女必=白所以y.y='

又y\=kx\+m,y2=kx2+m,

所以20（去i+，〃）（心：2+"?）=。[2）。：2-2）.①

因为（1+4必*+8〃依+4，企4=（1+4炉）。5）。-也）,

所以令户2,得（为-2）（立2）=速里华皿，②

1+4〃

令工=-?,得(1+4好＞+4〃尸-4=(1+4/)(：/)(,

kkkk

m2-4k2

所VA(kX\+/7Z)(te+W)=

1+4/c2,

所以20（去i+〃?）（履2+〃?）=2°m喈-，③

l+4k

把②③代人①，得16产+16P成+4〃尸=20次2-80炉，化简得m2-km-6lc=O,

所以in=-2k或m=3k.

所以当m=-2k时，直线/的方程为y=k（x-2）,

直线过点尸（2,0）,不合题意,舍去；

当m=3k时,直线/的方程为产心+3）,

所以直线/经过定点Q（-3,0）,

所以S&PMN=\SAPQM-SAPQN\=^PQ\-\y\-yi\=受川kiEI

=1|*|J（X1+X）2-4XX=叱:？.

212

因为4严-〃户+]＞（）且m=3&,

所以1-5炉＞0,所以0＜&2s.

3

设/=4标+1代［1,3

所以Swm产手叵

《/%代产