一次函数、反比例函数-【探究与实践】-2022-2025年中考数学试题（含答案）

一次函数、反比例函数——【探究与实践】历年(2022—2025)中考数学真题精编

一、函数图象与性质探究

1.在同一平面直角坐标系中，函数y=2》+1的图象可以由函数y=2%的图象平移得到.依此想法，数学小

组对反比例函数图象的平移进行探究.

【动手操作】

列表:

X-5-4-3-2-11234s

y2121

•••-1-221•••

2-5"32

=x

3

X・..-5-4-3-2——0123・・・

y

1221

-1-2-4421

2•••-332•••

-x+1

(1)描点连线：在已画出函数y=［的图象的坐标系中画出函数丫=备的图象.

①将反比例函数y=［的图象向平移个单位长度得到函数y=等的图象・

②上述探究方法运用的数学思想是A.整体思想B.类比思想C.分类讨论思想

(3)【应用延伸】

①将反比例函数y=的图象先再得到函数y=

1，,内1抬

1的图象.

%—2

第1页

②函数y=一占一1图象的对称中心的坐标为.

2.问题背景：对于一个函数，如果存在自变量枇二771时，其对应的函数值y0=m,那么我们称该函数为“不

动点函数''，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=/中，当x=l时，y=1,则我们称

函数y=%2为“不动点函数”，点(1,1)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函

数和二次函数进行了相关探究.

探究1

(1)对一次函数y=/^+匕(k。0)进行探究后，得出下列结论：

①y=x+2是”不动点函数”，且只有一个不动点；

②>=-3%+2是“不动点函数”，且不动点是0)；

③y=》是“不动点函数”，且有无数个不动点.

以上结论中，你认为正确的是▲(填写正确结论的序号).

(2)若一次函数、=〃工+〃4工0)是“不动点函数”，请宜接写出k,b应满足的条件.

(3)探究2

对二次函数、=。产+8%+式。学0)进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答.若抛物线丫=/-

2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b,c满足的关系式.

(4)探究3

某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件为元出售，可卖出(12-乃件，获得利润y元.请写

出y关于％的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系

以上情境说明该函数不动点表达的实际意义.

3.综合与实践

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4),M是不轴上一点，连接AM,作线段AM的垂直平分线

A，过点M作久轴的垂线L，记A，%的交点为P・

5•

4■

3-

2■

1-

-5-4-3-2-1012345x

-1■

(1)【操作与发现】

当M为(0,0)时，点P的坐标为;当M为(4,0)时，点P的坐标为

第2页

（2）【猜想与证明】

在“轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P,把这些点连接起来形成图象L,猜想L为我们学过的_

图象.（请填序号：①一次函数②二次函数）

（3）设点P的坐标是（％y）,根据PA与PM的关系，确定x、y满足的关系式.

（4）【实践与运用】

运用所学知识，要使△AMP为钝角三角形，直接写出》的取值范围.

4.在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这

两个函数大于点P互为“对称函数”.请问学们解决以下问题：

yy（y\卜

r--16"—n—r-1--r1—।—16--n—r-1-*r-1—1—16---1—r-1"•r•"1—

।■।■■।11I1।I■11I1।1।1

一」-.L_」-_■.11J.-

■.—1——i—.J..-

1111

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-11”于-11

1111

r-n2-11-I-1--n—r--r-T----12--1—r"n-*r-T-

11■

・.—1-J__一」____u.J..L-J__一」____L.J..L.J..

1111

111|111111|11111||1

11|・一»

-2-\°123455X-2-\°123456x-2-1°123456x

备用图1备用图2备用图3

（1）求函数y=x-l关于点（0.0）的“对称函数”.小乐同学给出了如下的解题步骤：

第一步：在函数y=x-1的图象上取两点（1,0）和（0,-1）；

第二步：分别求出这两个点关于点（0,0）的对称点和：

第三步：函数y=x・1关于点（0,0）的“对称函数''为.

（2）是否存在点P,使得函数y=（+l关于点P的''对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P的坐

标；如果不存在，请说明理由；

（3）函数Ci：y=ax2・2ax+2a（a>0）关于点（2,2）的“对称函数”为C2,函数G与函数Cz所围成的

区域（包括边界）记作W,横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”.

（i）若求W内的“整点”个数；

（ii）若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围.

二、图形与函数

（1）【建立模型】如图1,点B是线段CO上的一点，AC1BC,AB1BE,EDLBDf垂足分别为C,

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B,D,AB=BE.求证：AACB三XBDE；

(2)【类比迁移】如图2,一次函数y=3工十3的图象与、轴交于点4、与尢轴交于点0,将线段A3绕点3

逆时针旋转90。得到BC、直线AC交x轴于点D.

①求点C的坐标；

②求直线AC的解析式；

(3)【拓展延伸】如图3,抛物线y=一一3%一4与％轴交于48两点(点4在点8的左侧)，与y轴交于C

点，已知点Q(0,-1),连接BQ.抛物线上是否存在点M,使得tan乙MBQ=/若存在，求出点M的横坐

标.

6.【问题背景】

如I图，在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=Qx(Q>0)上第一象限内的两个动点(。0>。8),以线

段BD为对角线作矩形48CD,40〃%轴.反比例函数y=1的图象经过点4

【构建联系】

(1)求证：函数y=K的图象必经过点C.

X

(2)如2图，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点8的坐标为(1,2)时，

求k的值.

(3)【深入探究】

如3图，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E,A重合时，连接AC交BD于点P.以点。为

圆心，AC长为半径作。0.若。。=3鱼，当O0与△48C的边有交点时，求k的取值范围.

三、函数应用

7.综合与实践

如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块48CD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用

木栏围住，木栏总长为g*.

第4页

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若Q=10,能否围出矩形地块？

(1)【问题探究】

小颖尝试从“函数图象''的角度解决这个问题：

设力8为xm,BC为ym.由矩形地块面积为87n2,得到xy=8,满足条件的(x,y)可看成是反比例函数y=°

的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m,得到2%+y=10,满足条件的(％,y)可看成一次函数丫=

-2%+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(％,y)就可以看成两个函数图象交点的坐

标.

如图2,反比例函数y=号(>>0)的图象与直线，1：、=一2工+10的交点坐标为(1,8)和,因此，

木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=Im,BC=8m；或48=m,BC=

y

根据小颖的分析思路，完成上面的填空.

(2)【类比探究】

若Q=6,能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.

(3)【问题延伸】

当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=-2x+5发现直线y=-2工+a可以看成是直线y=-2%

通过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，宜线y=-2%+。与反比例函数y=g(x〉0)的图象有唯

一交点.

请在图2中画出直线y=-2x+a过点(2,4)时的图象，并求出Q的值.

第5页

（4）【拓展应用】

小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题''口J以转化为“J，=-2x+Q与y=g图象在第一象限内交点

的存在问题

若要围出满足条件的矩形地块，且48和BC的长均不小于1m,请直接写出Q的取值范围.

第6页

答案解析部分

1.【答案】（1）如图所示:

（3）右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度：（2,-1）

【解析】【解答】解:（2）①根据图象和表格数据可以发现：反比例函数y=2上的点（-4,-i）向左移动

X乙

一个单位得到I个单位得到到函数丫=系的图象上的点（-5,-b；

人IJL4

@由函数y=2%+1的图象可以由函数y=2%的图象平移得到，可以探究函数y=W的图象可以由函数

人IX

y=|的图象平移得到，运用的数学思想是类比思想；

故第1空答案为：左；第2空答案为：1；第3空答案为：B；

（3）由类比可以得出：①将反比例函数y=的图象先右平移2个单位长度，再向下平移I个单位得到

函数y=--三-1的图象.

（2）函数y=-4一1图象的对称中心的坐标为（2,-1）。

故故第1空答案为：右平移2个单位长度；第2空答案为：向下平移1个单位长度；第3空答案为：（2,-

Do

【分析】（1）根据表格数据，得出平面内的点，根据描点法即可得出函数图象；

（2）①根据图象和表格数据可以发现：反比例函数y=2上的点（-4,-,）向左移动一个单位得到1个

X乙

单位得到到函数y=W的图象上的点（-5,-i）,即可得出答案；②述探究方法运用的数学思想是类比

人IX乙

思想；

（3）①由解析式y=2的到y=W，分母+1,根据表格中的对应值，及函数图象，用类比法可得出答案；

XXtJL

②根据图象的平移规律，可直接比较函数关系式得出答案；

2.【答案】（1）（3）

第7页

(2)解:把(m,m)代入得m=km+b,

整理得(l-k)m=b,

当k=l时，b=0,m为任意实数，故是“不动点函数”；

当k/1且上工0时，b为任意实数，m=&,故是“不动点函数''

1-k

(3)方法一

由二次函数y=/-2比c+c,可得：顶点坐标为(瓦c一炉)，

,•・抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，

1•b=c—b2,

即c=b2+b.

方法二

由二次函数y=/-2bx+c,可得：对称轴为直线％=6,

,••抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，

•,・顶点坐标为(瓦b),

b?-2b♦b+c=b,

即c=/+b

(4)据题意，得y=(x—6)(12-z)=—x2+18x-72,

即y=-/+18%-72.

令―/+18x-72=%,RPX2-17J+72=0.

解得％i=8/2=9,

.•.该函数是“不动点函数

不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等

【解析】【解答】①把(m,m)代入y=x+2得m=m+2,无解，原说法错误:

②把(m,m)代入y=・3x+2得m=・3m+2,解得m=1,故不动点为4金)，原说法错误；

③把(m,m)代入y=x得m=m,m为全体实数，则y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点：说法正确;

故答案为：③；

【分析】(1)把(m,m)代入函数解析式，求出m值，然后根据“不动点函数”的定义判断即可；

(2)把(m,m)代入整理为(l-k)m=b,然后分情况讨论解答即可；

(3)得到抛物线的顶点坐标，再根据不动点的定义解答即可；

(4)根据利润二单利润x销售量列函数关系式，根据“不动点函数，的定义求出x值即可解答即可.

3.【答案】(1)(0,2)：(4,4)

(2)②

(3)解：由勾股定理可知PA2=x24-(y-4)2,PM2=y2

第8页

VPA=PM

•**x2+(y-4)2=y2

:-y="+2

(4)解：-4<x<4且xH0

【解析】【解答］解：(1)当M(0,0)时,则直线h：y=2,直线12：y轴

・・・P(0,2)

当M(4,0)时，则直线h：y=x,直线b：x=4

・・・P(4,4)

故答案填:(0,2),(4,4)

(2)由末称性可知,当乂为(一4,0)时，点「的坐标为(-4,4)

・•・由点P的位置变化可猜想L为我们学过的二次函数

故答案填：②

(4)如图

当x=4时，点P(4,4),此时乙4PM=90。，四边形AOMP是正方形

当一4cXV4时，可知乙4M'O>45。，则4P%M'=乙「'"2<45。

・••乙4P'M>90°,即44Mp为钝角三角形

又由(1)可知当M为(0,0)时，点P的坐标为(0,2)，点A、P、M三点共线，不能构成三角形

工0

综上，要使△4MP为钝角三角形，x的取值范围为一4VxV4且x00。

【分析】(1)根据题意分别先求出直线h和12的解析式，接着联立两个函数解析式，解方程组就可以求出点P

坐标；

(2)利用图象的对称性判断该函数一定是二次函数；

(3)利用线段的垂直平分线的性质，用坐标表示出PA与PM的长度，建立等量关系，从而可以得出y与x之

间的函数关系式；

(4)利用钝角三角形的概念，结合特殊值，在坐标系中动态考虑三角形的存在性，难度较大。

第9页

4.【答案】（1）（・1,0）；（0,1）：y=x+l

（2）辉：存在点P（0,1）满足题意，理由如下:

・・,函数y=4+l图象可看成是反比例函数y=1的图象的向上平移1个单位后得至IJ,

XX

且反比例函数y=工的图象是关于原点（0,0）成中心对称的，

x

・•・函数y=4+l的图象关于点（0,1）成中心对称，满足题意.

X

故P点坐标为（0,1）

（3）解：（i）函数Ci：y=ax?-2ax+2a的顶点坐标为（1,a）,

则（1,a）关于点（2,2）成中心对称的点为（3,4-a）,

故函数C2可设为：y=-a（x-3）?+4-a=-ax2+6ax+4-10a,

当a=；时,函数Ci：y=ix2-x+l,函数C2：y=-1x2+3x-l.

J乙乙

画出两函数图象如图所示：

图1

则W区域内整点为（1,I）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（3,3）,共计5个整点.

（ii）联立Ci和Cz表达式,即ax2-2ax+2a=-ax2+6ax+4-10a,

整理得2ax2-8ax+12a-4=0,

令△=（）,此时两抛物线只有一个交点，整理可得-32a2+32a=0,

解得a=l或0（0舍去，不合题意），

故a=l,

•・・G和C2要围成区域W,

.\0<a<l.

•・・。和C2关于点（2,2）成中心对称，

则点（2,2）必为W区域内一个“整点”.

当有9个“整点”时，须以点（2,2）为中心，再向外找出4对关于（2,2）成中心对称的点的坐标，

由图2可知，“整点”只能是（1,1）和（3,3）、（2,1）和（2,3）、（0,1）和（4,3）、（1,2）和（3,

2),

第10页

y

—16-----1--i—--1—1

I।III।III

图2

此时当函数C2过点（0,1）,即4・10a=l时，满足题意，

可得a=手

当有15个“整点”时，须以点（2,2）为中心，再向外找出7对美于（2,2）成中心对称的点的坐标，

由图3可知，即在前面9个“整点”的基础上再增加3对关于（2,2）成中心对称的点的坐标，即（0,2）和

（4,2）、（3,1）和（-1,1）、（1,3）和（5,3）,

y八

「-•»61--—I--•—I--I

IIII।IIII

234561

图3

此时当函数Ci过点（5,3）,

/.16a+a=3,

解得a=A,

综上可得a的取值范围为/<a<^

【解析】【解答】解：（1）•・•（1,0）关于原点的对称点为（・1，0）,

（0,-1）关于原点的对称点为（0,1）,

设过（-1,0）、（0,1）两点的函数表达式为y=kx+b,代入两点坐标，得:

=1

=1

.*.y=x+l,

故答案为：（-1,0）,（0,1）,y=x+l.

【分析】（1）由中心对称的性质可知（1,0）、（0,-1）关于原点对称的点为（-1,0）、（0,1）,进而用待定

系数法可求函数表达式：

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(2)将函数丫=4+1与学过的反比例函数y=」联系起来，它的图象可以看作由反比例函数y=L的图象向上

XXX

平移1个单位后得到，而反比例函数y=工的图象是关于点(0,0)成中心对称的，故而函数y=4+l的图象

XX

是关于点(0,I)成中心对称的，即得到答案；

(3)⑴当a=l时，分别求出Ci和C2的解析式，再画出图形即可求解；

(ii)根据Ci和C2关于点(2,2)成中心对称，则点(2,2)必为W区域内一个整点。当有9个整点时，须

以点(2,2)为中心，再向外找出4对关于(2,2)成中心对称的点的坐标，由图2可知，整点只能是

(1,1),(3,3),(2,1),(2,3),(0,1),(4,3),(1,2),(3,2),此时当函数C2过点(0,1),即4

-10a=l时，满足题意，可得a=余；同理，当有13个整点时，由图3可求得a=«,综合可知a的取值范

围是奈＜a＜泵。

5.【答案】(1)证明：'：AC1BC,AB1BE,ED1BD,

・••乙C=ZD=/-ABE=90°,

・••乙ABC十乙A=90°,Z.ABC+Z.EBD=90°，

/.Z.A=乙EBD,

又・・NB=BE,

=△BDE(AAS)；

(2)解：①如图所示，过点。作CE_Lx轴于点E,

•・•将线段48绕点8逆时针旋转90。得到8C,

^BA=BC,^.ABC=90°，

又乙AOB=乙CEB=90°,

=90°-(CBE=乙ECB,

：.^CBE^^BAO(AAS),

-'-BE=AO,CE=BO,

二•一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点4、与％轴交于点B,

当％=0时;y=3,即4(0,3),

第12页

当y=0时，x=-1,即8(—1,0),

*'•BE=AO=3,CE=BO=1,

：・EO=EB+BO=3+1=4,

・"(-4,1);

@V/l(0,3)，设直线AC的解析式为y=kx+3,

将C(一4,1)代入得：1=-4忆+3

解得：k=1

・•・直线AC的解析式为y=2%+3，

(3)解：•・•抛物线y=/-3%-4与％轴交于A,B两点(点力在点B的左侧)，

当y=0时，x2—3x-4=0,

解得：%1=—1,%2=4，

.*.71(-1,0)，8(4,0):

①当M点在％轴下方时，如图所示，连接M8,过点Q作QH_LBM于点”，过点H作。E1y轴于点D,过点8作

BE工DE,于点E,

.：々QDH=/E=乙QHB=90°,

：.^DQH=90°-乙QHD=乙BHE,

：.LQDHFHEB,

,QH_DH_DQ

••丽一前一亦

VtanzMFQ=tan^QBH=g=需'

.QH_DH_1

..而二葩二W'

第13页

设DH=a,则BE=3Q,

'：DE=4,

4Q

・・・HE=4-Q,Q0=4Y，

•：0D=BE,Q(0,-1),

1+^—^=3a,

Jo

解得：Q=

••,H电'一歙

设直线8H的解析式为y=k'x+b,

(U卜__21

代入"扁,一命，8(4,。)得：10,I。,

4k+b=0

舱“(,君__28

・•・直线8M解析式为y=9-奔

(728

联立y'Tix_TT,

(y=x2—3x—4

解得：(舍去)，

Xi=4x2=~Y['

②当M点在x轴的上方时，如图所示，过点Q作QGJ_MB于点G,过点G作PFIIx轴，交y轴于点F,过点B作

PB1FP于点P,

同理可得S“PBG,

-FG_FQ_QG_1

，，PB='PG=GB~3,

设尸G=b,贝iJPB=3b,

■:FP=4,

：.GP=4-b,FQ

第14页

*：FQ=P8+1,

=3b+1，

解得：b=点,

・\G扁，命，

设直线MB的解析式为y=mx+n,

代入G晨，电，B(4,0)得:iorn+n=TO,

1U104?n+n=0

解得」…立

(n=l3

・・・直线MB的解析式为y=一排+各

(14

联立

(y=x2-3x-4

解得:%i=4(舍去)，%2=—9，

综上所述，M的横坐标为-去或-胃

【解析】【分析】(1)利用“AAS”证出ZkACB三ABDE即可;

(2)①过点C作CE_Lx轴于点E,先证出△C8E三△BA0(44S),可得BE=A。，CE=BO,再求出点A、B

的坐标，可得8斤=＜。=3.CE=RO=A,利用线段的和差求出EO的长，即可到到点C的坐标：

②利用待定系数法求出函数解析式即可；

(3)分类讨论：①当M点在％轴下方时，②当M点在无轴的上方时，再分别画出图象并利用相似三角形的

判定方法和性质求解即可。

6.【答案】(1)证明：设点B(t,at),D(s,as),

•・•四边形ABCD是矩形，且AD〃x轴,

・■•点A(i,as),C(s,ai),

•・•反比例函数经过点A(l,as),代入反比例函数中，

:・k—astf

此时，若x=s,则y-=笑=at,

故反比例函数经过点C.C

(2)解：如图，连接CE,延长CB和DA交y轴与点F和点G,

第15页

VB(1,2),代入直线/=。*(。＞0),

2=a»即直线y=2x,

设点D(2m,4m),

此时点C(2m,2),A(l,4m),

即BC=2m-l,CD=4m-2,BF=1,

•・•四边形ABCD是矩形，ADEB是^DCB折叠所得，

.\ZDEB=ZDCB=90°,CE±BD,

・•・ZBDC+ZCBD=ZBCE+ZDCE=90°,

・•・ZCDB=ZFCE,

在RsCFE和RtADCB中，

tanZBDC=tanZECF,

・BC_EFnn27n—1_EF_1

，，CD=CF，14ni^2=2m=2f

:.EF=m,

同理，ZBEF+ZEBF=ZDEGZEDG=90°,

在RIABFE和RtADGE中，

tanZBEF=tanZEDG,

.BF_GEH|.1_GE

••丽=丽'叩记=痂'

AGE=2,

OG=OF+EF+GE=2+in+2=4m,

解得mg

B8

哨-，2),代入反比例函数y=1,

3J3

8

=-X2-1_6

33

(3)解：如图，过点P作PM_Lx轴，垂足为点M,交BC于点N,

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♦・♦矩形ABCD沿BD折叠，点E,A重合时，

此时AB=AC,故四边形ABCD是正方形，

•・・BD平分NABC,B|JZBOM=45°,

.\OM=PM,

在等腰RtAOMP中，

•：0P=3VL

・•・由勾股定理得0M=PM=3,即点P(3,3)

设点B(a,a),则C(6-a,a),D(6-a,6-a),A(a,-a+6),

易得直线AC的解析式为y=-x+6,此时k=a(-a+6)=-a2+6Q=-(a—3)2+9,

，当0<a<3时，k随a增大而增大，当a>3时，y随x增大而减小，当a=3时，k最大,

即当BD越短或AC越短时，k越大.

①若圆经过点B时，如图，此时OB=AC,其OB最小，k最大，

AOB=2BP,即OB《OP=2V5，

由勾股定理得次+。2=(2企)2=8,解得=4,

:.k=a(-a+6)=4x2=8：

②由对称可知，若圆经过点A或点C时，如图，此时OB=AC,其OB最小，k最大,

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同理，OA=AC=2AP,

VZAPB=90°,

/.ZAOP=30°,0P=V3AP,

.・・OB=^11OP=3V2-V6,

ill勾股定理a2+小=(3注—述J,解得a=3—V5,

此时k=a(-a+6)=(3-V3)x(3+75)=6；

综上所述，6<k<8.

【解析】【分析】(1)利用矩形的性质和正比例函数表示矩形的四个顶点ABCD,设点代入A表示k,检验C

是否在满足该关系式即可；

(2)同理设元表示矩形四个顶点的坐标，利用翻折