武科大冶金传输原理课件11非稳态导热

第十一章非稳态导热

前面讨论的是稳态导热的情况，而大多数的工程问题是在非稳定温度场中进行的，而此情况下的导热为非稳态导热，如材料的加热和冷却过程，蓄热室的传热过程等。11.1非稳态导热的基本概念一.不稳态导热的特点

在一般的非稳态导热问题中，物体的内部的温度分布是不均匀的，为了说明这类问题的特点，考察下面的例子。今有一大平板，突然放入加热炉中加热，平板受炉内烟气环境的加热作用伴随着热流向平板中心的传递，其温度就会从平板表面向平板中心随时间逐渐升高，其内能也逐渐增加，图11－1显示了大平板加热过程中温度

1xt0

2

→∞ttf；ht

3变化的情况。从图中可见，当τ=0时平板处于均匀的温度t=t0

下，随着时间τ的增加平板温度开始变化，并向板中心发展，而

2后图11－1非稳态导热示意图中心温度也逐步升高。当τ→∞时平板温度将与环境温度拉平，非稳态导热过程结束。总之，在非稳态导热过程中物体内的温度和热流都是在不断的变化，而且是一个不断地从非稳态到稳态的导热过程，也是一个能量从不平衡到平衡的过程。11..1.2加热或冷却过程的两个重要阶段从图11－1中也可以看出，在平板加热过程的初期，初始温度分布仍然在影响物体整个的温度分布。只有物体中心的温度开始变化之后（如图中

>2之后），初始温度分布的影响才会消失，其后的温度分布就是一条光滑连续的曲线。据此，我们可以把非稳态导热过程分为三个不同的阶段，即：初始状况阶段:

是指0→

2时间段内，环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，也就是物体（或系统）仍然有部分区域受初始温度分布控制的阶段；正规状况阶段是指

2至重新稳定之前的时间段，环境对物体的热影响已经扩展到整个物体内部，且仍然继续作用于物体的过程，也就是物体（或系统）的温度分布不再受初始温度分布影响的阶段。在下面的分析中我们会发现，由于初始状况阶段存在初始温度分布的影响，而使物体内的整体温度分布必须用无穷级数来加以描述，而在正规状况阶段，由于初始温度影响的消失，温度分布曲线变为光滑连续的曲线，因而可以用初等函数加以描述，此时只要无穷级数的首项来表示物体内的温度分布稳定阶段是指导热体经过无限长时间后导热体内、外达到新的稳定状态。三个阶段中，本章仅研究正规阶段内热量传递规律。研究此类问题的任务是：1）确定被加热或被冷却物体内部某点达到预定温度所需经历的时间，以及该期间所供给或放出的热量。2）经过一定时间后物体内某点的温度。3）物体内部最大温差及其所产生的热应力和热变形是否会造成安全问题。11.1.3边界条件对导热系统温度分布的影响从上面的分析不难看出，环境（边界条件）对系统（物体）温度分布的影响是很显著的，且在整个过程中都一直在起作用。因此，分析一下非稳态导热过程的边界条件是十分重要的，这里仍以大平板的一维非稳态导热过程为例来加以说明。图11―2表示一个大平板的对称加热过程，当介质温度恒定时，平板内部温度变化受控于外部表面传热热阻、内部导热热阻和时间三个因素。图11－2不同环境下的大平板加热过程示意图tx-xcba0tf画出在某一时刻的三种不同边界情况的温度分布曲线（a）、（b）、（c）。这实质上是表明在第三类边界条件下可能的三种温度分布。按照传热关系式作一个近似的分析，就可得出如下结论。曲线（a）表示平板外环境的换热热阻远大于平板内的导热热阻即从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说物体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关，即曲线（b）表示平板外环境的换热热阻1/h相当于平板内的导热热阻δ/λ，即这也是正常的第三类边界条件在此情况下温度分布即受时间又受位置的影响，即曲线（c）表示平板外环境的换热热阻远小于平板内的导热热阻，即从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体边界几乎无温差，此时可认为说明这一过程从一开始到过程结束，表面温度始终等于流体的温度，随着时间的推移，物体内各点的温度逐渐变化至流体的温度。这样，边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上的温度。本章对于可以忽略内部温差的非稳态导热过程，采用数学分析法－集总参数法求解温度，和过程总传热量。对于温度既受时间又受位置影响的非稳态导热过程，仅介绍采用查图法求解任意点温度和过程总传热量。是选用集总参数法解还是用查图法解非稳态导热是由毕欧准数的大小来决定的。毕欧准数是指过程中两热阻之比式中,h为表面传热系数，W/（m2·℃）；

为导热体热导率，W/（m·℃）；V是导热体体积，m3

；F为导热体与流体传热面积,m2。分析表明,对于形状如平板、长圆柱及球等导热体，若Biv数满足下式则物体内部各点温度相对偏差小于5%，此时可以忽略内部温差，采用集总参数法求解。不满足式（11－2）时用查图法求解。式（11－2）中M是与物体几何形状有关的无量纲数，对于大平壁、长圆柱和球，M分别等于1、1/2和1/3。若用来分析物体内部温度情况，那么图11－2中的曲线a表示

Bi→0，曲线c表示

Bi→∞时所对应的温度分布。11.1.4薄材和厚材的概念人们总是习贯于用厚度的大小表示物体的厚与薄。薄的物体在加热时易于烧透，内外温度差较小。厚的物体不易烧透，内外温度差较大。在非稳态导热中，通常用物体内外温差的相对大小表示物理上的厚与薄。如上述，Bi小物体内外温度差就小。极端而言，Bi→0，可理解为物体热导率

→∞；也可理解为h→0；或者材料的厚度

→0。这时，物体内外温差也趋近于零。在实际上

→∞或h→0的物体是不存在的，为此，定义BiV≤0.1M的物体为薄材,在这种情况下，内外温度差的相对值已不足5％。BiV

＞0.1M的物体就是厚材。厚材又可分为有限厚和无限厚。在非稳态导热中，随着时间的推移，温度扰动逐渐向被加热物体内部扩展。有的时侯，温度扰动能较快地波及整个物体。有时又较难，温度扰动似乎总不能波及整个物体，好象厚度无限一样。几何上的无限厚物体也是不存在的，因此定义：在所讨论的时间之内。温度扰动已波及整个物体时为有限厚物体的不定态导热。温度扰动不能波及整个物体时为无限厚物体的不定态导热。可见，有限厚与无限厚不能单从物体几何厚度这一因素考虑，更要注重时间这一因素。以图11－4a所示的有限厚物体为例，当时间不够长时，温度扰动尚未波及物体的中心，按照定义，以前所示的虚线温度分布就具有无限厚的特征。付立叶准数把厚度l和时间

两个因素都概括了。当Fo较小时，即短时间加热或物体很厚时就具有无限厚物体加热的特点。Fo较大，即长时间加热或厚度较小时就具有有限厚物体的加热特点。式中：l：为定型尺寸m

a

：热量传输系数，m2/s

：时间s

物理意义，有多种说法，最易懂得是；对于给定的物体，傅立叶准数表示了时间对过程的影响，该准数只出现在不稳定传热过程中。对于实际的不定态导热问题，只要具有无限厚物体温度场的特点，即使物体厚度不大，仍按无限厚的图11－4有限厚与无限厚物体xtw＝tft0t

1

2

3∞∞∞

1

2

3

4a有限厚物体b半无限厚物体x条件处理，对于数学上表示的一侧有界，一侧无界表示为0≤x＜∞，称半无限厚物体。参见图11－4b。xtw1tw0txtw1tw03当0＜Bi＜∞时；表明对流热阻和导热热阻处于同一数量级，两个热阻的影响都不容忽略，物体内的温度分布如图所示；xtftw0t

11.2薄材的不稳态导热（集总参数法）

设一任意形状的物体，体积为V，外表面积为F，加热前的温度为t0，开始时将其置于温度为tf

的流体介质中，（tf

>t0）,介质与物体间的对流传热系数为h，物体的导热系数为

且为常数，若物体的

很大，或几何尺寸很小，或对流传热系数很小，即物体的Biv<0.1,属于薄材。用集总参数法求：物体的温度随时间的变化规律及热流量。在d

时间内介质传给物体的热量为：

dQ=h（tf-t）Fdτ

物体吸收了热量dQ后温度增加为dt，物体增加的热容量为：dQ=

VCp

dt

t0t1t2t

在此情况下它们相等，即：

h（tf-t）Fdτ=

VCp

dt

整理得：

此即为薄材在第三类边界条件下加热的微分方程，是一常微分方程。时间条件为：

=0时t=to,

=

时t=t

对上式积分得：得：式中：l=V/F

为定型尺寸，厚为2

的无限大平板取

半径为R的圆柱体：R/2

半径为R的球体：R/3

式左为无量纲温度，此即为薄材温度随时间的变化规律。说明物体的温度与加热（冷却）时间成指数曲线关系变化，在过程的开始阶段，变化很快，随后逐渐减慢，如图11－6所示。1.02.03.04.000.20.40.60.81.0

/

c

/

036.8%图11－6用集总参数法分析物体过余温度的变化曲线式（11－11）左为无量纲温度，此即为薄材温度随时间的变化规律。说明无量纲温度是毕欧准数和傅立叶准数的函数。如果薄材被冷却，导出的结果一样。上式可求出任意时刻物体的温度；或反算。式（11－11）表明，当采用集总参数法分析时，物体中的过余温度随时间的变化关系是一条负自然指数曲线。包含在式（11－11）中的的量纲与相同。如果加热时间，则有

称为时间常数，记为

c，当

=c时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8%。当

=4c时说明用热电偶测量温度时，在有限的时间内总是有误差的，造成误差的原因是由于温度滞后，随着测试时间的增长误差减小。当测试时间达4倍时间常数时，测出的相对误差已小于2％，热电偶读数已非常接近实际温度了。因此工程上在测量温度时，推荐读数时间应在3～5倍时间常数范围为好。显然，时间常数越小，热电偶越能迅速反映出流体温度的变动。时间常数不仅取决于热电偶的几何参数（V/F）、物理性质（

、c），还与换热条件（h）有关。从物理意义上来说，热电偶对流体温度变化的快慢取决于其自身的热容量（

Vc

）及表面的换热条件（h）。热容量越大，温度变化越慢；表面换热条件越好（h越大），单位时间内传递的热量越多，则越能使热电偶的温度迅速接近被测的流体的温度。时间常数反映了这两种影响的综合结果。式（11－2）中的M与物体的几何形状有关，对于平板M=1；长圆柱M=1/2；球体M=1/3。如果薄材被冷却，导出的结果一样。上式可求出任意时刻物体的温度；或反算。物体的瞬时热流量：

在0~

时间内的总传热量为：注意使用中首先要判定是不是薄材，不然不能使用。11.3第一类边界条件下的一维非稳态导热半无限大物体作为许多有平面分界面的实际问题的理想化典型，有其重要意义。对于有限厚度的平壁，单面受热时，只要平壁的另一侧未受到升温波及（即另一侧的温度没有变化），就可应用半无限大物体的理论公式。比如，铸造中砂型的受热升温，只要在工程上有意义的时间内，砂型外侧未被升温所波及，就适用半无限大物体的分析。下面以图11－7所示的半无限大物体作为讨论对象。一初始温度均匀（t0）的半无限大物体，其物性参数为常数，无内热源，加热开始时表面的温度突然升为tw1,并保持不变。如图所示：1.温度场的求解常物性一维非稳态导热适用的微分方程为定解条件：

2微分方程的解的结果为：式中：为高斯误差函数，

为虚变量，积分的结果是其上限的函数。其值可用图11－8查得，也可由附录中高斯误差函数表查得。应用图11－8可计算τ时刻距受热面x处的温度，或者反算。从图中可以看出，当说明在

时刻，x处的的温度还没有发生变化，还是初始温度t0

。经

时间后壁内温度开始变化的距离为：

说明当有限厚物体的厚度s＞4√a

时，可用半无限大物体的解去近似，以此带来得误差很小。3热通量：由傅立叶定律故在

时刻，通过壁面的热通量为：

壁面处从0~

时间内通过单位面积的总热量为：11.4有限厚物体在第三类边界条件下的一维

非稳态导热11.4.1厚为2

的无限大平板设有一厚度为2

的无限大平板，初始温度为t0，将其放置于温度为tf的流体介质中，设tf>t0

，流体与板面间的对流换热系数为h且为常数，试确定在非稳态传热过程中板内的温度分布.由于是双面对称加热，板内的温度分布也是对称的，取坐标如图11－9所示：该加热过程的微分方程从导热微分方程的一般形式简化为：xthf,tfhf,tf-

t0图11－9大平板加热过程中的温度分布

4

3

2

1

＝0xtw0ts-stf

、

ftf

、

f化简得：定解条件：解的结果：式中

n是下列超越方程的根，称为特征值：从上式看出解的结果可表示为：x=0处即为物体的中心温度，

x=

处为物体的表面温度

Q0=2F·

ρCp(tf–t0)J

解的结果都是无穷级数的形式为便于计算,绘成线算图以供使用.图11－10无限大平板中心无量纲温度图

说明:1当F0＞0.2时，说明导热已处于导热的正规状况或充分发展阶段，初始条件的影响已消失，虽然

（x，

）及

m（

）各自均与时间

有关，但其比值则与

无关而仅取决于几何位置(x／s)及边界条件(Bi)。此时，只取无穷级数的第一项即可满足工程计算的要求，而无须求和。大多数工程问题都是在这个阶段。2在同一Fo下从上图可知，Bi

越大，

m／

0(纵坐标)的值就越小，当Bi

→∞时，相当于第一类边界条件下的解，（1/Bi

=0）的曲线。3在同一Fo下从上图可知：当B