2026年4月九年级学业质量诊断数学试题（问卷） 含答案

/一、单选题1.计算−2A.−5 B.5 C.−6 D.6

2.以下几何体的主视图是圆的是（

）A. B. C. D.

3.设a>A.a+3<b+3 B.−

4.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠1=40∘A.120∘ B.130∘ C.140∘

5.若直线y=kx+2（k是常数，A.−3 B.−2 C.−

6.如图，在▫ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60∘A.5 B.4 C.3 D.2

7.某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售.经市场调查发现，每件T恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价x元，则可列方程是（

）A.20−x200+8x=3600 B.20−x200+x=8.对任意整数a，多项式a+A.被5整除 B.被4整除 C.被2整除 D.被3整除

9.如图1，在△ABC中，∠B=36∘，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为ts，AP的长度为ycm，yA.23+2 B.23−2二、填空题

10.若分式1a−1

11.正多边形的一个内角是120∘，这个正多边形是正________边形．

12.亮亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．若售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是高铁内同一排座位A，B，C的排列示意图．则亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的概率为______________．窗ABC过道

13.关于x的一元二次方程x2+mx

14.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−x−1的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为0

15.如图，在锐角三角形ABC中，以AC为边作等边三角形AEC，以AB为边作等腰三角形AFB，其中AF=BF，∠AFB=120∘，D为BC的中点，分别连接FD和ED三、解答题

16.解答以下问题：（1）计算：−2（2）某学校打算购买甲、乙两种不同类型的笔记本，已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲、乙两种类型笔记本的单价．

17.解答以下问题：（1）先化简，再求值：xx+2（2）如图，在ΔABC中，∠A=90∘，请利用尺规作图法求作一点P，使得

18.已知二次函数y=mx2+（1）求m的值；（2）若原二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求（3）当−3≤x

19.为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：

平均数中位数方差七年级a95S八年级92.5bS

根据以上信息，解答下列问题：（1）表格中的a=_____，b=_____，S1​2_____S2​（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；（3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．

20.为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元．（不考虑加工损耗）（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？（2）若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？

21.某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知BD=28m,CD=21m，该地冬至正午太阳高度角α为35∘．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．

任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长；

22.如图，\odotO过菱形ABCD的顶点A，B，C，且CD切⊙O于点C，AO的延长线交BC于点M，且与DC的延长线交于点N．

（1）求证：AD为\odotO的切线；（2）连接OC，若tan∠B=65，

23.【探究与证明】

【问题情境】宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2）

【操作发现】

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．

第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE（1）图③中AB=（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）如图④，请证明矩形BCDE和矩形MNDE是黄金矩形．

答案与试题解析一、单选题1.【正确答案】D【考点】两个有理数的乘法运算根据有理数乘法法则中“两数相乘，同号得正”来计算−2解：−2×−2.【正确答案】A【考点】简单几何体的三视图本题考查了几何体的主视图概念及常见几何体的主视图特征，解题的关键是明确主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，并熟记球体、正四面体、正方体、正八面体的主视图形状.

先明确主视图的定义（从正面观察几何体所得到的平面图形）；再分别判断各选项几何体的主视图，球体无论从哪个方向观察主视图均为圆，正四面体主视图为三角形，正方体主视图为正方形，正八面体主视图为菱形（或正方形），据此筛选出主视图是圆的几何体.解：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，分析各选项：

A.几何体为球体，从正面观察球体，其主视图为圆，此选项符合题意；

B.几何体为正四面体，从正面观察正四面体，其主视图为三角形，此选项不符合题意；

C.几何体为正方体，从正面观察正方体，其主视图为正方形，此选项不符合题意；

D.几何体为正八面体，从正面观察正八面体，其主视图为菱形（或正方形），非圆，此选项不符合题意.

故选：A.3.【正确答案】C【考点】不等式的性质本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键.

根据不等式的基本性质逐一验证选项即可.解：由a>b，

∴a+3>b+3，故选项A错误；

−4.【正确答案】B【考点】垂线利用邻补角互补求角度几何图形中角度计算问题本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键.

由垂直求得∠AOD的度数，再根据平角定义，计算∠2的度数即可.解：∵点O在直线AB上，OC⊥OD，

∴∠AOB=∠AOD+∠2=180∘,∠COD=∠15.【正确答案】D【考点】一次函数的性质本题主要考查了一次函数图象的性质．根据题意得k>解：∵直线y=kx+2经过第一、二、三象限，

∴k>0，6.【正确答案】D【考点】利用平行四边形的性质求解等边三角形的性质与判定本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到AB=AE，进而推出ΔABE解：根据作图可知：AB=AE，

∵∠ABC=60∘，

∴△ABE为等边三角形，

7.【正确答案】A【考点】营销问题(一元二次方程的应用)本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意，每件利润为售价减进价，降价x元后每件利润为60−x−解：∵降价后每件利润为60−x−40=20−x元，每周销售量为2008.【正确答案】C【考点】因式分解的应用本题考查了因式分解的应用.

将a+52−a解：a+52−a+5=a+5a+4

∵9.【正确答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质三角形内角和定理相似三角形的性质与判定作∠BAC的平分线AP交BC于点P，先证AP=AC=BP，再证△APC∽△BAC，利用相似三角形的性质得出解：如图，作∠BAC的平分线AP交BC于点P，由图2知AB=BC=4，

∵∠B=36∘，AB=BC，

∴∠BAC=∠C=72∘，

∵AP平分∠BAC，

∴∠BAP=∠PAC=∠B=36∘，

∴AP=BP，∠APC=∠B+∠BAP=72∘=∠C，

∴AP=AC=BP，

∵∠PAC=∠二、填空题10.【正确答案】a【考点】分式有意义的条件本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义分母不等于零，得出a−1≠解：∵分式1a−1有意义，

∴a−1≠0，11.【正确答案】六【考点】多边形内角和与外角和综合本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和360∘解：正多边形的一个内角是120∘

∴正多边形的一个外角是180∘−120∘=60∘12.【正确答案】1【考点】列表法与树状图法本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．解：列表如下：ABCAAABBBCCC

共有6种等可能的结果，其中亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的结果有：A,C，C,A，共2种，

∴亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的概率为2613.【正确答案】±【考点】根据一元二次方程根的情况求参数本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．依据题意，一元二次方程的Δ=解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，

∴Δ=0，

即14.【正确答案】−【考点】求坐标系中两点间的距离一次函数与反比例函数的交点问题解一元二次方程-因式分解法待定系数法求反比例函数解析式此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据AC=BC和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为−1,0，设点A坐标为m,−m−1，根据AC解：当y=0时，0=−x−1，解得x=−1，

∴点B的坐标为−1,0，

∵点C坐标为0,3，

∴BC=OB2+OC2=12+32=10，

设点A坐标为m,−m−1，

15.【正确答案】6【考点】与三角形中位线有关的求解问题解直角三角形的相关计算相似三角形的性质与判定等边三角形的性质取AB的中点G，AC的中点H，连接FG、DGHE、HD，根据三角形中位线的性质可知DG=12AC=AH,DG∥解：如图，取AB的中点G，AC的中点H，连接FG、DGHE、HD，

则AG=BG，AH=CH，

∵D为BC的中点，

∴BD=CD

∴DG=12AC=AHDG∥ACDH=12AB=AGDH∥AB

∵AF=BFΔAEC是等边三角形，

∴FG⊥ABEH⊥AC∠AEH=12∠三、解答题16.【正确答案】3乙种类型的笔记本的单价为12元，甲种类型的笔记本的单价为11元【考点】实数的混合运算二次根式的乘法负整数指数幂（1）先计算乘方、二次根式的乘法、负整数指数幂、零次幂，再进行加减运算即可；（2）设乙种类型的笔记本的单价为x元，则甲种类型的笔记本的单价为x−（1）解：−22+12×3（2）解：设乙种类型的笔记本的单价为x元，则甲种类型的笔记本的单价为x−1元，

由题意得：120x=110x−1，

去分母，得：120x−1=110x，

去括号，得：120x−120=17.【正确答案】2见解析【考点】整式的混合运算运用完全平方公式进行运算线段垂直平分线的性质（1）先分别计算单项式乘以多项式和完全平方公式，再合并同类项，最后再把x的值代入求解即可；（2）根据垂直平分线的判定定理可知点P在AB的垂直平分线上，先作出AB的垂直平分线，再过点C作PC//AB，则两条直线的交点P即为所求.（1）解：xx+2+x−12

原式（2）解：如图所示，点P即为所求.

18.【正确答案】m1516【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数综合——面积问题y=a（x-h）²+k的图象和性质把y=ax^2+bx+c化成顶点式（1）将−1（2）先求出原解析式，令y=0和x=0，求出（3）先将函数变为顶点式，再根据顶点式的性质求解即可。（1）解：将−1,−8代入y=m（2）解：当m=1时，y=x2+4x−5，令x2+4x−5=0，则x=1或x（3）解：由题意得y=x2+4x−5=x+22−9，

∴对称轴为直线x=−2，且a=1>0，

∴抛物线开口向上，

∴当x=−2时，y有最小值为−9，

∵a>019.【正确答案】93.2；96.5；<七年级，理由见解析256人【考点】由样本所占百分比估计总体的数量运用方差做决策求一组数据的平均数中位数（1）根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答．（2）运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答．（3）运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答．（1）解：依题意，95×3+98×2+96+90×2+88（2）解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可）（3）解：依题意，200×810+160×20.【正确答案】A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10元要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克【考点】用一元一次不等式解决实际问题二元一次方程组的应用——销售问题（1）设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，由题意得6x（2）设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品6000−m千克，由题意得（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，

由题意得6x+4y=112,4x+2y（2）解：设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品6000−m千克，

由题意得12−8m+10−86000−m≥21.【正确答案】任务一：AB=1.4m【考点】根据矩形的性质与判定求线段长解直角三角形的应用-其他问题本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用；

任务一：如图，过A作AE⊥CD于E，结合题意可得：四边形AEDB为矩形，∠AEC=90∘，可得AE=BD=28m，AB=DE，求解CE=AE⋅tanα=28×0.7=19.6，进一步可得答案；

任务二：如图，过B作AC的平行线，过C解：任务一：如图，过A作AE⊥CD于E，

结合题意可得：四边形AEDB为矩形，∠AEC=90∘，

∵BD=28m,CD=21m，

∴AE=BD=28m，AB=DE，

∵∠CAE=α=35∘，

∴CE=AE⋅tanα=28×0.7