小升初奥数排列组合

排列组合

教学目标

1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；

3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力：

通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一

些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。

知识点拨：

一.力口法原理：做一件事情，完成它有N类办法，

在第一类办法中有中不同的方法，

在第二类办法中有M2中不同的方法，……，

在第N类办法中有Mn种不同的方法，

那么完成这件事情共有M2+........+Mn种不同的方法。

Z..乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，

完成第一步有n1种不同的方法，

完成第二步有112种不同的方法，……

完成第k步有n,种不同的方法，

那么完成此项任务共有niXn2X・Xru种不同的方法。

三,两个原理的区别

■做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法

原理。

每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，

互不相同（即至娄丕重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（空至娄

不漏）

■做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的

步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理.

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完

成此任务；各之进婺，相互0虫立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的

完成此事的方法也不同

■这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来.

四.排列及组合基本公式

1.排列及计算公式

从n个不同元素中，任双m(inWn)个元素按照一定的J顺序排成一列，叫做从n个不同

元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m《n)个元素的所有排列的

个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号叫表示.

叫=n(n-l)(n-2)....(n-m+1)

n!

(规定0!=l).

(n-m)!

2.组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个

元素的一个组合；从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n

个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C\表示.

n!

C\=P"„/m!=

(n-m)!Xm!

nw

一般当遇到m比较大时(常常是m>0.5n时)，可用C-n-Cn来简化计算。

规定：C；=l,C°n=l.

3.n的阶乘(n!)--n个不同元素的全排列

叫二n!二nX(n-1)X(n-2)-3X2X1

一、加法原理概念引入

生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做.去.那

么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决.

例如：王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天法，有

4趟长途汽车从北京到天津.那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？

分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走

法，如果乘长途汽车，有4种走法.上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法.

在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法.在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完

成.并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数.

二、加法原理的定义

一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有町种不同做法，第二类方法中有川2种不同做法，…，

第k类方法中有种不同做法，则完成这件事共有N=w,+吗+.......+S种不同方法，这就是加法原理.

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可

以使用加法原理解决.我们可以简记为：”加法分类，类类独立”.

分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时

要注意满足两条基本原则：

①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确.

运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数.通俗地说，就是“整体等E局部

之和”.

三、加法原理解题三部曲

1、完成一件事分N类；

2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；

3、类类相加

枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象列举出来进行计数.

分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法.枚举的时候要注意顺序，这

样才能做到不重不漏.

一、分类讨论中加法原理的应用

【例1］（难度等级派）小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书

20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？

【巩固】（难度等级派）有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有

多少种取法？

【巩固】（难度等级X）阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人.从中任意选一人当

升旗手，有多少种选法？

【例2］（难度等级※X）从1〜10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？

【巩固】（难度等级※X）从1〜8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？

【例3］（难度等级派※）甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：

一共有多少种不同的订法？

【巩固】（难度等级派※）大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情

况？

【例4］（难度等级※※）四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己

做的一张.问：一共有多少种不同的方法？

［例5］（第六届走美试题）一次，齐王与大将田忌赛马.每人有四匹马，分为四等.田忌知道齐王这次比赛马

的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着

依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等.田

忌有种方法安排自E的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛.

【例61（难度等级派※）把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种.

【巩固】（难度等级派※）一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情

况？

【例7］（难度等级※※※，用10（）元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?

【巩固】（难度等级派※）一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支I元、钢笔每支2元5角.小明要在该店花

5元5角购买两种文具，他有多少种不同的选择.

【例8］（难度等级派※※）袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的

情况共有种可能.（2（）08年北京“数学解题能力展示”读者评选活动）

【例9］（难度等级派※）1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号（最少

插一个乘号），可以得到多少个不同的乘积？

［例10］（难度等级※※※）1995的数字和是1+9+9+5=24,问：小于2000的四位数中数字和等于26的

数共有多少个？

【巩固】（难度等级派※※）1995的数字和是1+9+9+5=24,问：小于2000的四位数中数字和等于24的数

共有多少个？

【巩固】（难度等级※※※）2007的数字和是2+0+0+7=9,问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9

的数共有多少个？

【巩固】（难度等级派※※※）在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？

【例11】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如

257,1459等等，这类数共有个.

【例12】如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比他右边数位上的数字小，那么我们称它为迎春数.那

么，小于2008的迎春数一共有多少个？

【例13】有些五位数的各位数字均取自1,2,3,4,5,并且任意相邻两位数字（大减小）的差都是1.问这样

的五位数共有多少个？

模块二、树形图法、标数法及简单的递推

一、树形图法

“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图膨，可以使枚举过程不仅肪象直观，而且有条理又不重复遗

漏，使人一目了然.

【例14】（难度等级派※※）A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次传球），这样经过了

5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？（2005年《小数报》数学邀请赛）

【巩固】（难度等级派※※）一只青蛙在A,B,C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则

这只青蛙一共有多少种不同的跳法？

【例15］（难度等级派※※）甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁嬴，若没有人连胜头两局，则谁先胜三

局谁赢，打到决出输赢为止.问：一共有多少种可能的情况？

二、标数法

适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数.标数法是加法

原理与递推思想的结合.

【例15］（难度等级派※）如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线?

I3610

E

234

F

111

【巩固】（难度等级派※）如图，从八点到8点的最近路线有多少条?

【例17］（难度等级派※）如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角

的A处沿最短的路线走到东北角3出，由于修路，十字路口。不能通过，那么共有种不同走

法.

B

51535558112C

41020202639

3610C613

234567

AAII111I

【例19］如图1为一幅街道图，从人出发经过十字路口3,但不经过C走到。的不同的最短路线有一条.

D

图1图2

【例20］小王在一年中去少年宫学习£6次，如图所示，小王家在产点，他去少年宫都是走最近的路，且每次

去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在点处.

【例21］（难度等级※※※）在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路

线有多少种？

【例22］（难度等级派※※）在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条?

【巩固】（难度等级派※※）在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少种？

A

B

【例23］（难度等级派※※）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能

连续（即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”

的读法.

我们学习好11111

们学习好玩12345

学习好玩的

1361015

习好玩的数

好玩的数学14102035

15153570

【例24］（难度等级※※※）如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共

有多少种不同的走法？

北1

北京北131

北京欢京北12721

欢迎欢2112

你1)

【巩固】（难度等级派※※）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字呈能连

续（即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的

读法._________________

我们学习好11111

们学习好玩12345

学习好玩的

1361015

习好玩的数

14102035

好玩的数学

15153570

【例25］（难度等级派※※）在下图中，用水平

正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？

1

I

1—3—1

I।।

1—2—7—2—1

IIIII

1-2-4—15-4—2—1

IlliIII

1—2-4—8—31—8^k-2-l

【巩固】如图1,用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好”，那

么可读成“祖国明天更美好”的路线有条.

图2

【巩固】（第二届“希望杯”2试试题）右图中的“我爱希望杯”有_____种不同的读法.

【解析】如图1所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein"，按图中箭头所示方向有一种不同的方

法拼出英文单词“Einstein”.

【例26］（难度等级派※※）图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但

不能从大号码走到小号码，从I号房间走到10号房间共有多少种不同的走法？

6“57

【例27】（难度等级派※※）国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于O位置的“马”只能走到标有X的方

格中，类似于中国象棋中的“马走日如果“马”在8x8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图

2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有@的位置），最短路线有条.【2008

年北京“数学解题能力展示”读者评选活动】

【例28］（难度等级※※※）从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如图

所示（虚线表示在地球背面的航线），则从北京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线有

多少？

莫斯科

纽约

北京

京

悉尼

［例29］一个实心立方体的每个面分成了四部分.如图所示，从顶点Q出发，可找出沿图中相连的线段一步步

到达顶点Q的各种路径.若要求每步沿路径的运动都更加靠近Q,则从〃到。的各种路径的数日为

几？

三、简单递推：斐波那契数列的应用

对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前

面的数求出后面的数，这种方法称为递推法.

【例30］（难度等级派※※）一楼梯共1（）级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第1（）级，共有多少种

不同走法？

［例31］（难度等级派※※）1X2的小长方形（横的竖的都行）覆盖2X10的方格网，共有多少种不同的盖法.

【例32］（难度等级派※※）如下图，一只蜜蜂从4处出发，回到家里8处，每次只能从一个蜂房爬向右侧

邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？

【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由A房间到达B房间有多少种方

法？

37

48

【例33】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来.如果一个人在

一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？

【例34］树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝.一棵树

苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年

的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”.这在生物学上称为“鲁德维格定律”.那么十年后这

棵树上有多少条树枝？

【例35］对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2,如果是奇数则加I,如此进行直到得数为1操作停

止.问经过9次操作变为1的数有多少个？

一、乘法原理概念引入

老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄嫡去上下午I点半的深.如

果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄楠

有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？

我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔.这几个环节是必不可少的，老师是一定要先

到长宁上完课，才能去黄埔的.在没学来法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而多见一

共是10条路线.但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交

通工具，那一共有多少条线路呢？这样袋，恐怕是要耗费很多的时间了.这个时候我们的乘法原理就派上上用场

了.

二、乘法原理的定义

完成一件事，这个事情可以分成〃个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共

可以分成两个必不可少的步骤，一是从发到长宇，二是从长宁到贵埔），第1步有A种不同的方法，第二步有8

种不同的方法，……，第〃步有N种不同的方法.那么完成这件事情一夫有AxBx……xN种不同的方法.

结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；

第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5x2个可选择的路线了，即10条.

三、乘法原理解题三部曲

1、完成一件事分N个必要步骤：

2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）：

3、步步相乘

四、乘法原理的考题类型

1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题：

2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；

3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国再个省的染色情况，绐你几种颜色，问你一张包

括几个部分的地图有几种染电的方法：

4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；

5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个儿为数的偶数，有多少种排法.

【例36】邮递员投递邮件由A村去〃村的道路有3条，由〃村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经A

村去C村，共有多少种不同的走法？

【巩固】如下图所示，从A地去A地有5种走法，从A地去C地有3种走法，那么李明从A地经5地去C地

有多少种不同的走法？

【例37］如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过.问：他最多有几种不同走法?

【巩固】在下图中，一只甲虫要从八点沿着线段爬到8点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几

种不同走法？

【巩固】在右图中，一只甲虫要从4点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几

种不同走法？

【巩固】在右图中，一只蚂蚁要从4点沿着线段爬到B点,要求任何点不得重复经过.问：这只蚂蚁最多有几

种不同走法？

【巩固】在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到8点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几

种不同走法？

【巩固】在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到3点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几

种不同走法？

【例38］如果将四面颜色不同的小旗子挂在一根绳子上，组成一个信号，那么这四面小旗子可组成种不

同的信号。

【巩固】按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个

不同的句子？

爸爸.北京。

妈妈2乘2火车，，去c拉萨.，

我“汽和台心

【巩固】小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳，跳高和短跑这三个项目的比赛，每人参加一项，报名

的情况有种。

【巩固】题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一

道组成一张试卷.问：由该题库共可组成多少种不同的试卷?

【巩固】文艺活动小组有3名男生，4名女生，从男、女生中各选I人做领唱，有多少种选法?

【巩固】要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？

【例39】小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要

从几种服装中各取一个搭配.问：共可组成多少种不同的搭配（帽子可以选择戴与不戴）?

【例40】已知图3是一个轴对称图形,若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称图

形共有（）个。

(4)9(3)8(C)7(。)6

【例41】从四年级六个班中评选出学工、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体,

那么一共有多少种评选方法？

【巩固】奥运吉祥物中的5个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音：贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中

从左向右放5个不同的“福娃”，那么，有________种不同的放法。

【例42】从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？

【例43】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目.如果贝贝和妮

妮不相邻，共有多少种不同的排法？

【巩固】10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法?

【巩固】12个人围成一圈，从中选出3个人，其中恰有两个人相邻，共有_种不同的选法。

【例44]“数学”这个词的英文单词是“MATTf，.用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字

母染的颜色都不一样.这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？

【巩固】是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问

共有多少种不同的写法？

【巩固】“学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写

法？

【例45］有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的

方法？

【巩固】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？

【例45］联欢会上有一则数字谜语，谜底是一个八位数。现已猜出：口54口7口39,主持人提示：“这个无直复数

字的八位数中，最小的数是2。”要猜出这个谜语，最多还要猜次。

【例47］在右面每个方格中各放1枚围棋子（黑子或白子），有（）种放法.

【例48］将1〜6分别填入图中的6个方框内，使得同一行中左边的数比右边的小，同一列中上边的数比下边

的小，共有______种不同的填法.

【例49］将19枚棋子放入5x5的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个,

那么共有种不同的放法.

□□o

□on

一、加乘原理概念

生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一

种方法就可以完成，力且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能,的做法，就要用到机法原理来

解决.

还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方去.要

知道完成这件事情共有多少种方法，就更用到乘法原理来解决.

二、加乘原理应用

应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：

（1）加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同

方法数等于各类方法数之和.

（2卜乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积.

{3}在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综

合分析，正确作出分类和分步.

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可

以使用加法原理解决.我们可以简记为：”加法分类，类类独立”.

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，

这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为：”乘法分步，步步相关”.

一、简单加乘原理综合应用

【例50］商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2种水果糖：苹果味、梨味、橙味.小明想买一些糖送

给他的小朋友.

⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？

⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选法？（2级）

【例51］从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、

武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车.问，从北京到广州一共有多少

种交通方式供选择？（2级）

【例52］从学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学校到张老师家有

3条路可走，那么从学校到张老师家共有多少种走法？（2级）

王明家］）

【巩固】如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙

地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？（2级）

【巩固】王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京.他从重庆

到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图.那么王老师从重庆到

南京有多少种不同走法呢？（2级）

【例53］如下图，八面体有12条棱，6个顶点.一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点

一次.问共有多少种不同的走法？（6级）

【例54】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那

么共有多少种不同的选择？（4级）

【例55］某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返

的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？（6级）

【例55］某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成.现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会.从

7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？（6级）

［例57］某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号.每次可挂一面，

二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号.一共可以表示出多少种不同的信号？（6

级）

【巩固】五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不

同的信号？（6级）

【例581五种颜色不同的信号旗,各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号,问：共可以表示多少种

不同的信号？（6级）

【巩固】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2,2,3,3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信

号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？（6级）

【例59］（2008年清华附中考题）小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜头两

局，谁先胜三局谁赢.共有种可能的情况.（6级）

【例60］（2009年“数学解题能力展示"中年级复赛试题）过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好

友的5个孩子每人一件.其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想

从学习机和遥控汽车中选一件.那么，妈妈送出这5件礼物共有种方法.（6级）

【例61］有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份.问：一共有多少种不同

的订法？（6级）

【例62］玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色.这家厂共可生产种颜

色不同的玩具棒.（8级）

【例63］奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由5个字母a、b、c、d、e组成,

并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母e不打头，⑵单词中每个字母〃后边必然紧跟着字母A,

（3）c和〃不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？（8级）

【例64】从6名运动员中选出4人参加4x100接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种:

⑴甲不能跑第一棒和第四棒；

⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6级）

二、加乘原理与数字问题

【例65］由数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的数？（4级）

【例66］由数字0,I,3,9可以组成多少个无重复数字的自然数？（6级）

【巩固】用数字0,I,2,3,4可以组成多少个小于1000的自然数？（6级）

【巩固】用数码0,I,2,3,4,可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？（6级）

【例67］用0〜9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.（6级）

【巩固】用0,1,2,3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？（6级）

【例63］在2000到2999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数?

（6级）

【例69］在1000至1999这些自然数中个位数大于百位数的有多少个？（6级）

【例70］某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9.为确保打开保险

柜至少要试多少次？（6级）

【例71］从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？（6级）

【巩固】从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？（6级）

【巩固】从I到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个？（6级）

【例72］由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第

个.【2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛】（8级）

【巩固】从分别写有2、4、6、8的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法.如果其中的6可以看成9,那么

共有多少种不同的乘积？（6级）

【例73］自然数8336,8545,8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个

数字相同.这样的数共有多少个？（6级）

【巩固】在MXX）到1999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？（6

级）

【例74］如果一个三位数A6c满足A>8,B<C,那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个数.（8

级）

【例75】用数字I,2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个？（6级）

【例76】七位数的各位数字之和为60,这样的七位数一共有多少个？（6级）

【例77】从自然数广40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？（6级）

【例73］在1700的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？（6级）

【巩固】在「10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？

（6级）

【巩固】在170这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？（6

级）

【巩固】从7,8,9,,76,77这71个数中，选取两个不同的数，使其和为3的倍数的选法总数是多少？（6

级）

【巩固】从这些数中选取两个数，使其和被3除余1的选取方法有多少种？被3除余2的选取方法有多少种？（6

级）

［例79］I到60这60个自然数中，选取两个数，使它们的乘积是被5除余2的偶数，问，一共有多少种选法?

（6级）

［例80］一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”.例如1331,7,202

都是回文数，而220则不是回文数.问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996人数是

多少？（6级）

［例81］如图，将1,2,3,4,5分别填入图中1x5的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大.共

有种不同的填法.【走进美妙数学花园少年数学邀请赛】（6级）

【巩固】在如图所示1X5的格子中填入1,2,3,4,5,6,7,8中的五个数，要求填入的数各不相同，并且

填在黑格里的数比它旁边的两个数都大.共有种不同的填法.（6级）

【例82】从1〜12中选出7个自然数，要求选出的数中不存在某个自然数是另一个自然数的2倍，那么一共有

种选法.（6级）

【例83］从1到999这999个自然数中有个数的各位数字之和能被4整除.（6级）

【巩固】从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个？（6级）

【巩固】从I到3998这3998个自然数中，又多少个数的各位数字之和能被4整除？（6级）

【例84】（2001年第十届日本小学数学奥林匹克决赛）表中第1行是把I〜100的整数依次全部排列出来，然

后从第2行起是根据规律一直排到最后的第100行.请问：这个表中一共有多少个数能被77整除？

第1行12345.................96979899100

第2行3579..................193195197199

第3行81216..................388392396

第4行.............................

第5行........................

第100