《矩形的性质与判定》第2课时课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊的平行四边形第3课矩形的性质与判定新版北师大数学九年级上册数学第2课时矩形的判定学习目标1.通过回顾矩形的定义与特殊性质、菱形判定的探究方法，猜想并证明矩形的判定定理.2.通过递进式问题链探究与一题多变训练,能根据题目已知条件，灵活选择最优的矩形判定定理完成证明与计算,提升几何直观与数学运算能力.3.梳理矩形判定的知识体系,形成“性质逆命题猜想-逻辑证明-应用拓展”的特殊几何图形探究方法,提升自主归纳与知识迁移能力情境启航问题构建协作破冰教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计目录情境启航为迎接校园文化节,咱们班要制作一块矩形宣传展板,木工师傅完成四边形框架后,我们如何利用已学的几何知识,科学、严谨地检验这个框架是否为标准矩形？四边形矩形平行四边形问题构建问题1:同学们,咱们班要制作校园文化节的矩形宣传展板,木工师傅做好了四边形框架,如果你是质检员,结合已学知识,你初步打算怎么检验这个框架是不是标准的矩形？最直接的方法是用矩形的定义,用直角尺检验有没有一个角是直角,同时用卷尺检验两组对边是否分别相等,有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形..问题构建如果我们没有直角尺,只有卷尺,还能完成检验吗？带着这个问题,我们今天一起探究矩形的判定方法.问题2:我们之前学习了菱形的判定,大家回忆一下,我们是怎么一步步得到菱形的判定定理的？①回顾菱形的特殊性质②写出性质定理的逆命题③猜想逆命题是否为真命题④通过逻辑推理证明猜想⑤得到菱形的判定定理追问1:矩形区别于一般平行四边形的特殊性质有哪些？①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等问题构建追问2:类比菱形判定的探究方法,要得到矩形的判定定理,我们接下来要做什么？写出矩形特殊性质定理的逆命题,猜想逆命题的真假,再通过逻辑推理证明猜想.问题3:矩形的性质“四个角都是直角”的逆命题是什么？这个逆命题的条件能不能简化？为什么？命题是“四个角都是直角的四边形是矩形”.可以简化,因为四边形内角和为360°,如果三个角是直角,第四个角必然也是直角,因此简化为“有三个角是直角的四边形是矩形”.问题构建已知:在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证:四边形ABCD是矩形.证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°∴AD∥BC，AB∥DC（同旁内角互补，两直线平行）∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）又∵∠A=90°∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形问题构建问题4：矩形的性质“对角线相等”的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？给出你的判断理由.逆命题是“对角线相等的四边形是矩形”.这是假命题,比如等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形.追问1:类比菱形判定的修改方式,我们给这个逆命题加什么前提，能让它成为真命题？加上“平行四边形”的前提,得到新的逆命题“对角线相等的平行四边形是矩形”.问题构建猜想：对角线相等的平行四边形是矩形已知:在平行四边形ABCD中,AC、BD是对角线,且AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC,AB∥DC∴∠ABC+∠DCB=180°（两直线平行，同旁内角互补）在△ABC和△DCB中AB=DC，BC=CB，AC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）∴∠ABC=∠DCB∴∠ABC=∠DCB=90°∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形协作破冰追问2:我们知道“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,结合判定定理2,你能不能得到一个直接判定任意四边形是矩形的定理？对角线互相平分说明四边形是平行四边形，再加上对角线相等,即可判定为矩形,因此得到:对角线相等且互相平分的四边形是矩形.追问3:请你总结3个判定定理的适用场景,分别在什么情况下选择对应的定理？定理1:已知条件聚焦四边形的内角,无需先证平行四边形，直接判定四边形是矩形；定理2:已知条件已明确四边形是平行四边形,只需补充证明对角线相等即可；定理3:已知条件聚焦四边形的对角线,无需先证平行四边形，直接通过对角线的关系判定矩形协作破冰【一题多解】已知:在平行四边形ABCD中,M是AD边的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是矩形.(只说思路,不写证明过程)方法1（定理1）：证△ABM≌△DCM（SSS）得∠A=∠D=90°,结合AD∥BC得∠ABC=90°，三个角为直角,故四边形ABCD是矩形.方法2（定理2）：连接AC、BD,证△AMB≌△DMC（SAS）,得AC=BD,平行四边形对角线相等,故四边形ABCD是矩形.方法3（定理3）：平行四边形对角线互相平分,结合证得的AC=BD,对角线相等且互相平分,故四边形ABCD是矩形.教师示范【一题多变】变式1：将原题条件改为“在平行四边形ABCD中，∠BMC=90°,MB=MC”其余条件不变，求证：四边形ABCD是矩形.变式2：将原题条件改为“在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,M是AD中点，MB=MC”,求证：四边形ABCD是矩形.变式3：将母题条件改为“在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,M是AD中点,MB=MC”,求证：四边形ABCD是矩形.教师示范问题5:回到上课开始的展板检验问题,现在我们有了3种判定定理,你能设计出几种检验方案？每种方案需要什么工具？对应哪个判定定理？方案1：用直角尺测量框架的3个内角,若均为直角,说明是矩形,对应定理1.方案2：先用卷尺测量两组对边,确认两组对边分别相等（是平行四边形）,再测量两条对角线,若对角线相等,说明是矩形.对应定理2.方案3：用卷尺测量两条对角线的长度,以及对角线分成的4条线段长度,若对角线互相平分且相等,说明是矩形,对应定理3.巩固拓展问题6:如果我们只有一根卷尺,没有直角尺,能不能完成检验？怎么操作？可以.先用卷尺测量框架的四条边,确认两组对边分别相等（证明是平行四边形）,再测量两条对角线的长度,若对角线相等,即可判定为矩形.对应定理2,无需直角尺即可完成检验.本节课我们用严谨推理探究矩形判定，既学到几何知识，也懂得做事要精准规范、求真务实。愿大家以严谨之心对待学习与生活，用理性与责任守护秩序、成就更好的自己。当堂检测1.下列命题中,能判定四边形是矩形的是（）A.对角线相等的四边形B.有两个角是直角的四边形C.对角线互相平分且相等的四边形D.对角线互相垂直的平行四边形解析:A选项,等腰梯形对角线相等但不是矩形,错误；B选项,直角梯形有两个角是直角但不是矩形,错误；C选项,对角线互相平分说明是平行四边形,加上相等符合矩形判定定理,正确；D选项,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,错误.C当堂检测2.在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,△AOB是等边三角形，AB=2,则平行四边形ABCD的面积为______.

请同学们自己画出图形并计算.当堂检测3.已知:在四边形ABCD中,AB∥DC,∠A=∠B=90°,AD=BC.求证:四边形ABCD是矩形.证明：∵AB∥DC∴∠A+∠D=180°∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠A=∠B=90°，∴∠D=∠C=90°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）当堂检测4.已知:在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E是BC延长线上一点,且CE=BC,连接AE、DE,BD=DE.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵CE=BC，∴AD=CE，∵AD∥CE∴四边形ACED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AC=DE∵BD=DE∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）反思总结1.本节课我们学习了矩形的三种判定定理,它们分别是什么？各自的适用前提有什么核心区别？在证明一个四边形是矩形时,我们该如何根据已知条件选择最优的判定方法？2.回顾本节课的探究过程,我们如何得到了矩形的判定,这种方法在之前学习哪些几何图形时也用到