《菱形的性质与判定》第2课时课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊的平行四边形第2课菱形的性质与判定新版北师大数学九年级上册数学第2课时菱形的判定学习目标1.通过对菱形性质的逆命题探究与动手操作活动,经历菱形判定定理的猜想、推理与证明过程,掌握菱形的三种判定方法,能准确区分不同判定方法的前提条件.2.通过对菱形判定定理的辨析、例题解析与变式练习,能规范运用菱形的判定方法完成几何证明与计算,发展逻辑推理能力与几何直观核心素养.3.通过运用菱形判定方法解决校园建设等生活实际问题,感受数学与现实生活的紧密联系,体会几何图形的应用价值.情境启航问题构建协作破冰教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计目录情境启航为打造书香校园,学校要制作一批菱形励志宣传牌,木工师傅完成四边形框架后,需要我们作为验收员完成标准核验.除了用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的定义核验,还有哪些简洁、可落地操作的判定方法？如何用这些方法设计一套可执行的验收方案,确保宣传牌是标准的菱形？问题构建问题1：我们之前已经学习了菱形的定义和性质,谁能说说什么是菱形？菱形有哪些核心性质？结合图形描述.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.核心性质：边:四条边都相等,对边平行且相等；对角线:互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角；对称性:既是轴对称图形,也是中心对称图形.问题2:根据菱形的定义,要验收宣传牌是菱形,需要分几步核验？分别核验什么？分两步:第一步,核验四边形是平行四边形；第二步,核验这个平行四边形有一组邻边相等.问题构建问题3：实际验收中,用定义法需要两步核验,有没有更简洁、可操作的判定方法？这就是我们本节课要解决的核心问题.除了定义之外，还可以如何判定一个四边形是菱形问题4:我们之前探究平行四边形的判定时,用了什么研究方法？先写出平行四边形性质的逆命题,再证明逆命题为真命题,最终得到判定定理追问1::类比这个方法,我们从菱形的性质出发,写出对应逆命题,你能提出哪些菱形判定的猜想？问题构建对角线互相垂直的四边形是菱形,是错误猜想,举反例:筝形1.对应“菱形四条边都相等”逆命题:四条边都相等的四边形是菱形对应猜想:四条边相等的四边形是菱形2.对应“菱形的对角线互相垂直”逆命题:对角线互相垂直的四边形是菱形对应猜想:对角线互相垂直的四边形是菱形追问2:对于以上两个命题的真假，有没有可以提前判断结论的？你能画出图形吗？问题构建追问3:请你结合菱形的定义,证明第一个猜想:四条边相等的四边形是菱形已知:四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形证明：∵AB=CD，BC=DA∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）又∵AB=BC∴平行四边形ABCD是菱形（菱形的定义）定理四条边相等的四边形是菱形问题构建追问4:刚才命题2的猜想已证实为假命题，如何修改条件可能变成真命题？对角线互相垂直的平行四边形是菱形如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,求证:平行四边形ABCD是菱形证明∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC,OB=OD∵AC⊥BD∴∠AOB=∠AOD=90°在△AOB和△AOD中：OA=OA,OB=OD,∠AOB=∠AOD=90°∴△AOB≌△AOD（HL）∴AB=AD（全等三角形对应边相等）∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）你还有别的证明方法吗？问题构建追问5:现在我们得到了菱形的三种判定方法,它们的前提条件有什么不同？判定方法前提补充条件定义法平行四边形一组邻边相等定理1四边形四条边都相等定理2平行四边形对角线互相垂直判断下列说法是否正确,说明理由：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（2）有一组邻边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形协作破冰(1)尺规作图:已知线段a,作菱形ABCD,使其对角线AC=a作线段AC的垂直平分线MN，在直线MN上任取关于AC对称的两点都是正确的作图.协作破冰(2)满足(1)中条件的菱形是否唯一？若不唯一,添加什么条件可使其唯一？不唯一因为只要保持对角线AC=a不变,且另一条对角线BD与AC垂直平分,但BD的长度可以任意取（只要不为0）,就能构造出无数个不同的菱形.①添加另一条对角线BD的长度（如:BD=b,b>0）→此时两条对角线长度和位置完全确定,菱形形状和大小唯一.②添加一个内角的度数（如:∠ABC=60°）→由对角线AC=a和角度,可唯一确定菱形.③添加边长（如:AB=c）→结合AC=a与菱形性质（对角线互相垂直平分）,可通过勾股定理确定另一条对角线长度,从而唯一确定菱形.教师示范

教师示范问题5:回到宣传牌验收情景,给你一把卷尺,你能用几种方法核验宣传牌是菱形？分别对应哪个判定方法？方法1:直接测量四条边的长度,若四条边完全相等,根“四条边相等的四边形是菱形”直接判定,操作最简便；方法2:先测量两组对边,若两组对边分别相等,证明是平行四边形；再测量一组邻边，若邻边相等,用定义法判定；方法3:先测量两组对边,证明是平行四边形；再测量两条对角线分成的4段长度,用勾股定理验证邻边与两段对角线是否满足直角三角形关系,证明对角线垂直,用定理2判定.巩固拓展如图,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形,使∠A为菱形的一个内角吗？写出你的折纸步骤,画出图形,并说明你的方法的正确性.判定方法：四条边相等的四边形是菱形当堂检测1.下列条件中,能判定一个四边形是菱形的是（）A.对角线互相平分的四边形B.对角线互相垂直且相等的四边形C.有一组邻边相等的四边形D.四条边都相等的四边形D解析：A选项,对角线互相平分的四边形是平行四边形,不一定是菱形；B选项,对角线互相垂直且相等的四边形无法证明是平行四边形，如对角线垂直且相等的等腰梯形,不是菱形；C选项,仅有一组邻边相等的四边形无法证明是平行四边形,不满足菱形判定要求；D选项符合菱形的判定定理.当堂检测2.在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,添加一个条件：__________，可使平行四边形ABCD成为菱形（填一个符合要求的条件即可）答案：AC⊥BD（或AB=BC、BC=CD、CD=DA、DA=AB）解析：根据菱形的判定定理,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,填写任意一个符合要求的条件即可当堂检测3.已知：如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD=BC,求证：四边形ABCD是菱形.证明:∵AB∥CD,AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵CD=BC,即平行四边形ABCD有一组邻边相等∴平行四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.当堂检测4.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC交于点E、O、F,求证：四边形AECF是菱形证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠EAO=∠FCO∵EF是AC的垂直平分线∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°在△AOE和△COF中∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF​∴△AOE≌△COF（ASA）∴OE=OF又∵OA=OC∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）反思总结1.本节课我们学习了菱形的哪几种判定方法？它们的前提条件有什么区别与内在联系？2.我们是如何从菱形的性质出发,类比平行四边形的探究路径，得到菱形判定定理的？这个“性质-逆命题