《问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形》课2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊的平行四边形问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形新版北师大数学九年级上册数学学习目标1.通过探究正方形内接正八边形的定义与图形特征,深化正方形的边、角、轴对称核心性质,掌握正八边形的内角、边长特征,能准确画出正方形内接正八边形的不同情形草图.2.通过分析正方形内接正八边形的边角数量关系,探究尺规作图的可行路径,掌握尺规作等长线段、等腰直角三角形的基本方法,能独立完成内接于正方形的正八边形的规范尺规作图.3.通过对作图依据的推理证明与作图过程的复盘反思,提升几何直观与逻辑推理能力,积累特殊平行四边形内接正多边形的探究经验，能迁移解决同类几何作图与推理问题.情境启航问题构建协作破冰教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计目录情境启航问题1:本章我们学习了特殊平行四边形,其中正方形有哪些核心的边、角、对角线、对称性性质？请你结合下面边的图形描述.问题2:我们之前了解过正多边形,正八边形有哪些基本性质？问题构建问题3:我们学过的基本尺规作图有哪些？要作出45°角,可通过哪些尺规方法实现？基本尺规作图:作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角拓展作图:作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线45°角作法:①先作直角,再作直角的角平分线，即可得到45°角;②通过作等腰直角三角形,得到45°角问题构建问题4:根据题目给出的“正八边形内接于正方形”的定义,核心关键信息有哪些？你如何理解这个定义？结合课本中的图片进行描述.如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形,且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上,那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.关键信息：①正方形内嵌套正八边形；②正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上；③正八边形整体在正方形内部（含边上）理解：正方形的四条边，每条边上至少有1个正八边形的顶点，正八边形无超出正方形的部分，完整嵌套在正方形内部问题构建问题5：正八边形内接于正方形，可能有哪些情形？请描述每种情形的顶点分布特点，并说明对应草图的核心特征.八个顶点都在边上四个顶点在边的中点上四个顶点在边的非中点上从特殊到一般的数学思想问题构建问题6：以上3种情形中,哪种符合题目“古建筑藻井图案”的实际场景？为什么？数学抽象原因:古建筑藻井是正方形内嵌套完整正八边形,正方形四个角为完整直角,正八边形八个顶点都在正方形边上,正八边形有四条边与正方形的边完全重合重合,完美匹配“嵌套”的视觉效果,与题目给出的藻井实物图一致.问题构建问题7:结合正方形与正八边形的性质,内接于正方形的正八边形,必须满足哪些核心的边角特征？从特殊图形开始研究.正八边形固有特征:8条边长度相等,8个内角均为135°.正方形四个角截出的三角形均为全等的等腰直角三角形

图形关于正方形的4条对称轴完全对称,顶点分布符合轴对称特征问题构建问题8:你能尝试用尺规作出8个顶点都在正方形边上的正八边形吗？1.用尺规作出任意位置的等腰直角三角形,如右图所示等腰直角三角形BOE.2.作∠BOE的角平分线交AB于H3.以点E为圆心，EH为半径画弧交AB与K，连接KH4.以K为圆心KH为半径画弧交于AB边，依次截取即可完成作图.协作破冰问题9:你能尝试用尺规作出4个顶点都在正方形边中点上的正八边形吗？1.作正方形ABCD四个边的中点,分别为E、F、G、H.2.连接AC交EH于点I3.作∠AEI的角平分线AM交AC于M,连接MH4.分别以E、F、G、H为圆心,以EM为半径画圆，得到正八边形其余的顶点协作破冰追问:经历刚才的画图步骤，你有没有发现更简单的作图方法？1.作出正方形的对角线2.以交点为圆心，以边长一半为半径画圆3.连接所得的交点即可得到正八边形.协作破冰问题10:观察老师制作的图案和动画,说说你有怎样的发现？4个顶点位于正方形边上的正八边形有无数个.教师示范问题11:刚才我们从形的角度对内嵌正八边形进行了细致的研究，你能从数的角度找一找制作图形时需要满足怎样的条件？我们从正八边形的边长与正方形边长关系入手进行研究.教师示范假设正方形边长为m,正八边形边长为n（同学们可以课下研究谈论，和同伴老师交流.）

对于任意一点的情况，边长介于两种特殊情况之间巩固拓展问题12：通过本节课的探究，你总结出了几种作内接于正方形的正八边形的尺规作图方法？这些方法各自的核心特点是什么？核心画法：1.先制作45°角，再借助角平分线制作八边形内角135°,最后借助正八边形边长都相等顺次作一条线段等于已知线段.

2.对称轴法：利用正方形4条对称轴,将正方形分为8个全等等腰直角三角形,在对称轴上截取等长线段得到顶点成图.巩固拓展问题13：在探究过程中,我们用到了本章特殊平行四边形（正方形）的哪些性质？这些性质分别起到了什么作用？

巩固拓展问题14：通过本节课的探究,你积累了哪些解决“特殊平行四边形内接正多边形”这类问题的通用经验？核心经验：1.先明确定义,拆解核心特征,拆解特殊平行四边形与正多边形的核心性质,找到两者结合的关键边角关系、对称特征2.先推导数量关系,化繁为简3.充分利用图形的对称性,特殊平行四边形与正多边形均具备对称性,利用对称性可快速定位顶点位置,简化作图步骤.4.作图后严谨验证说理,完成作图后,需紧扣正多边形的定义，从边、角两个维度通过几何推理证明作图的正确性，而非仅靠直观观察.培养严谨的逻辑推理能力.当堂检测1.如果要在边长为10cm的正方形里作一个内接正八边形(8个顶点都在边上),这个正八边形的边长是多少？（精确到0.1cm）

当堂检测2.本章我们还学习了菱形，你能类比本节课的方法，说出在内角为60°和120°的菱形中，作内接正六边形的核心思路吗？核心思路：①明确正六边形的性质：6条边相等，每个内角120°，与菱形的120°内角匹配；②利用菱形四条边相等、轴对称的性质,推导正六边形顶点在菱形边上的位置,确定等长线段的截取长度；③作菱形的2条对称轴,以菱形钝角顶点为圆心,以较短对角线一半为半径画圆，在菱形四条边+菱形的顶点得到6个顶点；④顺次连接得到正六边形.反思总结1.通过本节课的探究,你总结出了几种作内接于正方形的正八边形的尺规作图方法？这些方法各自的核心特点是什么？2.在探究过程中,我们用到了本章特殊平行四边形（正方形）的哪些性