微积分上册期末试卷及答案(七)

广东金融学院期末考试试题(A)卷

2007—2023学年第一学期考试科目：《微积分I》

(闭卷120分钟)

姓名班级学号成绩

一、填空题、(每题3分，共15分)

1.函数y=y/3-x+arctan—的定义域为.

x

2.设/(工+，)=，+4,那么/(幻=；.

3.曲线ix+siMx在点区1+工]处的切线方程为；

(22)

4.曲线),=1+电土的水平渐近线为；

x

5.函数/(工)二/(戈＞0)的单调增加区间是；

二、单项选择题(每题3分，共15分)

1.以下数列｛〃〃｝中收敛的是()

(A)W,j=(-1)"—(B)/=(_])”,；(C)W„=sin—；(D)〃“=2”；

nn2

2.假设/")=半耳，那么x=l是/(x)的()

卜-11

(A)连续点；(B)可去间断点；

(C)跳跃间断点；(D)无穷间断点；

3.以下正确的选项是()

C/(4一幻一/⑵2、1；一/(〃)

(AJlim-----------------------=j(2)；IBJlim-------------------------=f⑷；

・12x-2Dh

(C)lim/(题+5)_/(/7)」/，(/)；(D)]im

.io2AX2*-＞c二x

4.设f(x)=e'+1+2cosx,那么x=0()

(A)不是/(x)的驻点；(B)是/。)的驻点，但非极值点；

(C)是/。)的极小值点；(D)是/。)的极大值点；

5.判别曲线＞=此-'的凹凸性(：)

(A)(—8,2)曲线为凹的，(2,+8)曲线为凸的;

(B)(一8,2)曲线为凸的，(2,+8)曲线为凹的;

(C)(-8,+8)曲线处处凸的;

(D)(-00,+0。)曲线处处凹的;

三、求以下函数的极限(每题5分，共20分)

(x-2Y

I.2.lim-------

x+2>

°,,arcsin(1-x)「Vl+tanx-VT+sinx

3.hm-----------------；4.lim----------------------------------

iInxs。x(l-cosx)

四、求解以下各题(每题5分，共20分)

.ylx+2(3—x)4-•x=ln(l+r2)dy

L)'=一；一市—求)‘；水r—

y=/-arctanrdx

3..设由方程In)，=.q+cosx所确定隐函数为y=)，(幻，求dy.

4.y=cos2xInx求一v；

dr

王、应用题(每题8分，共24分)

1.求函数丁=/-3，+7的极值：

<1

2.设函数/(x)=(X~r,在x=l处可导，确定。力的值.

ax+bx>\

3.某服装公司确定卖出4套服装，其单价应为〃=150-0.5g,同时生产x套服装，其本钱可表示为

C(c/)=4000+0.25夕2,问服装公司生产并销售多少套服装利润最大？最大利润为多少？为获得这个最

大利润，其服装单价应定价为多少？

六、证明题(6分)

1.函数/(外在[0」上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=1"(])=0,证明：在(0,1)内至少存在一点4,

使得了'(€)=一%

标准答案及评分标准

一、填空题、(每题3分，共15分)(评分标准：错一题扣3分)

1.(-oo,0)kJ(0,3]2.X2-23.y=x+\

4.y=l5.(e-,,+oo)

二、单项选择题(每题3分，共15分)(评分标准：错一题扣3分)

1.B2.C3.D4.C5.B

三、求以下数列的极限(每题5分，共20分)

(J1+X-1)(J1+X+1)

1.解:=lim=lim]-----——=—---------(53

Dx(\li+x+1)XT。Jl+X+12

(2‘)

(5')

3.当X—>1时，arcsin0-x)-l-x,lnx=ln[l-(l-x)]—(1-x)---------------------(2‘)

c..arcsin(l-^)..arcsin(l-x)\-x,

所以hm--------------=lim----------------=lim----------=-1(5')

HInxln[l-(l-x)]-(|-x)

1+tan^-l-sinx

4.原式=lim(2‘)

x(l-cosx)("+tanx+Jl+sinx)

tanx-sinx

=hm----------------/—.(4')

Xx(\-cos+tanx+x/1+sinx)

tanx(l-cosx)1

=lim----------------/——[=—(5^)

a。x(l-cosx)(S+tanx+Jl+sinx)2

四、求解以下各题(每题5分，共20分)

1.方程两边取对数:Iny——•ln(x+2)+41n(3—x)—51n(x+1)(2')

方程两边关于x求导小4____5

3-xx+1

(5')

777^(3-幻J1__4_____5_"

从而=

(l+x)‘、2(x+2)3—xx+1.

1___:—

2

dy_dyI_i+z_t

dx~dtdx~~2

dt1+r2

3.对方程两端关于x求导:上=y+x)」-sinx

y

整理得：dy=-3/

1-xy----------------------(5')

|COS-I

4.y'=2cosx-(-sinx)Inx+cos2=-sin2xlnx+----------------------------(2')

XX

„八，sin2x-xsin2x-cos2x

y=-2cos2x»\nx----------+------------；----------

xx

八c.2sin2xcos2x”、

--2cos2x・lnx------------------；—............(5)

AX-

王、应用题(每题8分，共24分)

1.解：函数定义域为R,

令)/=3x?-6x=3x(x-2)=0,得驻点工1=0,JV2=2,----------------------(T)

用第二判别法判断，因为)严二6工一6=6(x-l)，

y"(0)=—6<0»y"⑵=6>0>----------------------(4,)

所以玉=0是极大值点，极大值)，(0)=7,............................(6，)

々=2是极小值点，极小值y(2)=3。.................(8，)

2.解：•・・/(x)在x=l处口」导，那么£(1)=2

••.Z'a)=Za)=〃=2.......(4)

又•・•在x=l连续

/./(I+0)=lim(ax+b)=a+bf(l-0)=limx2=1

.r->l>x->0~

/(l+0)=/(l>0)=>b=-l...............(8)

3.解：收入函数A(q)="=150夕—0.5/,....